06 NewInfEngProd2014

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1
Distribuição Amostral 
 
O estudo da amostragem engloba, também, a parte de distribuição amostral, 
onde são estudadas as aproximações entre as médias amostrais e desvio 
padrão das amostras com os parâmetros populacionais. 
 
Ao tomar um conjunto de dados, formado por valores atribuídos a uma variável 
X qualquer, X = {3; 4; 5; 6} e, em seguida, obtermos as amostras de tamanho 
2, sem reposição (que significa população finita), temos: 
 
6
!24!2
!44
2 
C
amostras possíveis, a saber: {(3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 5), (4; 6) e (5; 6)}, cujas 
médias são: {(3,5), (4,0), (4,5), (4,5), (5,0), (5,5)}. No caso de amostras com 
reposição (que significa população infinita), as amostras possíveis são: 24 = 16, 
a saber: {(3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 3), (5; 4), (5; 
5), (5; 6), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}. 
 
Para facilitar, vamos trabalhar com a primeira opção, isto é, amostras sem 
reposição. 
Assim, a média das médias amostrais é: 5,4
4
6543


 , que igual à 
média das médias amostrais, a saber: 
.5,4
6
27
6
5,50,55,45,40,45,3


X 
 
Já no caso do desvio padrão populacional, tem-se: x = {[(3 - 4,5)2 + (4 - 4,5)2 + 
(5 - 4,5)2 + (6 - 4,5)2]/4}1/2  x = (5/4)1/2 = (1,25)1/2 = 1,118. 
 
O desvio padrão das médias amostrais é: 
6455,0
6
 ]4,5) - (5,5 4,5) - (5,0 4,5) - (4,5 4,5) - (4,5 4,5) - (4,0 4,5) - [(3,5 222222




X
X
s
s
 
O desvio padrão das médias de uma determinada amostra é o erro padrão da 
média, cuja fórmula é: 6455,0
14
24*
2
118,1




n
X
X

 e 
.05,05,0
4
2

N
nf 
 
Isto prova que a média amostral sempre é igual à média da população e, no 
caso do desvio padrão, a relação existente entre o desvio padrão populacional 
e o das médias amostrais é o erro padrão da média, que equivale ao desvio 
padrão das médias amostrais. 
 
A mesma situação se aplica a amostras com reposição ou população infinita, a 
saber: 
 
 
 2
 
 
 
 
Fazendo-se uma relação de 
n
n 1 , tem-se: 
 
n-1 n n
n 1 
1 2 0,5000 
2 3 0,6667 
3 4 0,7500 
4 5 0,8000 
5 6 0,8333 
6 7 0,8571 
7 8 0,8750 
8 9 0,8889 
9 10 0,9000 
10 11 0,9091 
... ... ... 
27 28 0,9643 
28 29 0,9655 
29 30 0,9667 
30 31 0,9677 
100 101 0,9901 
 
 
Inferência Estatística 
 
Há duas formas de abordagem para buscar informações sobre um fenômeno 
qualquer: a primeira é aplicar o censo; a segunda é obter informações a 
respeito do fenômeno estimando os parâmetros da distribuição mediante 
amostragem. 
Amostragem - Conjunto de técnicas utilizadas para a seleção de uma amostra. 
A amostragem pode ser aleatória ou não aleatória. 
Amostragem não aleatória: - Intencional ou - voluntária. 
Amostragem aleatória: - Aleatória simples; sistemática; estratificada e por 
conglomerados. 
 
Estimação: 
Quando se utiliza um único número real para avaliar um parâmetro  
estimação por ponto. 
Estimador Estimativa por ponto Parâmetro 
X 20X μ 
s2x s2x = 5 σ2x 
sx sx = 2 σx 
pˆ 3,0ˆ p p 
 3
 
Como as amostras conduzem a estimativas distintas, a variabilidade não pode 
ser controlada neste processo. 
 
Estimativa por intervalo: A estimação mediante um intervalo real leva à 
estimativa por intervalo. 
Intervalo de confiança - Consiste num intervalo real, centrado na estimativa 
pontual que deverá conter o parâmetro com 
determinada probabilidade. A probabilidade de o 
intervalo conter o parâmetro chama-se nível de 
confiança associado ao intervalo (1 - α). 
 
Interpretação inerente à construção do Intervalo de confiança: De forma geral é 
mais correto afirmar que, a longo prazo, os intervalos de confiança conterão o 
valor de  em (1 - )% dos casos. 
 
A idéia básica na construção de intervalos de confiança está fundamentada no 
teorema central do limite, que indica que, mediante amostras grandes (n  30), 
a distribuição de médias amostrais é aproximadamente normal, com média  e 
desvio padrão da distribuição 
n
 . Assim sendo, o formato do intervalo 
consiste numa variação da seguinte equação: 
n
XZ


 . Ao resolvermos a 
referida equação em relação a , colocando-o em evidência, tem-se: 
n
ZX  * . Observar a figura: 
 
 
Para o estudo de intervalos de confiança necessário se faz conhecer os valores 
críticos de Z, para testes unilaterais e bilaterais, conforme descrito por Spiegel 
(1994) página 256. 
Nível de significância 
(α) 
0,10 0,05 0,01 0,005 0,002 
Valores de Z para 
testes unilaterais 
-1,28 ou 
1,28 
-1,645 ou 
1,645 
-2,33 ou 
2,33 
-2,58 ou 
2,58 
-2,88 ou 
2,88 
Valores de Z para 
testes bilaterais 
-1,645 e 
1,645 
-1,96 e 
1,96 
-2,58 e 
2,58 
-2,81 e 
2,81 
-3,08 e 
3,08 
 
 
 4
Uma breve demonstração, utilizando a distribuição normal padrão: 
P(1,96)  ( ± 2) = 0,475 
Na função densidade de probabilidade normal padrão, determinar a 
probabilidade de que uma escolha ao acaso de X esteja no intervalo [0, 2]. 
Aproxime o valor da integral definida usando (a) a regra do trapézio com n = 4 
e (b) a regra de Simpson com 2n = 4. 
A função densidade de probabilidade normal padrão é dada por: N(x) = 
ଵ
√ଶగ
∗ ݁ି
௫మ
ଶൗ . 
A probabilidade de que uma escolha ao acaso de X esteja no intervalo [0, 2] é 
P([0, 2]), e 
P([0, 2]) = ଵ
√ଶగ
∫ ݁ି
௫మ
ଶൗ ݀ݔ
ଶ
଴
 
 
Aproximando a integral acima pela regra do trapézio com n = 4. Como [a, b] = 
[0, 2]. x = (b – a)/n = (2 – 0)/4 = ଵ
ଶ
	. Logo, sendo ݂(ݔ) = 	 ݁ି௫మ ଶൗ ∶	 
∫ ݁ି
௫ೣ
ଶൗ
ଶ
଴
	dx  ଵ
ସ
ቂ݂(0) + 	2݂ ቀଵ
ଶ
ቁ + 	2݂(1) + 	2݂ ቀଶ
ଷ
ቁ+ 	݂(2)ቃ 
= ଵ
ସ
ቂ݁଴ + 2݁ିଵൗ଼ + 2݁ିଵ ଶൗ + 	2݁ିଽ ଼ൗ + 	݁ିଶቃ 
=ଵ
ସ
[1 + 2(0,8825) + 	2(0,6065) + 	2(0,3246) + 	0,1353)] 
= ଵ
ସ
(4,7625) = 1,191. 
Então, P([0, 2])  ଵ
√ଶగ
(1,191) = 	ଵ,ଵଽଵ
ଶ,ହ଴଻ = 0,475. 
Usando a regra de Simpson com 2n = 4 para fazer a aproximação da integral, 
tem-se: 
∫ ݁ି
௫ೣ
ଶൗ
ଶ
଴
	dx  ଵ
଺
ቂ݂(0) + 	4݂ ቀଵ
ଶ
ቁ + 	2݂(1) + 	4݂ ቀଶ
ଷ
ቁ+ 	݂(2)ቃ 
= ଵ
଺
ቂ݁଴ + 4݁ିଵൗ଼ + 2݁ିଵ ଶൗ + 	4݁ିଽ ଼ൗ + 	݁ିଶቃ 
=ଵ
଺
[1 + 4(0,8825) + 	2(0,6065) + 	4(0,3246) + 	0,1353)] 
= ଵ
଺
(7,1767) = 1,196. 
Então, P([0, 2])  ଵ
√ଶగ
(1,196) = 	ଵ,ଵଽ଺
ଶ,ହ଴଻ = 0,477. 
O valor exato de P([0, 2]) no exemplo em questão corresponde à área soa a 
curva, da parte positiva da mesma, a partir do valor da média padronizada, isto 
é, Zero, evidentemente, sendo menor que 0,5, que corresponde à metade da 
 5
área sob a curva, a partir da média, que é a metade de 1, ou 100%, que é o 
espaço amostral, correspondente ao intervalo entre ( - , + ). 
 
Intervalo de confiança para a média populacional quando se conhece o valor 
do desvio-padrão populacional. 




 





 1**
22 n
ZX
n
ZXP XX 
 
Caso não haja possibilidade de amostragem com reposição, cujo tamanho seja 
superior a 5% do tamanho da população, deve-se corrigir o intervalo, para 
compensar os efeitos da não reposição. Assim, o intervalo fica: 




 












 1
1
**
1
**
22 N
nN
n
ZX
N
nN
n
ZXP XX 
 
Quando não se conhece o parâmetro (σX), faz-se um intervalo de confiança 
mediante utilização da distribuição de “t” de Student. 
  







1**
1;21;2 n
s
tX
n
s
tXP X
n
X
n
 
 
Caso haja necessidade de correção, utiliza-se o seguinte intervalo: 
  














1
1
**
1
**
1;21;2 N
nN
n
stX
N
nN
n
stXP X
n
X
n
 
 
Intervalo de confiança para a proporção populacional, sem necessidade de 
correção: 
 






 1
ˆˆ
*ˆ
ˆˆ
*ˆ
22 n
qpZPP
n
qpZPP 
 
Quando necessita de correção, o intervalo é o seguinte: 
 












 1
1
*
ˆˆ
*ˆ
1
*
ˆˆ
*ˆ
22 N
nN
n
qpZPP
N
nN
n
qpZPP 
 
Exemplos de determinação de intervalos de confiança: Um exemplo para cada caso! 
 
(Com desvio padrão populacional conhecido, sem correção) 
1) Tarefas manuais em laboratório de tecnologia apresentam tempos de execução variáveis, 
mas o desvio padrão permanece em torno de três minutos. Uma nova tarefa está sendo 
executada pelos Engenheiros. Uma amostra aleatória do tempo de execução de 50 novas 
tarefas forneceu o valor médio de 15 minutos. Determine o I.C. de 95% para o tempo médio de 
execução desta nova tarefa. 




 





 1**
22 n
ZX
n
ZXP XX  
2
2
0
*









d
Z
n
X
 
 6
  .95,08316,151684,14
95,0
50
3*96,115
50
3*96,115
.min3 ;96,1 Z95%; -1 min;15 ;50 X
2











 
P
P
Xn
 
 
 
(Com desvio padrão populacional conhecido, com correção) 
2) Numa distribuidora de componentes eletrônicos as despesas mensais com reposição das 
1000 substâncias são normalmente distribuídas com desvio -padrão R$3,00. Uma amostra, 
sem reposição de 100 substâncias revelou uma despesa média mensal de R$50,00. Determine 
o I.C. de 90% para a despesa média mensal com reposição no período de estocagem das 
substâncias nesta distribuidora. 




 












 1
1
**
1
**
22 N
nN
n
ZX
N
nN
n
ZXP XX 
22
2
2
22
2
*)1(*
**




ZNd
NZ
n

 
 
  .90,04684,505316,49
90,0
11000
1001000*
100
3*645,150
11000
1001000*
100
3*645,150
correção! defator Usar 05,01,0
1000
100
;90,01645,1 Z;00,50$ ;100 ;00,3$ ;1000
2



















 
P
P
N
nf
RXnRN X
 
 
 
(Com desvio -padrão populacional desconhecido, sem correção) 
3) O tempo de espera – resposta - de um novo algoritmo de busca, em décimo de segundo, é 
normalmente distribuído. Uma amostra aleatória de 10 tentativas apresentou os seguintes 
valores: 8,75; 8,70; 8,72; 8,73; 8,76; 8,74; 8,73; 8,77; 8,74 e 8,72. Construa um intervalo com 
95% de confiança para o tempo médio de resposta deste novo algoritmo que está sendo 
testado. 
  







1**
1;21;2 n
s
tX
n
s
tXP X
n
X
n
  
2
1;2
*










d
st
n
Xn
 
 
  .95,07473,87147,8
95,0
10
0228,0*2622,2731,8
10
0228,0*2622,2731,8
.2622,2 ;95,01 ;0228,0s ;731,8 ;10 %59x












P
P
tXn
 
 
(Com desvio -padrão populacional desconhecido, com correção) 
4) Um pequeno produtor de substâncias anti corrosivas utiliza processos artesanais na 
produção. Um cliente deseja encomendar 200 frascos do produto padronizados em 1kg. Após 
a produção, verificou-se se o lote atendia ao padrão. Uma amostra de 15 recipientes 
apresentou peso médio de 1,03 kg, com desvio padrão de 0,06 kg. Construa um I.C. de 95% 
para o peso médio dos frascos deste lote. 
 7
  














1
1
**
1
**
1;21;2 N
nN
n
stX
N
nN
n
stXP X
n
X
n
 
.
*)1(*
**
22
1;2
2
22
1;2
Xn
Xn
stNd
Nst
n






 
 
  .95,0062,1998,0
95,0
1200
15200*
15
06,0*1448,203,1
1200
15200*
15
06,0*1448,203,1
.1448,2 ;95,01 ;06,0 ;03,1 ;200 ;15
14;2


















 
P
P
tsXNn X
 
 
 
(I.C. para proporção populacional, sem correção) 
5) Uma pesquisa com 300 habitantes de uma cidade industrial do sul da Bahia revelou que 128 
consideravam a exposição a metais pesados como o principal problema de saúde. Determine 
um intervalo de confiança de 95% para a proporção dos habitantes desta cidade que 
consideram a exposição a metais pesados como principal problema de saúde. 
 







 1
ˆˆ
*ˆ
ˆˆ
*ˆ
22 n
qpZPP
n
qpZPP  2
2
2
ˆ*ˆ*
d
qpZ
n

 
 
  95,04827,03767,0
95,0
300
5733,0*4267,0*96,14267,0
300
5733,0*4267,0*96,14267,0
.96,1 ;95,01 ;300 ;5733,0ˆ1ˆ ;4267,0
300
128ˆ
2











PP
PP
Znpqp 
 
 
 
(I.C. para proporção populacional, com correção) 
6) Uma pesquisa com 130 funcionários de um laboratório de tecnologia revelou que entre os 
600 no total, 52 não utilizavam equipamentos de segurança ao trabalhar com reagentes. 
Construa um I.C. de 90% para a proporção de funcionários que desobedecem às normas de 
segurança. 
 












 1
1
*
ˆˆ
*ˆ
1
*
ˆˆ
*ˆ
22 N
nN
n
qpZPP
N
nN
n
qpZPP 
 
qpZNd
NqpZ
n
ˆ*ˆ*)1(*
*ˆ*ˆ*
2
2
2
2
2



 
 
 8
  .90,04626,03374,0
90.0
1600
130600*
130
6,0*4,0*645,14,0
1600
130600*
130
6,0*4,0*645,14,0
.645,1 ;90,01 correção! defator Usar 
05,02167,0
600
130 ;60,0ˆ1ˆ ;40,0
130
52ˆ ;600
2

















PP
PP
Z
N
nfpqpN

 
 
A partir dos intervalos de confiança, podem-se dimensionar amostras para as 
diversas situações, seja para a média ou para a proporção populacional, a 
saber. 
 
Utilização do desvio padrão e do erro padrão: Há algumas razões para 
utilização do desvio-padrão em vez do erro-padrão, a saber: O erro padrão é 
uma função do tamanho da amostra, sedo reduzido apenas com o aumento do 
valor de ‘n’, que é o tamanho da própria amostra. Outra razão é o fato do 
intervalo [média  2 x desvio padrão] contém 95% das médias das amostras, 
mas nunca irá conter 95% das observações realizadas em indivíduos. Na área 
de saúde, quando os médicos pensam em aplicar os resultados das pesquisas, 
eles geralmente querem aplicá-la em indivíduos em sua prática clínica, não em 
grupos de indivíduos. O desvio padrão costuma então ser a medida mais 
apropriada de descrição. 
 
 
AMOSTRAGEM 
 
Trata-se de um processo utilizado naturalmente em nossas vidas, em que 
utilizamos parte de uma população para tirar conclusões sobre o todo. 
 
Quando tomamos parte de uma população ao retirarmos uma amostra, 
fazemos o processo de amostragem e, ao estudarmos e analisarmos esta 
amostra, tirarmos conclusões e adotamos os resultados para toda a população, 
estamos fazendo inferência. 
Razões para fazermos amostragem: Economia; Tempo; Confiabilidade; 
Operacionalidade. 
 
Quando não é interessante fazer amostragem: População pequena; 
Característica facilmente mensurável; Necessidade de alta precisão. 
 
 9
Plano de amostragem: Para se fazer um plano de amostragem deve-se definir 
os objetivos da pesquisa, a população a ser amostrada, bem como os 
parâmetros que se precisa estimar para atingir os objetivos da pesquisa. No 
plano deverá constar: definição da unidade de amostragem, forma de seleção 
dos elementos da população e o tamanho da amostra. 
 
Exemplo de unidade de amostragem: Numa população de famílias moradoras 
de certa cidade, pode-se planejar a seleção de domicílios residenciais da 
cidade. Chegando ao domicílio (unidade de amostragem), podemos chegar à 
família moradora deste domicílio (elemento da população).Será estudado anteriormente as formas de seleção dos elementos que irão 
compor a amostra. Posteriormente iremos estudas as formas de 
dimensionamento de amostras. 
 
 
Planejamento de um levantamento por amostragem: 
O sucesso da amostragem está no seu adequado planejamento: Deve-se 
considerar os seguintes tópicos: 
 
1. Objetivos 
2. População 
3. Dados a serem coletados 
4. Grau de precisão 
5. Métodos de medida 
6. Unidade de amostra 
7. Escolha de tipo de amostra 
8. Pré-verificação 
9. Organização do trabalho 
10. Análise dos dados 
11. Sugestões 
 
Tipos de amostragem 
 
 10
Divide-se em dois grandes grupos: 
Probabilísticos 
Não probabilísticos 
 
Dentre os probabilísticos: 
Amostragem aleatória simples 
Amostragem estratificada 
Amostragem sistemática 
Amostragem por área 
Amostragem por conglomerados ou grupos 
 
Dentre os não probabilísticos: 
Amostragem acidental ou de conveniência 
Amostragem por julgamento 
Amostragem por quotas 
 
Distribuição amostral (...) 
Intervalo de confiança (...) 
Dimensionamento de amostras (...) 
Vantagens da amostra em relação ao censo: 
 
a. Custo reduzido; 
b. Maior rapidez; 
c. Maior amplitude; 
d. Maior exatidão; 
 
Teorema Central do Limite ou Teorema do Limite Central: 
 
Tomada uma população com média  e desvio-padrão , a distribuição de 
amostragem da média com base na repetição de amostras aleatórias de 
tamanho ‘n’ apresenta as seguintes propriedades: 
 
 A média de distribuição de amostragem, ou a média das médias, é igual 
à média  da população, com base em observações isoladas; 
 
 O desvio-padrão da distribuição de amostragem é o erro padrão da 
média, que desempenha um papel importante em muitos procedimentos 
estatísticos discutidos durante o curso. 
 Se a distribuição na população for normal, então a distribuição de 
amostragem da média também é normal. O que torna-se mais 
importante, para tamanhos de amostra suficientemente grandes, a 
 11
distribuição de amostragem da média é distribuída de modo 
aproximadamente normal, independentemente da forma da distribuição 
da população original. 
 
O teorema central do limite diz que, independentemente da distribuição dos 
dados da população, a distribuição dos dados de uma amostra tende a 
aproximar-se de uma distribuição normal, principalmente quando a amostra é 
composta de 30 ou mais elementos, (n  30), considerada uma grande 
amostra. Amostras de tamanho 30, inclusive, são consideradas como 
possuindo distribuição normal. 
 
 
 
 
Dimensionamento de Amostras: 
De forma geral, quando se quer calcular o tamanho de uma amostra, pode-se 
calcular a partir do erro amostral tolerável (erro admissível). 
2
1
E
n  
Exemplo: Deseja-se calcular o número de elementos de uma amostra cujo erro 
não ultrapasse 4%. 
625
04,0
1
2  nn elementos. 
 
Quando se conhece a população, pode-se corrigir o tamanho da amostra em 
função do tamanho da população. Sendo assim, as três fórmulas são: 
0
0*
nN
nNn

 ou 
N
n
nn 11 0
0


 ou 
N
n
nn
0
0
1
 
 
Pode-se aplicar qualquer uma das três, que são citadas na literatura, e ambas 
são aceitas, pois o resultado final será praticamente o mesmo! 
 
Supondo-se que a população tem N = 200.000 indivíduos, faz-se: 
625200000
625*200000

n  n = 623 elementos. Caso a população fosse de N = 200 
indivíduos, o resultado seria: 
625200
625*200

n  n = 152 elementos. 
 12
 
O tamanho da amostra poderá ser dimensionado a partir do intervalo de 
confiança, a saber: 
Dado o intervalo de confiança: 




 





 1**
22 n
ZX
n
ZXP XX 
Diz-se que o intervalo é dimensionado a partir probabilidade da estimativa  o 
erro admissível (d) representado pela semi-amplitude do intervalo, a saber: 
 dXP  , onde d = semi-amplitude ou erro que se admite ao se escolher 
determinado nível de confiança. 
d = Zα/2*σX/(n0)1/2  (n0)1/2*d = Zα/2*σX  
2
2
0
*









d
Z
n
X
 
Quando se conhece o tamanho da população, com correção, tem-se o seguinte 
intervalo de confiança: 




 












 1
1
**
1
**
22 N
nN
n
ZX
N
nN
n
ZXP XX 
Da mesma forma que foi feito anteriormente, determina-se a probabilidade e 
coloca-se d em evidência, a saber:  
1
**
2 


N
nN
n
ZddXP X

 . 
Como [d = d]  determina-se o fator de correção da amostra. 
   


























1*
1
*11
1
*11
1
***
0
0
22
0
2
0
2
NnnNn
N
nN
nn
N
nN
nnN
nN
n
Z
n
Z XX  
 
 
n0*(N - n) = n*N - n  n0*N - n0*n = n*N - n  n0*N = n*N - n + n0*n  
n0*N=n*(N + n0 - 1)  
N
n
n
n
N
N
nN
Nn
n
1
11
*
0
0
0
0






 
Alguns autores também usam a fórmula: 
N
n
n
n
0
0
1
 . As três formas de correção 
estão corretas e levam a resultados aproximadamente iguais. 
Para os demais intervalos de confiança, o processo é o mesmo, obtendo-se: 
Para população finita, parte-se de: 
2
2
2
2
2
2 *)1(*
**
 :a se-chega e 
1
**




 ZNd
NZ
n
N
nN
n
Zd X




 
Para situações em que (σX) é desconhecido, parte-se de 
.
*
 :a se-chega e *
2
1;2
1;2 









 d
st
n
n
s
td
XnX
n

 
 13
Para população finita, parte-se de 
.
*)1(*
**
 :a se-chega e 
1
**
2
1;2
2
2
1;2
1;2 Xn
XnX
n stNd
Nst
n
N
nN
n
std


 






 
Para proporção populacional, parte-se de 
.
ˆ*ˆ*
 :a se-chega e 
ˆˆ
* 2
2
2
2 d
qpZ
n
n
qpZd

  
Para população finita, com fator de correção, parte-se de 
qpZNd
NqpZ
n
N
nN
n
qpZd
ˆ*ˆ*)1(*
*ˆ*ˆ*
 :a se-chega e 
1
*
ˆˆ
* 2
2
2
2
2
2 

 



 
 
Amostragem Estratificada 
 
O que é: Consiste na subdivisão da população em subpopulações, de forma 
que dentro das subpopulações haja homogeneidade. 
Quando se aplica: Quando uma população é heterogênea, devido à baixa 
precisão das estimativas obtidas. 
Estratificação: Processo de subdivisão da população em subpopulações. 
Estrato: Como é chamada cada subpopulação. 
Na prática a população poderá se encontrar estratificada naturalmente ou a 
estratificação ocorrerá conforme critérios adotados pelo pesquisador, conforme 
conhecimento sobre a população. 
Inferência numa amostra aleatória estratificada: 
Considerando que os “h” estratos estejam organizados devidamente, pode-se 
organizar a seguinte notação: 
- Número de elementos da população no estrato h: Nh; 
- Números de elementos da amostra no estrato h: nh; 
- Tamanho da população: N = ;
1


H
h
hN 
Os tamanhos da população, do estrato h e da amostra permitem estabelecer os 
seguintes termos: 
- Fração geral de amostragem = n/N; 
- Fração de amostragem no estrato h = nh/Nh; 
- Peso do estrato h = Nh/N; 
- Fator de expansão no estrato h = Nh/nh; 
 14
- Fator geral de expansão = N/n. 
Em cada estrato trabalha-se como se o processo envolvesse uma amostra 
aleatória simples. Assim, para o estrato h, o estimador da média é: 
h
n
i
h
h n
Y
X
h
i
 1 , 
sendo um estimador não tendencioso da média populacional do estrato h, μh. 
 
Dimensionamento de uma amostra estratificada:Ao se dimensionar uma amostra aleatória estratificada, dois aspectos são 
considerados: 
- determinação do tamanho da amostra - n; 
- determinação do tamanho da amostra em cada estrato - nh, o que é feito pelo 
processo denominado partilha. 
Procedimentos: 
Existem cinco (05) procedimentos que podem ser adotados no cálculo de uma 
amostra estratificada que serão citados em seguida. 
1. Amostra aleatória estratificada com porcentagem fixa de elementos por 
estrato; 
2. Amostra aleatória com número igual de elementos por estrato; 
3. Amostra aleatória dimensionada pela partilha ótima; 
4. Amostra aleatória estratificada dimensionada pela partilha de Neyman; 
5. Amostra aleatória dimensionada pela partilha proporcional. 
 
Procedimento 1: É bastante simples e é geralmente utilizado quando não se 
tem maiores informações sobre a natureza dos dados. 
Dependendo do tamanho da população e dos objetivos do 
estudo é usual tomar 10% doe elementos de cada estrato e, 
portanto, o tamanho da amostra é dado por n = 0,1*N. 
 
Procedimento 2: Este procedimento não leva em consideração as 
características dos estratos. Em cada estrato a amostra 
tem o mesmo tamanho. 
 
 15
Procedimento 3: A determinação do tamanho da amostra é feita procurando: 
tornar mínima a variância média estimada dentro de 
determinado limite de custo; tornar mínimo o custo para um 
valor fixado da estimativa da variância da média estimada. 
Esta minimização exige procedimentos matemáticos 
complexos. 
 
Procedimento 4: Trata-se de um caso particular da “partilha ótima”, quando se 
considera que os custos por unidade de amostra são iguais 
em todos os estratos. 
 
Procedimento 5: Trata-se de um caso particular da partilha de Neyman 
quando se admite que as variâncias dos estratos são 
iguais. 
 
Existe, ainda, a amostra estratificada para proporções ou porcentagens. 
Este procedimento é utilizado quando se trabalha com amostragem simples 
para proporção de dados e é desejável dividi-los em categorias, tais como: 
dados que possuem determinado atributo e dados que não possuem 
determinado atributo. 
 
Exemplo de aplicação - Procedimento 5: 
Para os dados de distribuição de freqüência da faixa etária dos 194 
funcionários de uma montadora de circuitos eletrônicos que cobriram suas 
despesas utilizando seguro-saúde. A distribuição de freqüência conforme a 
faixa etária dos funcionários é: 
Estrato Faixa Etária Nh nh 
1 Faixa 1 60 9 
2 Faixa 2 49 8 
3 Faixa 3 35 6 
4 Faixa 4 30 5 
5 Faixa 5 20 3 
Total Total 194 31 
 16
O valor da amostra determinada inicialmente, n0, já foi calculada conforme os 
critérios explicados em sala de aula, no caso de população finita e/ou infinita, 
sendo n0 = 34. 
Como a população estudada é finita, deve-se observar a fração amostral: 
194
34

N
nn = 0,1760 > 0,05. Deve-se corrigir o tamanho da amostra, a partir 
do fator de correção, a saber: 
Nn
Nn
n
N
n
n
n
N
n
n
n







0
0
0
0
0
0 * aindaou 
1
1
ou 
1
. 
Assim, o número de elementos da amostra é 29. A divisão proporcional nos 
estratos se dá a partir da seguinte formulação: 
N
Nn
n hi
*
 . Desta forma, os 
estratos amostrais serão compostos dos seguintes número de elementos: 
n1 = 60*194
29 = 8,97  9 elementos; 
n2 = 49*194
29 = 7,32  8 elementos; 
n3 = 35*194
29 = 6 elementos; 
n4 = 30*194
29 = 5 elementos; 
n5 = 20*194
29 = 3 elementos. 
 
Por causa das aproximações, sempre para mais, por uma questão de 
segurança, o número de elementos da amostra ficou em (n = 31) e não (n = 
29), o que não se constitui num problema, obviamente. 
 
Processo de amostragem a partir da convergência dos valores críticos do 
teste “t”. 
Exemplo ilustrativo: 
Os resultados da durabilidade (em meses) de brocas de duas marcas, foram os 
seguintes: 
Marca 1 114 108 104 116 117 127 106 122 112 118 130 105 
Marca 2 88 76 87 89 106 85 65 120 70 98 92 - 
 17
 
1. Calcular o número de observações necessárias na marca 1, para que toda a 
diferença maior do que 4,0% seja significativo a 5% de erro num teste bilateral. 
 
2. Calcular o número de observações necessárias na marca 2, para que toda a 
diferença maior do que 8,0% seja significativo a 5% de erro num teste bilateral. 
 
3. Calcular o número de observações necessárias em cada uma das duas 
marcas (partes iguais), em nível de 5% de erro e para que a diferença entre as 
duas marcas maior do que 5,0% da média seja significativa. 
 
A estatística deste método iterativo é a seguinte: ݊௜ = ௧ഀ మ;೙షభൗ ∗಴ೇమమ ஽మ . 
 
Solução: 
 
1°) Item: 
D = 4%; Média = 114,92; s2x = 72,08; sx = 8,49; CV = 7,38%. 
Para n0 = 12  t = t5%(11) = 2,2010  .174905,16
4
38,7*2010,2
2
22
1 n 
Para n1 = 17  t = t5%(16) = 2,1199  .152976,15
4
38,7*1199,2
2
22
2 n 
Para n2 = 15  t = t5%(14) = 2,1448  .166591,15
4
38,7*1448,2
2
22
3 n 
Para n3 = 16  t = t5%(15) = 2,1314  .154640,15
4
38,7*1314,2
2
22
4 n 
Assim, o tamanho da amostra é: n = 15. Assim, será necessário adicionar mais 
3 elementos à amostra. 
 
2°) Item: 
D = 8%; Média = 88,73; s2x = 246,62; sx = 15,7041; CV = 17,69. 
Para n0 = 11  t = t5%(10) = 2,2281  .242742,24
8
69,17*2281,2
2
22
1 n 
 18
Para n1 = 24  t = t5%(23) = 2,0687  .219253,20
8
6,17*0687,2
2
22
2 n 
Para n2 = 21  t = t5%(20) = 2,0860  .212767,21
8
6,17*0861,2
2
22
3 n 
Assim, o tamanho da amostra é: n = 21. Assim, será necessário adicionar mais 
10 elementos à amostra. 
 
3°) Item: 
D = 5%; 
.2,12
82,101
19,155*100
82,101
2
73,8892,114
2
 ;19,155
1011
62,246*1008,72*11
21
2










CV
XXX
s
 
Para n0 = 20, ou seja, 10 para cada marca, temos GL = 2*(10 -1) = 18 e t5%(18) = 
2,101.  .52
5
2,12*101,2*2
2
22
1 n 
Para n0 = 52, ou seja, 26 para cada marca, temos GL = 2*(26 -1) = 50 e t5%(50) = 
2,009.  .48
5
2,12*009,2*2
2
22
2 n 
Para n2 = 48, ou seja, 24 para cada marca, temos GL = 2*(24 -1) = 46 e t5%(46) = 
2,013.  .48
5
2,12*013,2*2
2
22
3 n 
Assim, o tamanho da amostra deve ser de 24 para cada marca. Assim, será 
necessário adicionar mais 14 elementos, de cada marca, à amostra inicial. 
 
Teste de Hipóteses, Análise da variância e Qui-Quadrado. 
 
No teste de Hipóteses são utilizadas duas hipóteses, a saber: 
 
A hipótese nula H0 é a hipótese sobre a qual devem ser obtidas evidências 
para rejeitá-la. 
 
A hipótese H1 ou HA é a hipótese sobre a qual devem ser obtidas evidências 
para aceitá-la. 
 
Estas hipóteses são mutuamente excludentes, isto é: Não podem ser aceitas 
ou rejeitadas ao mesmo tempo. 
 19
 
Testes de hipóteses unilaterais ou bilaterais: 
 
Um teste unilateral é um teste no qual a hipótese alternativa define a mudança 
em alguma direção da hipótese nula, incluindo na especificação um dos 
símbolos: “” ou “≥”. 
 
Teste Unilateral Direito: 
 
 
 
Teste Unilateral Esquerdo: 
 
 
 
 
Um teste bilateral é um teste no qual a hipótese alternativa define uma 
mudança da hipótese nula, sem especificar nenhuma direção, incluindo na 
especificação o símbolo “≠”. 
 
Teste Bilateral: 
 
 
 
 
Tipos de erros no Teste de Hipóteses: 
 
 20
Podem ocorrer dois tipos de erros, dependendo da decisão tomada, num teste 
de hipóteses, sempre envolvendo a hipótese de nulidade, a saber: 
 
 H0 Verdadeira H0 Falsa 
Aceita H0 Decisão Correta Erro Tipo II 
Rejeita H0 Erro Tipo I Decisão Correta 
 
Probabilidades envolvidas nas decisões: 
 
 Quando H0 forVerdadeira Quando H0 for Falsa 
Prob. Aceitar H0 1 -   
Prob. Rejeita H0  1 -  
 
Poder do teste: 
Normalmente só se dá atenção à probabilidade  de se cometer o Erro Tipo I. 
No entanto, a probabilidade  de se cometer um erro tipo II depende de quatro 
fatores, a saber: O valor do parâmetro definido na hipótese nula do teste; o 
valor real do parâmetro; o nível de significância ; o tamanho – n – da amostra. 
 
Ao se definir: n e , antes de realizar o teste de hipóteses, é possível obter 
valores da probabilidade  de cometer Erro Tipo II, em função de possíveis 
valores verdadeiros do parâmetro declarado na hipótese nula. Isso teria como 
objetivo conhecer quanto supostamente o teste de hipóteses controla um Erro 
Tipo II, ou ainda qual a probabilidade de rejeitar a hipótese nula se esta for 
realmente falsa. Esta probabilidade complementar de , ou 1 - , denominada 
poder do teste contra um possível valor verdadeiro do parâmetro declarado na 
hipótese nula. 
 
Muitas vezes se faz necessário comparar duas populações e, dependendo das 
características dos dados, pode-se escolher um teste mais adequado. 
 
1. Teste “t” para observações (amostras) independentes com variâncias 
consideradas equivalentes: 
Neste caso, a estatística do teste e o número de graus de liberdade associados 
são: 
   
2
2
11
 ;
11
21
21
2
22
2
112
21
2
12













nnGL
nn
snsns
nn
s
XXT P
P 
 
Exemplo: Para verificar se duas dietas para manutenção dos pesos dos 
funcionários de uma fábrica de equipamentos elétricos são igualmente 
eficientes, um médico separou, ao acaso, um conjunto de funcionários em dois 
grupos. Cada funcionário seguiu a dieta designada para seu grupo. Decorrido 
certo tempo, o médico obteve a perda de peso, em quilogramas, de cada 
funcionário de cada grupo. Os dados estão apresentados a seguir: 
 
TABELA 1 - Perda de peso, em quilogramas, segundo a dieta. 
 21
Dieta 1 12 8 15 13 10 12 14 11 12 13 
Dieta 2 15 19 15 12 13 16 15 - - - 
 
Elas são eficientes? Apresentaram diferença significativa? Interprete os 
resultados. 
 
 
 
Output: 
 
Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes 
 
 Dieta 1 Dieta 2 
Média 12 15 
Variância 4 5 
Observações 10 7 
Variância agrupada 4,4 
Hipótese da diferença de média 0 
gl 15 
Stat t 
-
2,902147462 
P(T<=t) uni-caudal 0,005473451 
t crítico uni-caudal 1,753050325 
P(T<=t) bi-caudal 0,010946902 
t crítico bi-caudal 2,131449536 
 
 
2. Teste “t” para observações (amostras) pareadas: 
Neste caso, a estatística do teste e o número de graus de liberdade associados 
são: (diferença = “d”). 
 22
 
1
1
 ;
2
2
2
2







nGL
n
n
d
d
S
n
S
XX
T d
d
APÓSANTES
 
 
 
Exemplo: Foram observadas nove pessoas durante a aplicação de uma dieta 
de emagrecimento. Os pesos das funcionárias da linha de produção, com 
tendência à obesidade, antes e após a aplicação da dieta, estão na tabela a 
seguir: 
 
TABELA 1 - Pesagem de cada funcionária submetida à dieta antes e após o 
período de experiência. 
Funcionária 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Antes 77 62 61 80 90 72 86 59 88 
Após 80 58 61 76 79 69 90 51 81 
 
As funcionárias apresentaram diferença significativa de peso após a dieta? 
Interprete os resultados. 
 
 
 
Output: 
 
Teste-t: duas amostras em par para médias 
 
 Antes Após 
Média 75 71,66666667 
Variância 146,75 162,5 
Observações 9 9 
Correlação de Pearson 0,920353652 
Hipótese da diferença de 
média 0 
 23
Gl 8 
Stat t 2 
P(T<=t) uni-caudal 0,040258119 
t crítico uni-caudal 1,859548033 
P(T<=t) bi-caudal 0,080516238 
t crítico bi-caudal 2,306004133 
 
 
3. Teste “t” para observações independentes quando as variâncias são 
desiguais: Para verificar se as variâncias são diferentes existem duas 
maneiras: a primeira é verificar se uma delas é superior à outra em mais de 
quatro vezes, a saber: 42
2

B
A
S
S
. Outra é aplicando o teste F, que é um teste 
estatístico próprio para comparação de variâncias, já que a variância apresenta 
distribuição X2 e o quociente entre duas variâncias apresenta a distribuição de 
F 
 F
S
S
S
S
B
A
B
A  22
22
2
2


. Para comparar o valor do F calculado com o 
tabelado, toma-se (n1 - 1) graus de liberdade para o numerador e (n2 - 1) graus 
de liberdade para o denominador. 
Neste caso, a estatística do teste e o número de graus de liberdade associados 
são: 
11
 e 
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
12


























n
n
S
n
n
S
n
S
n
S
GL
n
S
n
S
XX
T 
 
Esta fórmula utilizada para calcular os graus de liberdade é denominada de 
expressão de Welch-Satterhwaite, descrita pelos pesquisadores 
Welch,B.L.(1938) e Satterhwaite,F.E.(1946). 
 
Exemplo: Para verificar se determinada dieta leva a perda de peso dos 
funcionários de uma fábrica, um médico separou, ao acaso, um conjunto de 
funcionários em dois grupos: um grupo foi submetido à dieta (grupo tratado) 
enquanto o outro manteve os mesmos hábitos alimentares (grupo controle). 
Decorrido determinado período de tempo, o médico obteve a perda de peso de 
cada funcionário, em cada grupo. Os valores encontram-se na tabela a seguir: 
 
TABELA 1 - Perda de peso, em kg, de funcionários, segundo o grupo. 
Tratado 12 14 12 9 14 14 9 
Controle 1 0 0 1 0,5 1 0 
 
Verificar se há diferença significativa entre os grupos. Interprete os resultados e 
conclua. 
 
 24
 
 
 
Output: 
 
Teste-t: duas amostras presumindo variâncias diferentes 
 
 Tratado Controle 
Média 12 0,5 
Variância 5 0,25 
Observações 7 7 
Hipótese da diferença de média 0 
gl 7 
Stat t 13,27905619 
P(T<=t) uni-caudal 1,60677E-06 
t crítico uni-caudal 1,894578604 
P(T<=t) bi-caudal 3,21354E-06 
t crítico bi-caudal 2,364624251 
 
 
 25
 
Análise de Variância 
 
Pressupostos da Análise de Variância 
 
Para se fazer uma análise de variância, quatro hipóteses básicas devem ser 
estritamente satisfeitas: 
 
1 - Aditividade; 
2 - Independência ou aleatoriedade dos erros; 
3 - Normalidade dos erros; 
4 - Homogeneidade de variâncias dos erros. 
 
1 - Aditividade 
 
Esta pressuposição pode ser verificada mediante uso do teste de aditividade de 
Tukey (SNEDECOR & COCHRAN, 1967; STEEL, TORRIE & DICKEY, 1997), 
em nível de 5% de probabilidade de erro. Os efeitos que ocorrem no modelo 
estatístico devem ser aditivos. A não aditividade pode ocorrer em função de 
alguma observação apresentar resultado muito discrepante da característica 
que está sendo estudada. A identificação do valor discrepante dependerá dos 
efeitos principais. Neste caso, a diferença entre tratamentos não é constante 
para as diversas repetições. Este teste só se aplica quando se utiliza o 
delineamento em blocos ao acaso, ficando impedido de ser usado quando o 
experimento é realizado no DIC. 
 
O Teste de Tukey para observar a não aditividade consiste num método de 
testar a interação em um delineamento de dois fatores com apenas uma 
observação por combinação de tratamentos. Baseado na soma de quadrados, 
dado por: 
 
   
DA
jiij
c
j
r
i
AD SS
YYYYY
S
2
......
11









 
 
Onde: 
r é o número de linhas, c o número de colunas, yij é a observação na ijª célula, 
....; YeYY ji são respectivamente, a média da iª linha, a média de jª coluna e a 
média de tosas as observações. AS e SD são as somas de quadrados dos 
efeitos principais. O teste supracitadofoi publicado no periódico Biometrics, 
1949, 5, 232-242. 
 
2 - Independência dos erros ou aleatoriedade 
 
Os erros experimentais ou desvios devidos aos fatores não controlados devem 
ser independentes. Essa independência dos erros pode ser assegurada por um 
dos processos básicos da experimentação que é a casualização. As 
correlações entre os erros freqüentemente não são notadas, já que as suas 
presenças são de difícil detecção. 
 26
 
Esta pressuposição pode ser testada mediante aplicação do teste de seqüência 
(BEAVER et al., 1974), teste não-paramétrico. Para a aplicação deste teste os 
erros são ordenados segundo a distribuição dos tratamentos no experimento, 
com numeração das unidades experimentais, podendo ser, por exemplo, da 
esquerda para a direita, até a última unidade experimental. Os erros são 
registrados sobre as respectivas unidades experimentais e marcados com sinal 
“+” quando for positivo e com sinal negativo, quando for negativo. 
 
A estatística do teste (r) é igual ao número de vezes em que é trocado um sinal 
por outro ao percorrer a seqüência de erros estabelecidos. Numa dada 
seqüência, há n observações positivas e m observações negativas. 
 
  
 rV
rErz  
 
Onde: 
r é o número de trocas de sinais numa dada seqüência; 
E(r) = 1 + 2nm/(n+m); 
V(r) = 2nm(2nm-n-m)/{(n+m)2(n+m-1)2}; 
 
Como a estatística z tem distribuição normal de média zero e variância um, 
podemos usar a tabela da distribuição normal padrão. Ao testar um valor 
calculado, observa-se, por exemplo, a 5%, quando o valor da estatística z, em 
valor absoluto, for maior que o valor de z tabelado, a hipótese da distribuição 
aleatória dos erros será rejeitada. 
 
3 - Normalidade dos erros 
 
Os erros experimentais devem ter distribuição normal de probabilidades. Para 
verificar esta pressuposição, testam-se os erros experimentais estimados. Se o 
resultado for satisfeito, isto implica que os valores observados se ajustam 
também a uma distribuição normal. 
 
Para testar a normalidade dos erros há alguns testes que podem ser aplicados, 
tais como: o teste de assimetria, o teste de curtose, o teste de Shapiro-Wilk e o 
teste de Lilliefors. 
 
O teste de Shapiro-Wilks testa se um conjunto de variáveis aleatórias são 
oriundas de uma distribuição de probabilidade específica. Mais comumente 
usado para teste de amostras de distribuição normal e de distribuição 
exponencial. O teste compara os valores ordenados da amostra com os valores 
correspondentes ordem estatística de uma distribuição específica. A estatística 
do teste para uma distribuição normal é dada por: 
 
 27
 
  
2
1
2
1












n
j
j
n
j
jj
xx
xw
W 
 
Onde: 
x(j) é a jª maior observação; 
x é a média da amostra; 
wj é a função da média e variância e covariância da ordem estatística. 
 
Um exemplo simples, feito no ambiente computacional R, demonstra a 
utilização do teste, a saber: 
 
shapiro.test(rnorm(100, mean = 5, sd = 3)) 
 
 Shapiro-Wilk normality test 
 
data: rnorm(100, mean = 5, sd = 3) 
W = 0.9905, p-value = 0.7043 
 
> shapiro.test(runif(100, min = 2, max = 4)) 
 
 Shapiro-Wilk normality test 
 
data: runif(100, min = 2, max = 4) 
W = 0.9576, p-value = 0.002727 
 
Na aplicação acima, observa-se que quando uma amostra é normalmente 
distribuída, o “p-value” associado ao teste apresentou valor alto em relação a 
uma amostra que apresenta outro tipo de distribuição. 
 
O teste de Lilliefors, que é uma modificação do teste de Kolmogorov-Smirnov 
para testar se uma população tem distribuição normal, pressupõe o cálculo de 
todos os valores padronizados (zi), os quais devem ser ordenados em ordem 
crescente, para as seguintes considerações: 
F(zi) = FEi = P (-∞ ≤ Z ≤ zi) = área da tabela de distribuição normal padronizada; 
S(zi) = Foi = ni/n, em que: 
FEi = freqüência esperada para os valores ≤ zi; 
FOi = freqüência observada para os valores ≤ zi; 
ni = número de valores em ordem crescente ≤ zi; 
n = número total de observações da amostra; 
 
 ij
ij
i es
ee
z
ˆ
ˆˆ 
 
 
O valor calculado do teste é dado por: DCAL = Máximo |F(zi) - S(zi)|. 
O teste é bilateral, como segue: 
H0: é razoável estudar os dados através da distribuição normal; 
 28
H1: não é razoável estudar os dados através da distribuição normal. 
 
Rejeita-se a hipótese de nulidade, quando o valor de DCAL ≥ DTAB, a um nível α 
de significância com n observações, caso contrário não se rejeita H0. Em outras 
palavras, quando o valor da estatística D obtida for maior que o da tabela, a 
hipótese da normalidade de distribuição do erro é rejeitada. Este teste foi 
descrito com mais particularidades por CAMPOS, 1983. 
 
4 - Homogeneidade das variâncias dos erros ou Homocedasticidade 
 
Os erros experimentais devem ter homogeneidade de variâncias, ou seja, 
devem possuir uma variância comum 2. Isto implica que a variabilidade das 
repetições de um tratamento deve ser semelhante a dos outros tratamentos, 
isto é, os tratamentos devem possuir variâncias homogêneas. Sendo o Q. M. 
Resíduo usado como termo de comparação na análise de variância, haverá 
uma perda de eficiência nas estimativas dos efeitos de tratamentos e perda de 
sensibilidade dos testes de comparações de médias, se ele for obtido a partir 
de variâncias diferentes de tratamentos. Para verificar esta pressuposição, 
testam-se as variâncias amostrais dos erros experimentais estimados de cada 
tratamento, dadas por s2i. Esta é a hipótese a que os pesquisadores têm dado 
maior ênfase. 
 
Para testar esta pressuposição são utilizados dois testes, o teste de Cochran e 
o teste de Bartlett, a saber: 
 
Teste de Cochran - É usado quando o número de graus de liberdade é o 
mesmo para todas as variâncias, ou seja, quando o número de repetições 
forem iguais para todos os tratamentos. A estatística do teste é: 
 


 I
i
i
MÁX
CAL
s
s
Ch
1
2
2
 
 
As hipóteses a serem testadas são: 
H0: 12 = 22 = ... = I2 vs H1: pelo menos uma das variâncias difere das demais. 
 
O valor de ChCAL será comparado ao tabelado, com (t, r-1) graus de liberdade, 
a um nível α de significância. Rejeita-se a hipótese H0 de homogeneidade de 
variâncias quando ChCAL ≥ ChTAB. 
 
Teste de Bartlett - É usado para testar se as estimativas de variâncias com ri - 
1 graus de liberdade de i tratamentos são iguais, ou seja, quando o número de 
repetições por tratamento forem desiguais. A estatística do teste é: 
 
 
 
 
 















  


 


t
i
t
i
it
i
i
t
i
ii
i sr
r
sr
rM
1 1
2
1
1
1
2
log1
1
1
log13026,2 
 29
 
Onde: 
ri é o número de repetições do tratamento i; 
si2 = variância amostral do tratamento i. 
 
As hipóteses a serem testadas são: 
 
H0: 12 = 22 = ... = I2 vs H1: pelo menos uma das variâncias difere das demais. 
 
Sob a hipótese de que os valores assumidos por si2 serão estimativas de um 
mesmo valor 12 (variância comum), a razão M/C tem distribuição aproximada 
de qui-quadrado (X2), onde C é um fator de correção dado por: 
 
   














 


t
i
t
i
i
i rrt
C
1
1
1
1
1
1
13
11 
 
Rejeita-se a hipótese H0 de homogeneidade de variâncias quando o valor 
calculado da razão M/C ≥ X2TAB, a um nível α de significância, com t - 1 graus 
de liberdade. Este teste foi descrito com maiores detalhes por STEEL, TORRIE 
& DICKEY, 1997. 
 
 
Delineamento Inteiramente Casualizado - DIC 
 
 
O delineamento Inteiramente Casualizado - DIC apresenta o seguinte modelo 
matemático: 
 
Yij = μ + ti + eij 
 
Onde: 
Yij é o valor da observaçãoreferente ao iº tratamento, na jª repetição; 
μ é uma constante, referente à média; 
ti é o efeito do tratamento i (pode ser fixo ou aleatório); 
eij contribuição da variação não controlada referente à observação Yij. 
 
Isto indica que o resultado obtido ao avaliar uma unidade experimental pode 
ser dividido em três partes: uma constante, o efeito de um tratamento aplicado 
na unidade experimental e a variação aleatória que incidiu na unidade 
experimental considerada. 
 
Estimação dos parâmetros do modelo 
 
Estima-se m, estimativa de μ, e ti, estimativa de um tratamento i qualquer, pelo 
método dos mínimos quadrados, ou seja, obtêm-se as estimativas de m e ti tal 
que o somatório de todos os erros seja mínimo. 
 
 30
Trat. Repetições Yi. Y i. 1 2 3 ... J 
1 Y11 Y12 Y13 ... Y1J Y1. Y 1. 
2 Y21 Y22 Y23 ... Y2J Y2. Y 2. 
3 Y31 Y32 Y33 ... Y3J Y3. Y 3. 
... ... ... ... ... ... ... ... 
I YI1 YI2 YI3 ... YIJ YI. Y I. 
 
IJ
YYY
J
YYYYYY
J
j
ij
I
i
i
iIJi
J
j
iji
..
..i i.
11
..
.
.1
1
.
Y Y 
...





 
 
 
Dado o modelo Yij = μ + ti + eij  eij = Yij - μ - ti 
 
Aplicando-se  ij a ambos os membros para englobar todas as unidades 
experimentais e elevando-os ao quadrado, para que valores negativos e 
positivos não se anulem, tem-se: 
 
   iij ijij iij
ij
ij tmfZZetmYe ;
222   
Obtém-se, então, um sistema de equações normais com infinitas soluções, pois 
tem-se I tratamentos. Para obter uma solução deve-se, então, usar uma 
restrição, a saber:  i it 0ˆ . Assim: 
 
 
   
   
   

















 















    
STRATAMENTOTOTAL SQ
i
i
QS
ij ijEij
j iij
i
ij iij
m
J
YJ
IJ
YIJYSQe
tmY
t
Z
tmY
m
Z
2
.
..
2
2
ij
2 ..ˆ
:restrição a Com
mínimo! Zpara condição 
01*2
01*2
 
 
 
 
Análise de variância: 
 
Pelo método dos mínimos quadrados, usado para obter as estimativas de μ e t, 
a soma de quadrados do erro (ou resíduo) é mínima e representa a soma dos 
quadrados dos desvios entre cada observação e sua estimativa. 
 
 31
Na análise de variância a variação total é decomposta em variação devida ao 
erro e variação devida às estimativas dos parâmetros. 
 
O teorema de Pitágoras demonstra que um triângulo retângulo H2 = a2 + b2 ou 
b2 = H2 - a2. Como a soma de quadrados dos tratamentos e a soma dos 
quadrados dos erros são independentes, ou seja, ortogonais, pode-se fazer 
uma analogia com esse teorema, conforme ilustração da Figura 1. 
 
 
Figura 1 - Analogia da análise da variância com o teorema de Pitágoras. 
 
Sendo assim, tem-se: 
 
liberdade. de graus 1) - I(J 1) - (I - 1-IJ com ,SQ
liberdade. de graus 1 - I com ,11
liberdade. de graus 1-IJ com ,1
E
2
..
2
.
2
..
2





STRATAMENTOTOTAL
i iSTRATAMENTO
ij ijTOTAL
SQSQ
Y
IJ
Y
J
SQ
Y
IJ
YSQ
 
Desta forma pode-se, então, organizar o quadro da análise de variância onde 
Quadrado Médio (variância) = Soma de Quadrados (variabilidade) / graus de 
liberdade. 
 
Tabela 1 - Análise de variância para tratamentos de efeito fixo 
C. V. G.L. S.Q. Q.M. E[QM] 
Tratamentos I - 1 SQTR QMTR 2 +  i itI
J 2
1
 
Erro (Resíduo) I(J - 1) SQR ou SQE QMR ou QME 2 
Total IJ - 1 SQT 
 
 
Tabela 2 - Análise de variância para tratamentos de efeito aleatório 
C. V. G.L. S.Q. Q.M. E[QM] 
Tratamentos I - 1 SQTR QMTR 2 + J 
Erro (Resíduo) I(J - 1) SQR ou SQE QMR ou QME 2 
Total IJ - 1 SQT 
 
 
 32
 
Alguns fundamentos da análise e variância no DIC. 
 
Experimento de avaliação de tempo de transmissão de pacotes 
entre duas máquinas, em décimos de segundo, de três diferentes 
topologias de rede de computadores. 
 
CROQUI: 
 
 
 B C C 
 A A B 
 B A B 
 A B C 
 C C A 
 C B A 
 
 
PLANILHA DE TRABALHO: 
 
TRAT REPETIÇÕES Totais 1 2 3 4 5 6 
A 8,3 9,4 9,1 9,9 8,2 8,5 53,4 
B 9,1 9,9 9,3 9,6 9,1 10,2 57,2 
C 10,2 11,8 12,7 10,3 12,9 13,1 71 
 181,6 
 
Obs.: Na planilha de trabalho ainda poderiam ser abertas colunas 
onde seriam colocadas mais informações, tais como: o número de 
repetições de cada tratamento, as médias e, também, as variâncias. 
 
 33
 
PLANILHA DE ENTRADA DE DADOS EM AMBIENTE 
COMPUTACIONAL: 
 
TRAT REP Y 
A=1 1 8,3 
A 2 9,4 
A 3 9,1 
A 4 9,9 
A 5 8,2 
A 6 8,5 
B=2 1 9,1 
B 2 9,9 
B 3 9,3 
B 4 9,6 
B 5 9,1 
B 6 10,2 
C=3 1 10,2 
C 2 11,8 
C 3 12,7 
C 4 10,3 
C 5 12,9 
C 6 13,1 
 
 
 34
 
Conforme o modelo matemático do DIC, a saber: Yij =  + ti + eij, 
há a formação de um sistema de equações lineares, conforme 
visto logo a seguir: 
 
8,3 =  + tA + eA1 
9,4 =  + tA + eA2 
9,1 =  + tA + eA3 
9,9 =  + tA + eA4 
8,2 =  + tA + eA5 
8,5 =  + tA + eA6 
9,1 =  + tB + eB1 
9,9 =  + tB + eB2 
9,3 =  + tB + eB3 
9,6 =  + tB + eB4 
9,1 =  + tB + eB5 
10,2 =  + tB + eB6 
10,2 =  + tC + eC1 
11,8 =  + tC + eC2 
12,7 =  + tC + eC3 
10,3 =  + tC + eC4 
12,9 =  + tC + eC5 
13,1 =  + tC + eC6 
 
 
A resolução do sistema linear é feito, em ambientes 
computacionais, via sistema matricial, a saber: 
 
A matriz X, é chamada matriz de delineamento; A matriz Y é 
chamada de matriz de resultados, onde são colocados os valores 
das estimativas de Y – variável-resposta; A matriz  é a matriz 
dos valores desconhecidos, que se quer determinar e, finalmente, 
a matriz , conhecida como matriz dos erros, valores atribuídos ao 
efeito do erro experimental em cada parcela (unidade 
experimental), que por uma questão de determinação e 
 35
quantificação do erro experimental, cuja magnitude deve ser 
considerado o menor possível, geralmente é igual a zero. 
 
 1 1 0 0 8,3 eA1 
 1 1 0 0 9,4 eA2 
 1 1 0 0 9,1 eA3 
 1 1 0 0 9,9 eA4 
 1 1 0 0 8,2 eA5 
 1 1 0 0 8,5 eA6 
 1 0 1 0 9,1 eB1 
 1 0 1 0 9,9 eB2 
 1 0 1 0 9,3 eB3 
 1 0 1 0 9,6 eB4 
 1 0 1 0 9,1 eB5  
 1 0 1 0 10,2 eB6 t1 
X = 1 0 0 1 Y = 10,2  = eC1  = t2 
 1 0 0 1 11,8 eC2 t3 
 1 0 0 1 12,7 eC3 4 x 1 
 1 0 0 1 10,3 eC4 
 1 0 0 1 12,9 eC5 
18 x 4 1 0 0 1 18 x 1 13,1 18 x 1 eC6 
 
Esta matriz é constituída apenas por variáveis chamadas de 
dummy, cujos valores são apenas (0 e 1), que determinam 
“presença” ou “ausência” de determinado efeito, seja devido à 
média e/ou a tratamentos. 
 
Este é um sistema do tipo: Y = X *  + { = 0}. A resolução de 
um sistema deste tipo, na forma matricial, que ocorre da seguinte 
maneira: 
(XT * X)-1 * Y = [(XT * X)-1 *(XT * X) = { 1}] *    = (XT * 
X)-1 * Y. 
 
A operação de multiplicar a matriz X pela sua transversa XT, é 
feita com o objetivo de encontrar os valores desconhecidos, pois a 
quantidade de valores que se quer encontrar, neste caso, são 
 36
cinco, que compõem a matriz . Como não se faz divisão entre 
matrizes, inverte-se para resolver o sistema. 
 
Multiplicando X(18;4) por XT(4;18) obtém-se a matriz: (XT * X)  
(4;4), a saber: 
 
 18 6 6 6 
(XT * X) = 6 6 0 0 
 6 0 6 0 
(5 x 5) 6 0 0 6 
 
Como sempre o determinante da matriz resultante será igual a 
zero (estudar as propriedades da matriz), não se encontra a inversa 
pelos procedimentos normalmente conhecidos, tendo-se que 
lançar mão de procedimentos da álgebra linear, conhecidos como 
inversas generalizadas, cujos métodos conhecidos são cinco: Duas 
formas de inversas condicionais, uma inversa de Moore Penrose; 
uma inversa reflexiva e uma inversa de mínimos quadrados. Uma 
forma prática de se obter uma inversa generalizadade uma matriz 
é zerar a primeira linha, a primeira coluna e, em seguida, inverter 
os valores da diagonal principal. Por exemplo, onde há o número 
6, coloca-se 1/6 e daí por diante. Estes procedimentos geralmente 
acontecem enquanto os programas (ambientes computacionais) 
fazem (rodam) a análise estatística, não sendo visto pelo usuário 
comum. 
 
 
 37 
Ao observar a planilha de trabalho, podem-se estabelecer algumas relações, a saber: 
 
Trat/Rep 1 2 3 4 5 6 Totais j Médias Variâncias 
A=1 8,3 9,4 9,1 9,9 8,2 8,5 53,4 6 8,9000 0,4600 
B=2 9,1 9,9 9,3 9,6 9,1 10,2 57,2 6 9,5333 0,2027 
C=3 10,2 11,8 12,7 10,3 12,9 13,1 71 6 11,8333 1,7027 
 
Pode-se calcular o valor das estimativas do erro experimental para cada parcela, subtraindo-se o valor da 
estimativa de cada parcela pela média de cada tratamento. Assim, tem-se: 
 
Trat/Rep 1 2 3 4 5 6 Total 
A -0,6000 0,5000 0,2000 1,0000 -0,7000 -0,4000 0 
B -0,4333 0,3667 -0,2333 0,0667 -0,4333 0,6667 0 
C -1,6333 -0,0333 0,8667 -1,5333 1,0667 1,2667 0 
 
Quando estudarmos o quadro da análise de variância do experimento (ANOVA ou ANAVA), verificaremos 
que o valor do Quadrado Médio do Resíduo (ou Erro) é igual ao valor da média das variâncias dos diversos 
tratamentos. No caso em particular, Q.M.R. = 0,7884 = 
3
7027,12027,046,0  . 
 
 38 
Ao estudarmos o efeito dos tratamentos (valor da média de cada tratamento subtraída da média geral), 
verificaremos que sua soma é nula, conforme restrição adotada para resolvermos o sistema que gerou as 
equações das somas de quadrados. No caso do experimento em estudo, a média geral é igual a 51,5. Assim, o 
efeito das estimativas dos tratamentos é: 
 
tˆ 1 = (8,9000 - 10,8889) = -1,1889 
tˆ 2 = (9,5333 – 10,8889) = -0,5556 
tˆ 3 = (11,8333 - 10,8889) = 1,7444 
 Soma = 0 
 
A Soma de quadrados dos tratamentos é igual à soma dos efeitos dos tratamentos elevado ao quadrado, 
multiplicado pelo valor do número de repetições (j), a saber: 
S.Q.Tr. = [(-1,1889)2 + (-0,5556)2 + (1,7444)2 ] * 6 = 28,5911. 
 
A Soma de quadrados do Resíduo ou Erro é igual à soma de quadrados das estimativas do erro experimental 
em cada parcela, a saber: S.Q.R. = S.Q.E. = [(-0,6)2 + (0,5)2 + ... + (1,2667)2] = 11,8267. 
 
A Soma de Quadrados Total S.Q.T. resulta da doma de S.Q.R. + S.Q.Tr. = 28,5911 + 11,8267 = 40,4178. 
 
 
 39 
Exemplo ilustrativo da aplicação do teste de Shapiro-Wilk: 
TRAT 
REPETIÇÕES 
Totais Médias 1 2 3 4 5 6 
A 58 49 51 56 50 48 312 52,00 
B 60 55 66 61 54 61 357 59,50 
C 59 47 44 49 62 60 321 53,50 
D 45 33 34 48 42 44 246 41,00 
 1.236 51,50 
 
Média Geral do Experimento: 
M.G.: 51,5 
 
 
 
 
Cálculo dos erros experimentais, em cada parcela: 
6,00 -3,00 -1,00 4,00 -2,00 -4,00 
0,50 -4,50 6,50 1,50 -5,50 1,50 
5,50 -6,50 -9,50 -4,50 8,50 6,50 
4,00 -8,00 -7,00 7,00 1,00 3,00 
 
 40 
Exemplo do cálculo do erro para a Repetição 1, do tratamento A: eA;1 = 58 – 52,0 = 6,0. Cálculo do erro da repetição 1, do 
tratamento B: eA;1 = 60 – 59,5 = -0,5. E daí por diante, subtraindo-se cada valor individual por cada média do respectivo tratamento 
ao qual pertence. 
 
Pode-se observar facilmente que a soma algébrica dos erros positivos e negativos se anulam. 
 
Próximo passo: Colocação dos erros em ordem: 
i ei 
1 -9,5 
2 -8 
3 -7 
4 -6,5 
5 -5,5 
6 -4,5 
7 -4,5 
8 -4 
9 -3 
10 -2 
11 -1 
12 0,5 
13 1 
14 1,5 
15 1,5 
16 3 
 41 
17 4 
18 4 
19 5,5 
20 6 
21 6,5 
22 6,5 
23 7 
24 8,5 
 
 
Como temos 4 tratamentos (I = 4), com 6 repetições (J = 6) cada, então o número de parcelas, ou unidades experimentais, deste 
experimento: I*J = 4 * 6 = 24. 
 
Então, vai-se até a Tabela T1 e destacam-se os coeficientes, conforme o respectivo número de unidades experimentais, a saber: 
P/n=24 
0,4493 
0,3098 
0,2554 
0,2145 
0,1807 
0,1512 
 42 
0,1245 
0,0997 
0,0764 
0,0539 
0,0321 
0,0107 
 
 
Em seguida, calcula-se o valor da constante “g”, a saber: 
 
 g = [0,4493 * (8,5 – (-9,5))] + [0,3098 * (7 – (-8))] + ... + [0,0107 * (0,5 – 1)]  g = 25,1494. 
 
Valores parciais do cálculo de “g”: 
 
g 
8,0874 
4,647 
3,4479 
2,7885 
2,07805 
1,512 
 43 
1,05825 
0,7976 
0,4584 
0,18865 
0,08025 
0,00535 
 
Cálculo da Soma de Quadrado dos Erros: S.Q.E. = (-9,5)2 + ... + (8,5)2 = 665. 
 
Agora, procede-se ao cálculo da estatística W: 
 
ܹ = (25,1494)ଶ665 = 0,9511∗∗ 
Vai-se até a Tabela T2 e destacam-se os valores referentes à estatística W, com n = 24 e α = 5% e 1%, respectivamente. 
 
W(24;5%) = 0,916 
W(24;1%) = 0,884 
Wc >Wt 
 Aceita 
H0. 
 
 44 
Como o valor do W calculado foi maior que o valor crítico, ou tabelado, então não se rejeita H0. Significa que os dados deste 
experimento provêm de uma população cujos erros se distribuem normalmente. 
 
 
 
Homogeneidade das variâncias – Homocedasticidade: Teste de Bartlett: 
 
As hipóteses formuladas, geralmente, são as seguintes: 
 
ቊ
ܪ଴:ܣݏ	ݒܽݎ݅â݊ܿ݅ܽݏ	݁݊ݐݎ݁	ܽݏ	݌݋݌ݑ݈ܽçõ݁ݏ	ݏã݋	ℎ݋݉݋݃ê݊݁ܽݏ:	ߪ௜ଶ = ߪ௝ଶ.
ܪଵ:ܣݏ	ݒܽݎ݅â݊ܿ݅ܽݏ	݁݊ݐݎ݁	ܽݏ	݌݋݌ݑ݈ܽçõ݁ݏ	ݏã݋	ℎ݁ݐ݁ݎ݋݃ê݊݁ܽݏ:	ߪ௜ଶ ≠ ߪ௝ଶ. 
Definidas as hipóteses, escolhe-se o nível de significância, geralmente 5% ou 1%. 
 
A estatística do teste é a seguinte: 
 
஼
ଶ = ൥෍(݊௜ − 1)݈݊ݏ̅ଶ −෍(݊௜ − 1)݈݊ݏ௜ଶ௔
௜ୀଵ
௔
௜ୀଵ
൩ ∴ 
 
ݏ̅ଶ = ∑ (௡೔ିଵ)௦೔మೌ೔సభ
∑ (௡೔ିଵ)ೌ೔సభ ; 
Onde: a = I = Nº de tratamentos; ni = ji = número de repetições por tratamento; G.L. = I – 1. 
 45 
 
Se o valor calculado do ଶ ficar próximo ao valor tabelado, necessário se faz a utilização do fator de correção, dado pela 
estatística: 
 
ܥ = 1 + 13(ܽ − 1) ൥෍ 1݊௜ − 1 − 1∑ (݊ଵ − 1)௔௜ୀଵ௔௜ୀଵ ൩ ; 
Onde: ni é o número de repetições do i-ésimo tratamento; a = número de tratamentos (I). 
Então, o valor do ଶ ajustado ficará: ௔௝.ଶ = ೎మ஼ . 
 
Avaliação das regiões críticas, isto é: Região de aceitação (RA) e de rejeição (RR) de H0. 
 
 
 46 
 
 
 
 47 
 
 
Exemplo ilustrativo da aplicação do Teste de Bartlett - Cálculos parciais: 
 
TRAT 
REPETIÇÕES 
Totais 
 
1 2 3 4 5 6 j - 1 ࢙࢞૛ ln(࢙࢞૛) (n - 1)* ln(࢙࢞૛) (n - 1) * ࢙࢞૛ 
A 58 49 51 56 50 48 312 5 16,4 2,7973 13,9864 82,0000 
B 60 55 66 61 54 61 357 5 19,5 2,9704 14,8521 97,5000 
C 59 47 44 49 62 60 321 5 59,5 4,0860 20,4299 297,5000 
D 45 33 34 48 42 44 246 5 37,6 3,6270 18,1350 188,0000 
 1.236 20 67,4034 665,0000 
 
 
 48 
Os cálculos parciais restantes são os seguintes: 
ݏ̅ଶ = 665,000020 = 33,2500. 
 
O número de graus de liberdade: G.L. = (I – 1) = 4 – 1 = 3. (Número de tratamentos – 1). 
O cálculo do valor calculado da estatística do teste é: 
 
௖
ଶ = 20 ∗ ln(33,2500) − 67,4034 = 2,677ࡺ.ࡿ.. 
 
Os valores tabelados são observados na tabela de qui-quadrado, teste paramétrico, que constam no arquivo: Tabelas Estatísticas. 
Para este caso, em particular, tem-se: (૙,૙૞;૜)૛ = ૠ,ૡ૚૞. Este valor também poderá ser encontrado, usando-se a planilha Excel, na 
função <Inv.qui>, entrando-se com o nível de significância (5%) e o número de graus de liberdade (I – 1). 
 
A comparação, para proceder à tomada de decisão, ocorre da seguinte forma: Se ௖
ଶ > 	௧ଶ	ܴ݆݁݁݅ݐܽ − ݏ݁	ܪ଴	݁	ܿ݋݈݊ܿݑ݅ −
ݏ݁	ݍݑ݁	ܽݏ	ݒܽݎ݅â݊ܿ݅ܽݏ	ݏã݋	ℎ݁ݐ݁ݎ݋݃ê݊݁ܽݏ.ܥܽݏ݋	ܿ݋݊ݐݎáݎ݅݋ , ܽܿ݁݅ݐܽ − ݏ݁	ܪ଴	݁	݌ݎ݋ܿ݁݀݁ − ݏ݁	à	ܣܱܸܰܣ. 
 
No caso de rejeição de H0, ou transformam-se os dados ou utiliza-se outros métodos, principalmente os não-paramétricos. 
 
 49 
Tabela T1 – Valores dos Coeficientes ai,n para o teste de Shapiro-Wilk, onde n é o tamanho da amostra ou número de 
parcelas; i consiste no par ordenado de erros, dos mais extremos para os mais centrais. 
 
i n = 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 13 
1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6062 0,5888 0,5739 0,5601 0,5475 0,5359 
2 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291 0,3315 0,3325 0,3325 
3 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141 0,2260 0,2347 0,2412 
4 0,0561 0,0947 0,1224 0,1429 0,1586 0,1707 
5 0,0399 0,0695 0,0922 0,1099 
6 0,0303 0,0539 
 
i n = 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
1 0,5251 0,5150 0,5056 0,4968 0,4886 0,4808 0,4734 0,4643 0,4590 0,4542 0,4493 0,4450 
2 0,3318 0,3306 0,3290 0,3272 0,3253 0,3232 0,3211 0,3185 0,3156 0,3126 0,3098 0,3069 
3 0,2460 0,2495 0,2521 0,2540 0,2553 0,2561 0,2565 0,2578 0,2571 0,2563 0,2554 0,2543 
4 0,1802 0,1878 0,1939 0,1988 0,2027 0,2059 0,2085 0,2119 0,2131 0,2139 0,2145 0,2148 
5 0,1240 0,1353 0,1447 0,1524 0,1587 0,1641 0,1686 0,1736 0,1764 0,1787 0,1807 0,1822 
6 0,0727 0,0880 0,1005 0,1109 0,1197 0,1271 0,1334 0,1399 0,1443 0,1480 0,1512 0,1539 
7 0,0240 0,0433 0,0593 0,0725 0,0837 0,0932 0,1013 0,1092 0,1150 0,1201 0,1245 0,1283 
8 0,0196 0,0359 0,0496 0,0612 0,0711 0,0804 0,0878 0,0941 0,0997 0,1046 
9 0,0163 0,0303 0,0422 0,0530 0,0618 0,0696 0,0764 0,0823 
10 0,0140 0,0263 0,0368 0,0459 0,0539 0,0610 
11 0,0122 0,0228 0,0321 0,0403 
12 0,0107 0,0200 
13 0,0000 
 
 
 
 
 50 
I n = 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
1 0,4407 0,4366 0,4328 0,4291 0,4254 0,4220 0,4188 0,4156 0,4127 0,4096 0,4068 0,4040 
2 0,3043 0,3018 0,2992 0,2968 0,2944 0,2921 0,2898 0,2876 0,2854 0,2834 0,2813 0,2794 
3 0,2533 0,2522 0,2510 0,2499 0,2487 0,2475 0,2463 0,2451 0,2439 0,2427 0,2413 0,2403 
4 0,2151 0,2152 0,2151 0,2150 0,2148 0,2145 0,2141 0,2137 0,2132 0,2127 0,2121 0,2116 
5 0,1836 0,1848 0,1857 0,1864 0,1870 0,1874 0,1878 0,1880 0,1882 0,1883 0,1883 0,1883 
6 0,1563 0,1584 0,1601 0,1616 0,1630 0,1641 0,1651 0,1660 0,1667 0,1673 0,1678 0,1683 
7 0,1316 0,1346 0,1372 0,1395 0,1415 0,1433 0,1449 0,1463 0,1475 0,1487 0,1496 0,1505 
8 0,1089 0,1128 0,1162 0,1192 0,1219 0,1243 0,1265 0,1284 0,1301 0,1317 0,1331 0,1344 
9 0,0876 0,0923 0,0965 0,1002 0,1036 0,1066 0,1093 0,1118 0,1140 0,1160 0,1179 0,1196 
10 0,0672 0,0728 0,0778 0,0822 0,0862 0,0899 0,0931 0,0961 0,0988 0,1013 0,1036 0,1056 
11 0,0476 0,0540 0,0598 0,0650 0,0697 0,0739 0,0777 0,0812 0,0844 0,0873 0,0900 0,0924 
12 0,0284 0,0358 0,0424 0,0483 0,0537 0,0585 0,0629 0,0669 0,0706 0,0739 0,0770 0,0798 
13 0,0094 0,0178 0,0253 0,0320 0,0381 0,0435 0,0485 0,0530 0,0572 0,0610 0,0645 0,0677 
14 0,0000 0,0084 0,0159 0,0227 0,0289 0,0344 0,0395 0,0441 0,0484 0,0523 0,0559 
15 0,0000 0,0076 0,0144 0,0206 0,0262 0,0314 0,0361 0,0404 0,0444 
16 0,0000 0,0068 0,0131 0,0187 0,0239 0,0287 0,0331 
17 0,0000 0,0062 0,0119 0,0172 0,0220 
18 0,0000 0,0057 0,0110 
19 0,0000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
I n = 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
1 0,4015 0,3989 0,3964 0,3940 0,3917 0,3894 0,3872 0,3850 0,3830 0,3808 0,3789 0,3770 0,3751 
2 0,2774 0,2755 0,2737 0,2719 0,2701 0,2684 0,2667 0,2651 0,2635 0,2620 0,2604 0,2589 0,2574 
3 0,2391 0,2380 0,2368 0,2357 0,2345 0,2334 0,2323 0,2313 0,2302 0,2291 0,2281 0,2271 0,2260 
4 0,2110 0,2104 0,2098 0,2091 0,2085 0,2078 0,2072 0,2065 0,2058 0,2052 0,2045 0,2038 0,2032 
5 0,1881 0,1880 0,1878 0,1876 0,1874 0,1871 0,1868 0,1865 0,1862 0,1859 0,1855 0,1851 0,1847 
6 0,1686 0,1689 0,1691 0,1693 0,1694 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1693 0,1692 0,1691 
7 0,1513 0,1520 0,1526 0,1531 0,1535 0,1539 0,1542 0,1545 0,1548 0,1550 0,1551 0,1553 0,1554 
8 0,1356 0,1366 0,1376 0,1384 0,1392 0,1398 0,1405 0,1410 0,1415 0,1420 0,1423 0,1427 0,1430 
9 0,1211 0,1225 0,1237 0,1249 0,1259 0,1269 0,1278 0,1286 0,1293 0,1300 0,1306 0,1312 0,1317 
10 0,1075 0,1092 0,1108 0,1123 0,1136 0,1149 0,1160 0,1170 0,1180 0,1189 0,1197 0,1205 0,1212 
11 0,0947 0,0967 0,0986 0,1004 0,1020 0,1035 0,1049 0,1062 0,1073 0,1085 0,1095 0,1105 0,1113 
12 0,0824 0,0848 0,0870 0,0891 0,0909 0,0927 0,0943 0,0959 0,0972 0,0986 0,0998 0,1010 0,1020 
13 0,0706 0,0733 0,0759 0,0782 0,0804 0,0824 0,0842 0,0860 0,0876 0,0892 0,0906 0,0919 0,0932 
14 0,0592 0,0622 0,0651 0,0677 0,0701 0,0724 0,0745 0,0765 0,0783 0,0801 0,0817 0,0832 0,0846 
15 0,0481 0,0515 0,0546 0,0575 0,0602 0,0628 0,0651 0,0673 0,0694 0,0713 0,0731 0,0748 0,0764 
16 0,0372 0,0409 0,0444 0,0476 0,0506 0,0534 0,0560 0,0584 0,0607 0,0628 0,0648 0,0667 0,0685 
17 0,0264 0,0305 0,0343 0,0379 0,0411 0,0442 0,0471 0,0497 0,0522 0,0546 0,0568 0,0588 0,0608 
18 0,0158 0,0203 0,0244 0,0283 0,0318 0,0352 0,0383 0,0412 0,0439 0,0465 0,0489 0,0511 0,0532 
19 0,0053 0,0101 0,0146 0,0188 0,0227 0,0263 0,0296 0,0328 0,0357 0,0385 0,0411 0,0436 0,0459 
20 0,0000 0,0049 0,0094 0,0136 0,0175 0,0211 0,0245 0,0277 0,0307 0,0335 0,0361 0,0386 
21 0,0000 0,0045 0,0087 0,0126 0,0163 0,0197 0,0229 0,0259 0,0288 0,0314 
22 0,0000 0,0042 0,0081 0,0118 0,0153 0,0185 0,0215 0,0244 
23 0,0000 0,0039 0,0076 0,0111 0,0143 0,0174 
24 0,0000 0,0037 0,0071 0,0104 
25 0,0000 0,0035 
 
 52 
Tabela T2 – Valores críticos para o Teste de Shapiro-Wilk, onde: n = número de parcelas ou tamanho da amostra; α = Nível 
de significância estabelecido. 
 
N α = 0,05 α = 0,01 
3 0,767 0,753 
4 0,748 0,687 
5 0,762 0,686 
6 0,788 0,713 
7 0,803 0,730 
8 0,818 0,749 
9 0,829 0,764 
10 0,842 0,781 
11 0,850 0,792 
12 0,859 0,805 
13 0,866 0,814 
14 0,874 0,825 
15 0,881 0,835 
16 0,887 0,844 
17 0,892 0,851 
18 0,897 0,858 
19 0,901 0,863 
20 0,905 0,868 
21 0,908 0,873 
22 0,911 0,878 
23 0,914 0,881 
24 0,916 0,884 
25 0,918 0,888 
26 0,920 0,891 
27 0,923 0,894 
 53 
N α = 0,05 α = 0,01 
28 0,924 0,896 
29 0,926 0,898 
30 0,927 0,900 
31 0,929 0,902 
32 0,930 0,904 
33 0,931 0,906 
34 0,933 0,908 
35 0,934 0,910 
36 0,935 0,912 
37 0,936 0,914 
38 0,938 0,916 
39 0,939 0,917 
40 0,940 0,919 
41 0,941 0,920 
42 0,942 0,922 
43 0,943 0,923 
44 0,944 0,924 
45 0,945 0,926 
46 0,945 0,927 
47 0,946 0,928 
48 0,947 0,929 
49 0,947 0,929 
50 0,947 0,930 
 
 
 
 54
 
 
Apesar de ser muito freqüente a necessidade de comparar duas médias 
amostrais, existem situações onde o pesquisador necessita comparar as 
médias de várias amostras concomitantemente. Nestes casos, deve-se aplicar 
a análise de variância, que possibilita detectar de há diferença entre as médias 
comparadas, todavia não indique entre quais médias há diferença, havendo 
necessidade de aplicação de testes complementares de comparação de 
médias múltiplas ou de uma técnica alternativa que é a comparação de médias, 
ou grupos de médias, a partir de utilização de contrastes ortogonais. 
 
Por uma questão de princípio, as variâncias das amostras não diferem 
significativamente entre si, isto é, podem ser consideradas como estimativas da 
mesma variância σ2. Além de tais valores, também será possível calcular a 
variância total, a variância entre as amostras e a variância dentro das 
amostras. 
 
As fórmulas que permitem calcular as variâncias, ou quadrados médios, têm 
como precursoras as somas de quadrados ou variabilidades, a saber: 
 
Resolvendo a ANOVA pelo método tradicional, primeiro efetuam-se alguns 
cálculos preliminares, a saber: 
 
  .142,1832
6*3
6,181
.56,18721,13...3,8...
.6,1811,13...3,8...
6
3
22
2222
11
2
11







IJ
GC
XXX
XXXG
J
I
IJij ij
ij IJij
 
 
Obtenção dos Graus de Liberdade: 
 
G.L. Total  G.L.T. = I*J – 1 = 6*3 – 1 = 17 
 
G.L. Tratamentos  G.L.Tr. = I – 1 = 3 – 1 = 2 
 
G.L. Resíduo =  G.L.R. = G.L.T. – G.L.Tr. = 17 – 2 = 15. 
 
Cálculo das Somas de Quadrados: 
 
Soma de quadrados totais: 
 
4178,40142,183256,1872...
2
2   n
X
XTQS 
 
 
Soma de quadrados de tratamentos (entre as amostras): 
 55
    .5911,28142,183271...4,53*
61... 22
22





 
n
X
r
T
TrQS 
 
Soma de quadrados dos resíduos (dentro das amostras): 
S.Q.R. = S.Q.T. - S.Q.Tr. = 40,4178 – 28,5911 = 11,8267. 
 
Desta forma, fica muito mais fácil a obtenção dos valores restantes da tabela 
de ANOVA, conforme se pode verificar abaixo: 
 
Tabela da análise de variância (ANOVA) 
Causas de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma de 
Quadrados 
Quadrado 
Médio 
F 
Entre as 
amostras 
t - 1 S.Q.Tr. S.Q.Tr/(t - 1) Q.M.Tr./Q.M.R. 
Dentro das 
amostras 
(n - 1) - (t - 1) 
= n - t 
S.Q.R. S.Q.R./(n - t) - 
Total n - 1 S.Q.T. - - 
onde: t = número de tratamentos comparados. 
 
Assim, tem-se: 
 
F.V. ou C.V. G.L. S.Q. Q.M. F. Signif. 
Tratamentos 2 28,5911 14,2956 18,1313 ** 
Resíduo 15 11,8267 0,7884 
Total 17 40,4178 
5%F(2;15) = 3,6823 1%F(2;15) = 6,3589. 
 
Agora podemos calcular o valor do Coeficiente de Variação do experimento, a 
saber: 
 
      %.93,4%..100*
0889,10
7884,0%..100*
...
%..  VCVC
X
RMQ
VC 
 
Pode-se observar que, para um experimento com poucos tratamentos e poucas 
repetições por tratamento, tal magnitude não é considerada muito alta, o que 
dá credibilidade aos dados ora em investigação. 
 
 
 56
Forma Alternativa de obtenção das Somas de Quadrados, e 
consequentemente a ANOVA, mediante aplicação de cálculo matricial: 
 
Podem-se obter as Somas de Quadrados, também, de forma matricial, 
utilizando os efeitos de tratamentos, efeitos dos erros, assim como os totais, a 
saber: 
 
Trat Rep TMP Trat Rep  ti eij TMP 
A 1 8,3 A 1 10,0889 -1,1889 -0,6000 8,3 
A 2 9,4 A 2 10,0889 -1,1889 0,5000 9,4 
A 3 9,1 A 3 10,0889 -1,1889 0,2000 9,1 
A 4 9,9 A 4 10,0889 -1,1889 1,0000 9,9 
A 5 8,2 A 5 10,0889 -1,1889 -0,7000 8,2 
A 6 8,5 A 6 10,0889 -1,1889 -0,4000 8,5 
B 1 9,1 B 1 10,0889 -0,5556 -0,4333 9,1 
B 2 9,9 B 2 10,0889 -0,5556 0,3667 9,9 
B 3 9,3 B 3 10,0889 -0,5556 -0,2333 9,3 
B 4 9,6 B 4 10,0889 -0,5556 0,0667 9,6 
B 5 9,1 B 5 10,0889 -0,5556 -0,4333 9,1 
B 6 10,2 B 6 10,0889 -0,5556 0,6667 10,2 
C 1 10,2 C 1 10,0889 1,7444 -1,6333 10,2 
C 2 11,8 C 2 10,0889 1,7444 -0,0333 11,8 
C 3 12,7 C 3 10,0889 1,7444 0,8667 12,7 
C 4 10,3 C 4 10,0889 1,7444 -1,5333 10,3 
C 5 12,9 C 5 10,0889 1,7444 1,0667 12,9 
C 6 13,1 C 6 10,0889 1,7444 1,2667 13,1 
 
Em seguida, obtêm-se as matrizes, a saber: 
 
 1 8,3 
Totais = ... ... 
(18 x 2) 1 13,1 
 
 
 1 -1,1889 
Trat = ... ... 
(18 x 2) 1 1,7444 
 
 
 1 -0,6 
Erros = ... ... 
(18 x 2) 1 1,2667 
 
Das matrizes obtidas, obtêm-se as respectivas transpostas, a saber: 
 
 57
 1 ... 1 
TotaisT = 8,3 ... 13,1 
(2 x 18) 
 
 
 1 ... 1 
TratT = -1,1889 ... 1,7444 
(2 x 18) 
 
 
 1 ... 1 
ErrosT = -0,6 ... 1,2667 
(2 x 18) 
 
 
O próximo passo será multiplicar as matrizes transpostas pelas respectivas 
matrizes iniciais, obtendo-se matrizes quadradas, das quais se calcula os 
respectivos determinantes. Os respectivos determinantes divididos pelo 
número de unidades experimentais ou parcelas fornecem as respectivas somas 
de quadrados, a saber: 
 
 18 181,6 
TotTTot = 181,6 1872,56 
(2 x 2) 
 det = 727,52 
 S.Q.T. = 40,4178 
S.Q. = det/(I*J) 
 
 
 18 0,0000 
TratTTrat = 0,0000 28,5911 
(2 x 2) 
 det = 514,64 
 S.Q.Tr. = 28,5911 
S.Q. = det/(I*J) 
 
 
 18 0,0000 
ErrosTErros = 0,0000 11,8267 
(2 x 2) 
 det = 212,88 
 S.Q.R. = 11,8267 
S.Q. = det/(I*J) 
 
 
Como já foi mencionado, o teste F, análise da variância, indica se há, ou não, 
diferença entre as médias das amostras comparadas, que representam os 
tratamentos, mas não deixa claro entre quais médias há diferença. Assim, 
torna-se necessário aplicar um dos testes de comparação de médias múltiplas. 
Existem várias opções, a saber: Teste de Tukey, teste de Duncan, teste de 
Scheffé, teste “t” de Student, teste de Dunnett, teste de Bonferroni, teste de 
Scott Knott e o teste de Student-Newman-Keuls (SNK), além do método dos 
 58
contrastes ortogonais. Neste caso em particular, vamos estudar o teste de 
Tukey, por ser considerado o mais robusto, além de ser o mais utilizado de 
forma geral. Este teste tem como base a diferença mínima significativa (DMS), 
representada por Δ, calculada segundo as situações abaixo: 
 
Neste caso, em particular, o teste F nos indicou que há diferença significativa 
entre as médias dos tratamentos comparados, o eu se pode afirmar com 1% de 
significância ou erro. Ainda não podemos, contudo, afirmar entre quais 
tratamentos, representados pelas suas médias, há diferença significativa. Para 
tanto, necessitamos aplicar um Teste de Comparação Múltipla de Médias. No 
caso, o Teste de Tukey. 
 
 
Estatística do teste de Tukey: 
 
Para dados balanceados (mesmo número e repetições para todas as amostras 
ou tratamentos): 
  ...** ˆ RMQssqr
sq m  
 
Para dados desbalanceados (números distintos de repetições para amostras 
ou tratamentos): 
ki
ki
mmYRMQ
rr
YVYVq ˆˆˆ...*11)ˆ(ˆ)ˆ(ˆ
2
1*' 





 
com ri e rk repetições respectivamente. 
 
O valor de “q” é um valor tabulado, sendo um distribuição de amplitude 
estudentizada ou padronizada. Exemplo: Dada uma distribuição, com n 
observações Y1, Y2, ..., Yn de uma distribuição normal, com média μ e variância 
σ2, estimada por s2, baseada na padronização dada por: 
 
   
s
YMinYMax
q iiglt

, 
 
Aplicação do Teste de Tukey para o exemplo acima: 
 
  ...** ˆ RMQssqr
sq m  
.3304,13625,0*67,3
6
7884,0*...* 315...  qJ
RMQq I RLG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59
Calculada a estatística do Teste de Tukey, deve-se colocar as médias em 
ordem decrescente, a saber: 
 
mˆ C = 11,8333 
mˆ B = 9,5333 
mˆ A = 8,9000 
 
Em seguida, as médias são comparadas, duas a duas, mediante aplicação de 
contrastes. O número total de contrastes envolvidos na comparação pode ser 
obtido mediante combinação, envolvendo o número de médias a serem 
comparadas, duas a duas, a saber: 
 
.3
!23!2
!3
2;3 
C Portanto, utilizaremos 
seis contrastes, a saber: 
 
..
1
*
1
*
1
6333,09000,85333,9ˆˆ
9333,29000,88333,11ˆˆ
3,25333,98333,11ˆˆ
SN
AB
AC
BC
mmY
mmY
mmY



 
 
Os valores destes contrastes foram comparados ao valor da estatística do teste 
de Tukey, obedecendo ao seguinte critério: 
 





.. Y 
* Y 
i
i
SNSe
Se
 
 
Onde: 
“*” Significa que há diferença significativa entre as médias comparadas. 
“N.S.” significa que não há diferença significativa entre as médias comparadas. 
 
No resultado final, que é o resumo do Teste de Tukey, observa-se que médias 
acompanhadas da mesma letra não apresentam diferenças significativas entre 
si, de acordo com o teste, ao nível de significância testado, geralmente 5%. 
 
mˆ C = 11,8333ª 
mˆ B = 9,5333b 
mˆ A = 8,9000b 
 
 
 60
 
 
Tal procedimento, no Excel, pode ser feito rapidamente da seguinte forma: 
 
Vá ao menu: Ferramentas ou <alt> + <m>, sendo a primeira vez, procure 
Suplementos e ative (ferramentas de análise). 
 
 
 
 
 
Se já utilizou tal ferramenta anteriormente, vá direto a (Ferramentas de análise) 
e escolha a opção (Análise de variância fator único). 
 
 
 
 
Em seguida, retornará a seguinte tela: 
 61
 
 
 
Entre com as opções disponíveis, tais como intervalo de entrada (conjunto de 
dados e sua disposição); (Presença, ou não, de rótulos de dados na primeira 
linha – cabeçalho); Nível de significância (alfa); Onde deseja que seja postado 
o relatório de saída dos dados (output). 
 
No Excel, os dados devem estar na seguinte formatação: