Coordenadas Polares(1)

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COORDENADAS POLARES
José Antônio Araújo Andrade
Graziane Sales Teodoro
Sistema de coordenadas polares:
Um sistema de coordenadas polares num plano
consiste em um ponto fixo, chamado de pólo (ou origem) e
de um raio que parte do pólo, chamado de eixo polar.
O
O
.
Pólo Eixo polar
Num tal sistema de coordenadas, podemos associar aNum tal sistema de coordenadas, podemos associar a
cada ponto no plano um par de coordenadas polares ,
onde é a distância de ao pólo e é o ângulo entre o eixo
polar e o raio . O numero é chamado de coordenada
radial de enquanto que é a coordenada angular (ou
ângulo polar) de .
P ( , )r θ
r P
OP
θ
r
P θ
P
O
.
Pólo Eixo polar
. ( , )P r θ
r
θ
Exemplo 1: Veja como são representados os pontos
, , e .(6,45 )° (5,120 )° (3,225 )° (4,330 )°
O
.
.
O.
45°
(6,45 )° .(5,120 )°
120°.
Pólo Eixo polar O.
Pólo Eixo polar
Pólo
Eixo polar
.
O
.
(3,225 )°
225°
Pólo
Eixo polarO
.
(4,330 )°
.
330°
As coordenadas polares de um ponto não são únicas:
Um ponto de coordenadas polares pode ser 
representado por uma infinidade de coordenadas polares. 
P ( , )r θ
Por exemplo,
(1,315 )° (1, 45 )− ° (1,675 )°
Pólo
O
.
.
(1,315 )°
315°
Pólo
O
.
.
(1, 45 )− °
45− °
Pólo
O
.
.
675°
(1,675 )°
Desse modo, se um ponto tiver coordenadas polares 
, então coordenadas equivalentes podem ser obtidas por:( , )r θ
P
e para todo não negativo( , .360 )r nθ + ° ( , .360 )r nθ − ° n
Estes sinais indicam o sentido
em que o ângulo se movimenta. O sinal
positivo indica o sentido anti-horário e
o negativo e sentido horário.
A coordenada radial de um ponto é não-negativa,
pois representa a distância de ao pólo. No entanto, seria
conveniente que pudesse ser negativo.
r
r
P
P
Seja podemos atingir este ponto da
seguinte maneira:
(3,225 )P = °
Pólo
Eixo polar
.
O
.
(3,225 )°
225°
Ou então podemos denotar o ponto por .P ( 3,45 )− °
Onde o sinal negativo serve para indicar que o ponto está 
sobre a extensão do lado final do ângulo.
.
Pólo
Eixo polar
.
O
.
( 3,45 )− °
45°
Em geral, o lado terminal de um ângulo de é a
extensão do lado terminal de , assim definimos as
coordenadas radiais negativas concordando que
180θ + �
θ
( ),r θ− e ( ), 180r θ + �
são coordenadas polares do mesmo ponto.são coordenadas polares do mesmo ponto.
Exemplo 2: Esboce o gráfico da equação polar .4r senθ=
Solução: A tábua seguinte contém algumas soluções da equação.
0
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi 2
3
pi 3
4
pi 5
6
pi
piθ
r 0 2 2 2 2 3 4 2 3 2 2 2 0
Observação: o gráfico será desenhado no ambiente computacional Winplot.
r 0 2 2 2 2 3 4 2 3 2 2 2 0
Em coordenadas retangulares, o gráfico da equação
consiste de ondas senoidais de amplitude e período . Mas
se utilizam coordenadas polares, então os pontos que
correspondem aos pares da tábua estão sobre o circulo de raio
. ; traçamos então o gráfico.
4 2pi
2
Como mero auxilio para grafar os pontos, entendemos o eixo
polar no sentido negativo e introduzimos uma reta vertical pelo
pólo. Outros pontos obtidos fazendo-se variar de a estão
sobre o mesmo circulo. Por exemplo, a solução
dá o mesmo ponto que ; o ponto correspondente a
θ 2pipi
72,
6
pi 
− 
 
2,pi  dá o mesmo ponto que ; o ponto correspondente a
é o mesmo obtido de ; e assim por diante. Fazendo
crescer indefinidamente, obtemos repetidamente os mesmos
pontos, em virtude da periodicidade da função seno.
2,
6  
52 2,
4
pi 
− 
 
2 2,
4
pi 
 
 
θ
Exemplo 3: Esboce o gráfico da equação .2 2cosr θ= +
Solução: Como a função cosseno decresce de a quando .
varia de a , segue-se que decresce de a nesse
intervalo . A tábua seguinte apresenta algumas soluções da
equação dada.
1−1 θ
0 pi r 4 0
θ
Observação: o gráfico será desenhado no ambiente computacional Winplot.
0
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi 2
3
pi 3
4
pi 5
6
pi
piθ
r 4 2 3+ 3 2 02 2+ 1 2 2− 2 3−
equação dada.
Se cresce de a , cresce de a , e
conseqüentemente cresce de a . Grafando pontos e
ligando-os por uma curva suave, obtemos o esboço, onde
utilizamos papel gráfico polar com retas por em vários
ângulos e círculos com centros no pólo. Pode-se obter o mesmo
gráfico tomando-se outros intervalos para .
θ 2pipi cosθ 1 1−
r 0 4
0
θ
O gráfico em forma de coração é chamado de cardióide. 
Em geral, o gráfico de qualquer equação polar da forma
(1 cos )r a θ= +
(1 cos )r a θ= −
(1 )r a senθ= +
(1 )r a senθ= −
onde é um número real, é uma cardióide.a