Aula 4: Continuidade de funções de duas variáveis. Limites e continuidade de funções de três variáveis. Derivadas parciais de funções de duas variáveis

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Continuidade de funções de duas variáveis
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto (a, b) ∈ Dom(f) se
lim
(x,y)→(a,b)
f(x, y) = f(a, b)
Observe que para f ser contínua em um ponto (a, b) é necessário que esse ponto (a, b)
pertença ao domínio de f (isto é, f precisa estar definida em (a, b)) e o limite de f quando
(x, y) tende a (a, b) precisa de existir E coincidir com o valor de f em (a, b).
Dizemos que uma função f é contínua se ela for contínua em TODOS os pontos de seu
domínio.
Se f e g são funções contínuas em (a, b) e se k ∈ R é uma constante qualquer, então as
seguintes funções também são contínuas em (a, b):
1. f + g.
2. f − g.
3. k · f .
4. f · g.
5.
f
g
se g(a, b) 6= 0.
Observamos que as funções polinomiais e as funções racionais são contínuas.
Continuidade da composta
Se g é uma função de duas variáveis contínua no ponto (a, b) e f é uma função de uma
variável contínua no ponto g(a, b), então a função composta f ◦ g é contínua no ponto (a, b).
Exemplo 1. Como a função g(x, y) = x3+xy+2y4 é contínua em R2 e a função f(x) = cos x
é contínua em R, então
f ◦ g(x, y) = f(g(x, y)) = cos (x3 + xy + 2y4)
também é contínua em R2.
Exemplo 2. A função f(x, y) definida por partes
f(x, y) =
{
x2y2 sen
(
1
x2+y2
)
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
é contínua. De fato, como
lim
(x,y)→(0,0)
x2y2 sen
(
1
x2 + y2
)
= 0
e f(0, 0) = 0, então f é contínua na origem. Seja (x, y) 6= (0, 0). Como
• a função seno é contínua em R;
• a função 1
x2 + y2
é contínua em R2\(0, 0) (por ser uma função racional cujo denominador
só se anula em (0, 0));
1
então a função sen
1
x2 + y2
é contínua em (x, y) 6= (0, 0). Como
• sen
(
1
x2 + y2
)
é contínua em (x, y) 6= (0, 0);
• x2y2 é contínua em (x, y) 6= (0, 0);
então f é contínua em (x, y) 6= (0, 0).
Concluímos assim, que f é contínua para todo (x, y) ∈ R2.
Funções de três variáveis
Definimos os conceitos de limites e continuidade para funções de três variáveis de forma
completamente análoga à que fizemos para funções de duas variáveis:
Dizemos que o limite de f quando (x, y, z) tende a (a, b, c) é um certo valor real L se
os valores da função f(x, y, z) se aproximam arbitrariamente de L à medida que os pontos
(x, y, z) ∈ Dom(f) se aproximam de (a, b, c).
Ou seja, se f é uma função de três variáveis, então dizemos que o limite de f(x, y, z) quando
(x, y, z) tende a (a, b, c) é L e escrevemos
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
f(x, y, z) = L
se para todo � > 0 existir δ > 0 tal que
|f(x, y, z)− L| < �
PARA TODO (x, y, z) ∈ Dom(f) que esteja à uma distância menor que δ do ponto (a, b, c)
(mas não nula), isto é, PARA TODO (x, y, z) ∈ Dom(f) satisfazendo√
(x− a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 < δ, (x, y, z) 6= (a, b, c)
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto (a, b, c) ∈ Dom(f) se
lim
(x,y,z)→(a,b,c)
f(x, y, z) = f(a, b, c)
e dizemos que uma função f é contínua se ela for contínua em TODOS os pontos de seu domínio.
Os resultados análogos (propriedades de limites, teorema do confronto, propriedades de
continuidade e continuidade de compostas) continuam valendo para funções de três variáveis.
Derivadas parciais de funções de duas variáveis
Seja f(x, y) for uma função de duas variáveis e suponha que (a, b) ∈ Dom(f).
Se permitirmos somente a variável x variar e mantivermos y = b fixo, então passamos a ter
uma função de uma única variável
g(x) = f(x, b)
já que y é constante igual a b e, portanto, deixa de ser uma variável. Se g for derivável em a,
então definimos g′(a) como sendo a derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) e a
denotamos por fx(a, b). Ou seja,
fx(a, b) = g
′(a) onde g(x) = f(x, b)
2
Como, pela definição de derivadas de uma única variável, temos que
g′(a) = lim
h→0
g(a+ h)− g(a)
h
então, temos que a derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) é dada pelo limite
fx(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
caso o limite exista.
Observação 1. Também costumamos denotar a derivada parcial de f com relação à x no ponto
(a, b) por
∂f
∂x
(a, b),
∂
∂x
f(a, b),
∂z
∂x
(a, b), D1f(a, b), Dxf(a, b)
Observe que, geometricamente, a superfície y = b é um plano perpendicular ao eixo y.
A interseção desse plano com a superfície z = f(x, y) é a curva dada pelo gráfico da função
z = f(x, b). A derivada parcial de f com relação à x no ponto (a, b) é exatamente a inclinação
da reta tangente à essa curva passando pelo ponto (a, b).
Exemplo 3. Calcule fx(1, 1) se f(x, y) = 4− x2 − 2y2.
Fixando y = 1, temos que
g(x) = f(x, 1) = 4− x2 − 2.12 = 2− x2
Derivando esta expressão com relação à x, obtemos
fx(x, 1) = g
′(x) = −2x
Quando x = 1 temos então
fx(1, 1) = −2
3
De forma análoga, se permitirmos somente a variável y variar e mantivermos x = a fixo,
então passamos a ter uma função de uma única variável
m(y) = f(a, y)
já que x é constante igual a a e, portanto, deixa de ser uma variável. Se m for derivável em b,
então definimos m′(b) como sendo a derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) e a
denotamos por fy(a, b). Ou seja,
fy(a, b) = m
′(b) onde m(y) = f(a, y)
Como, pela definição de derivadas de uma única variável, temos que
m′(b) = lim
h→0
m(b+ h)−m(b)
h
então, temos que a derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) é dada pelo limite
fy(a, b) = lim
h→0
f(a, b+ h)− f(a, b)
h
caso o limite exista.
Observação 2. Também costumamos denotar a derivada parcial de f com relação à y no ponto
(a, b) por
∂f
∂y
(a, b),
∂
∂y
f(a, b),
∂z
∂y
(a, b), D2f(a, b), Dyf(a, b)
Observe que, geometricamente, a superfície x = a é um plano perpendicular ao eixo x.
A interseção desse plano com a superfície z = f(x, y) é a curva dada pelo gráfico da função
z = f(a, y). A derivada parcial de f com relação à y no ponto (a, b) é exatamente a inclinação
da reta tangente à essa curva passando pelo ponto (a, b).
4
Exemplo 4. Calcule fy(1, 1) se f(x, y) = 4− x2 − 2y2.
Fixando x = 1, temos que
m(y) = f(1, y) = 4− 12 − 2y2 = 3− 2y2
Derivando esta expressão com relação à y, obtemos
fy(1, y) = m
′(y) = −4y
Quando y = 1 temos então
fy(1, 1) = −4
5
Se f(x, y) é uma função de duas variáveis, então chamamos as funções
fx(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
fy(x, y) = lim
h→0
f(x, y + h)− f(x, y)
h
de derivadas parciais de f .
Na prática, para calcular a derivada parcial de f com relação à x, consideramos y como
uma constante e derivamos f(x, y) com relação à x.
Analogamente, para calcular a derivada parcial de f com relação à y, consideramos x como
uma constante e derivamos f(x, y) com relação à y.
Exemplo 5. Se f(x, y) = xy + x2, então
fx(x, y) = y + 2x
fy(x, y) = x
Exemplo 6. Se f(x, y) = x cos y, então
fx(x, y) = cos y
fy(x, y) = −x sen y
Exemplo 7. Se f(x, y) = x cosx, então
fx(x, y) = cos x− x sen x
fy(x, y) = 0
Exemplo 8. Se f(x, y) = y cosx, então
fx(x, y) = −y sen x
fy(x, y) = cos x
Exemplo 9. Se f(x, y) = y2 cos(y3), então
fx(x, y) = 0
fy(x, y) = 2y cos(y
3) + y2 · (− sen (y3)) · 3y2 = 2y cos(y3)− 3y4 sen (y3)
Exemplo 10. Se f(x, y) = x cos(xy), então
fx(x, y) = cos(xy)− xy sen (xy)
fy(x, y) = −x2 sen (xy)
Exemplo 11. Se f(x, y) = x2 ln(xy + y2), então
fx(x, y) = 2x ln(xy + y
2) + x2 · 1
xy + y2
· y = 2x ln(xy + y2) + x
2
x+ y
fy(x, y) = x
2 · 1
xy + y2
· (x+ 2y) = x
3 + 2x2y
xy + y2
6
Derivadas parciais de segunda ordem
Como as derivadas parciais fx e fy de uma função de duas variáveis f são funções de duas
variáveis também, então podemos calcular suas derivadas parciais (fx)x, (fx)y, (fy)x e (fy)y.
Estas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de segunda ordem de f e utilizamos
as seguintes notações para elas se z = f(x, y):
(fx)x = fxx =
∂
∂x(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy =
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy)x = fyx =
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy)y = fyy =
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
=
∂2z
∂y2
Assim, o subíndice de f nos remete à ordem em que devemos derivar. Por exemplo, fxy
significa que temos que derivar primeiro com relação à x e depois com relação à y.
Exemplo 12. Calcule as derivadas de segunda ordem da função f(x, y) = x2 ln(xy).
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem de f , obtemos
fx(x, y) = 2x ln(xy) + x, e que fy(x, y) =
x2
y
Temos então que
fxx(x, y) =
∂
∂x
(2x ln(xy) + x) = 2 ln(xy) + 2x · 1
xy
· y + 1 = 2 ln(xy) + 3
fxy(x, y) =
∂
∂y
(2x ln(xy) + x) = 2x · 1
xy
· x = 2x
y
fyx(x, y) =
∂
∂x
(
x2
y
)
=
2x
y
fyy(x, y) =
∂
∂y
(
x2
y
)
= −x
2
y2
Observamos no exemplo anterior que as derivadas parciais de segunda ordem fxy e fyx são
iguais. Isto não foi uma mera coincidência. De fato, a maior parte das funções com as quais
nos deparamos tem esta propriedade. Existe um teorema, chamado de Teorema de Clairaut,
que nos diz que se f é uma função de duas variáveis definida em todos os pontos de um disco
do plano centrado em (a, b) (inclusive em (a, b)) e se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas
neste disco, então necessariamente
fxy(a, b) = fyx(a, b)
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