Prova 1 respondida Calculo 1 Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo I - Gabarito da 1a Avaliação - 20 de janeiro de 2017
1. Calcule os limites, caso existam:
a) (1 ponto) lim
h→0
1
(x+ h)2
− 1
x2
h
Solução: Com alguma manipulação algébrica temos:
L = lim
h→0
1
(x+ h)2
− 1
x2
h
= lim
h→0
x2 − (x+ h)2
(x+ h)2x2
h
= lim
h→0
x2 − (x2 + 2xh+ h2)
h(x+ h)2x2
= lim
h→0
x2 − x2 − 2xh− h2
h(x+ h)2x2
= lim
h→0
−2xh− h2
h(x+ h)2x2
= lim
h→0
−2x− h
(x+ h)2x2
=
−2x
x2x2
= − 2
x3
b) (1 ponto) lim
x→2
x− 2
x2 − 4x+ 4
Solução: Com alguma manipulação algébrica temos:
L = lim
x→2
x− 2
x2 − 4x+ 4
= lim
x→2
x− 2
(x− 2)2
= lim
x→2
1
x− 2
Como em x0 = 2,
1
x− 2 torna-se ilimitada, temos que calcular os limites laterais em
x0 = 2:
Fazendo a mudança de variável no limite x = 2 − h2, o limite à esquerda x → 2− é
equivalente a h→ 0.
L− = lim
x→2−
1
x− 2
= lim
h→0
1
2− h2 − 2
= lim
h→0
1
−h2
= − lim
h→0
1
h2
= −∞
Fazendo a mudança de variável no limite x = 2 + h2, o limite à direita x → 2+ é
equivalente a h→ 0.
L+ = lim
x→2+
1
x− 2
= lim
h→0
1
2 + h2 − 2
= lim
h→0
1
h2
= +∞
c) (1 ponto) lim
t→−∞
√
t6 − t+ t3
Solução: Com alguma manipulação algébrica, mudando a variável de limite z = −t,
t = −z, temos t→ −∞ é equivalente a z → +∞, logo:
L = lim
t→−∞(
√
t6 − t+ t3)
= lim
z→+∞(
√
(−z)6 − (−z) + (−z)3)
= lim
z→+∞(
√
z6 + z − z3)
= lim
z→+∞(
√
z6 + z −
√
z6)
Para eliminar a diferença das raízes quadradas usaremos o conjugado:
L = lim
z→+∞((
√
z6 + z −
√
z6)
√
z6 + z +
√
z6√
z6 + z +
√
z6
= lim
z→+∞
z6 + z − z6√
z6 + z +
√
z6
= lim
z→+∞
z√
z6 + z +
√
z6
Dividindo o numerador e o denominador por z temos:
L = lim
z→+∞
1√
z6 + z +
√
z6
z
= lim
z→+∞
1√
z6 + z
z2
+
√
z6
z2
= lim
z→+∞
1√
z4 +
1
z
+ z2
Usando as propriedades do limite e o fato de que lim
z→+∞
(√
z4 +
1
z
+ z2
)
= +∞ temos
que:
L = lim
t→−∞(
√
t6 − t+ t3) = lim
z→+∞
1√
z4 +
1
z
+ z2
= 0
d) (1 ponto) lim
x→0
x2 cos
(
1
x
)
.
Solução: Como −1 ≤ cos
(
1
x
)
≤ +1. Multiplicando a desigualdade por x2. Como
x2 > 0, x 6= 0 a desigualdade não é alterada. Daí, temos:
−x2 ≤ x2 cos
(
1
x
)
≤ x2
Passando o limite x→ 0 na desigualdade temos:
lim
x→0
−x2 ≤ lim
x→0
x2 cos
(
1
x
)
≤ lim
x→0
x2
Como lim
x→0
−x2 = 0 e displaystyle limx→0 x2 = 0 do Teorema do Confronto temos:
lim
x→0
x2 cos
(
1
x
)
= 0
2. (2 pontos) Determine os valores de x para os quais a função
f(x) =
 x
4 − 1
x− 1 , se x < 1
ex−1 + 3, se x ≥ 1
é contínua.
Solução: Como x4 − 1 e x − 1 (funções polinomiais) são contínuas em todo R então
x4 − 1
x− 1 é contínua em R − {1}. Em particular em para todo x < 1. Por outro lado
a ex (função exponencial), e−1 e 3 (funções constante) são contínuas em todo R e das
propriedades das funções contínuas soma e produto de funções contínuas são contínuas
temos que: ex−1 + 3 = e−1ex + 3 é também uma função contínua em todo R. Resta
portanto verificar a continuidade no ponto x0 = 1, onde f(1) = e1−1 + 3 = 4. A saber:
L− = lim
x→1−
f(x) = lim
x→1
x<1
f(x)
= lim
x→1
x4 − 1
x− 1
Como xn − an = (x− a)(xn−1 + xn−2a+ · · ·+ xan−2 + an−1). Para n = 4 e a = 1 temos:
x4 − 1 = (x− 1)(x3 + x2 + x+ 1) logo:
L− = lim
x→1
(x− 1)(x3 + x2 + x+ 1)
x− 1
= lim
x→1
(x3 + x2 + x+ 1)
= 4
Por outro lado,
L+ = lim
x→1+
f(x) = lim
x→1
x>1
f(x)
= lim
x→1
(ex−1 + 3
= e1−1 + 3
= 4
Logo, como lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
= f(1), f(x) também é contínua em x0 = 1.
3. (2 pontos) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação
senx = x2 − 10
possui solução.
Solução: Definindo f(x) = sen(x)−x2+10, temos que os zeros desta função real contínua
corresponde à solução da equação acima. Note que f(0) = sen(0) − 02 + 10 = 10 > 0 e
como sen(x) ≤ 1, sen(x) + 10 < 11, ∀x ∈ R, para x = 4 temos: f(4) = sen(4) + 10− 42 <
11 − 16 = −5 < 0. Portanto, segue do Teorema do Valor Intermediário que existe
c ∈ (0, 4) satisfazendo f(c) = 0.
4. (a) (1 ponto) Encontre f ′(x) para f(x) = x3 − 3.
Solução: Da definição temos:
f ′(x) def= lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
(x+ h)3 − 3− (x3 − 3)
h
= lim
h→0
x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − 3− x3 + 3
h
= lim
h→0
3x2h+ 3xh2 + h3
h
= lim
h→0
(3x2 + 3xh+ h2)
= 3x2
(b) (1 ponto) Encontre a equação da reta tangente à curva y = x3 − 3 no ponto (1,−2).
Solução: A equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x = a é dado por:
y = f ′(a)(x− a) + f(a)
Logo a equação da reta tangente à y = x3 − 3 no ponto (1,−2), usando o item acima
f ′(1) = 3.12 = 3, é dada por:
y = 3(x− 1)− 2
Ou simplificando y = 3x− 5.