Regras Derivação
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Regras Derivação


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REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 
Sejam: \u3b1 uma constante; x uma variável; f, g funções. Tem-se: 
 
( f + g )' = f ' + g' derivada da soma (\u3b1 f )' = \u3b1 . f ' 
derivada do produto 
de uma constante 
por uma função 
( f . g )' = f ' . g + f . g' derivada do produto 2
'.'.
g
gfgf
g
f \u2212=
\u2032
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b derivada do quociente 
[ g ( f(x))]' = g' ( f(x)) . f '(x) derivada da composta 
( f \u20131)' (x) = 
)y('f
1 derivada da inversa 
 
 
 
Sejam ainda: a e \u3b1 constantes; e nº neperiano; n nº natural. Tem-se: 
 
 
\u3b1 ' = 0 x ' = 1 
(x \u3b1 )' = \u3b1 x \u3b1 \u2013 1 ( f \u3b1 )' = \u3b1 f \u3b1 \u2013 1. f ' 
( )
x2
1x =\u2032 ( )
f
ff
2
'=\u2032 
( )
n 1n
n
xn
1x \u2212=
\u2032
 ( )
n 1n
n
fn
'ff
\u2212
=\u2032 
( e x)' = e x ( e f)' = e f . f ' 
( a x )' = a x . log a , a\u2208 IR+ \ {1} ( a f )' = a f . log a . f ' , a\u2208 IR+ \ {1} 
( f g)' = g . f g \u2013 1 . f ' + f g . log f . g' 
( log x)' = 1/x ( log f )' = f ' / f 
( log a x)' = ax log
1
\u22c5 , a\u2208 IR
+ \ {1} ( log a f )' = af
f
log
'
\u22c5 , a\u2208 IR
+ \ {1} 
( sen x)' = cos x ( sen f )' = cos f . f ' 
(cos x)' = \u2013 sen x (cos f )' = \u2013 sen f . f ' 
( tg x)' = sec 2 x = 1/ cos 2 x ( tg f )' = sec 2 f . f ' = f ' / cos 2 f 
( cotg x)' = \u2013 cosec 2 x = \u2013 1/ sen 2 x ( cotg f )' = \u2013 cosec 2 f . f ' = \u2013 f ' / sen 2 f 
( arc sen x)' = 
2x1
1
\u2212
 ( arc sen f )' = 
2f1
'f
\u2212
 
 ( arc cos x)' = \u2013
2x1
1
\u2212
 ( arc cos f )' = \u2013
2f1
'f
\u2212
 
( arc tg x)' = 2x1
1
+ ( arc tg f )' = 2f1
'f
+ 
( arc cotg x)' = \u2013 2x1
1
+ ( arc cotg f )' = \u2013 2f1
'f
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
TABELA DE PRIMITIVAS 
(Imediatas e Quase Imediatas) 
 
Sejam ainda: e nº neperiano; C uma constante real. Tem-se: 
 
P \u3b1 = \u3b1 x + C 
P(x \u3b1 ) = C
1
x 1 ++
+
\u3b1
\u3b1
 \u3b1 \u2260 \u20131 P( f ' . f \u3b1 ) = C
1
f 1 ++
+
\u3b1
\u3b1
 \u3b1 \u2260 \u20131 
P( e x) = e x + C P( f ' . e f ) = e f + C 
P( a x ) = 
a
a x
log
+ C , a\u2208 IR+ \ {1} P( f ' . a f ) = 
a
a f
log
+ C , a\u2208 IR+ \ {1} 
P ( 1/x) = log | x| + C P ( f ' / f ) = log | f | + C 
P( sen x) = \u2013 cos x + C P( f ' . sen f ) = \u2013 cos f + C 
P(cos x) = sen x + C P( f ´. cos f ) = sen f + C 
P (sec 2 x) = tg x + C P ( f ´. sec 2 f ) = tg f + C 
P( 1/ cos 2 x) = tg x + C P( f ' / cos 2 f ) = tg f + C 
P( cosec 2 x) = \u2013 cotg x + C P( f ' . cosec 2 f ) = \u2013 cotg f + C 
 P( 1 / sen 2 x) = \u2013 cotg x + C P( f ' / sen 2 f ) = \u2013 cotg f + C 
P
2x1
1
\u2212
= arc sen x + C P
2f1
'f
\u2212
= arc sen f + C 
P 2x1
1
+ = arc tg x + C P 2f1
'f
+ = arc tg f + C 
Substituições aconselháveis: 
Se na função figura a expressão... Substitui-se x = g(t) por \u2026 
2 2-a x =x a sent 
2 2+a x =x a tg t 
2 2-x a sec=x a t 
a xe ln=x t 
lna x = tx e 
+n ax b -=
nt bx
a
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
TIPO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL SOLUÇÃO 
y' + g(x) y = 0 y = k e \u2013 \u222b g(x) dx , k constante 
y' + g(x) y = h(x) y = c e \u2013 \u222b g (x) dx + e \u2013\u222b g (x) dx \u222b e \u222b g (x) dx h(x) dx , c\u2208 IR 
A(y) dy = B(x) dx \u222b A(y) dy = \u222b B(x) dx + c , c\u2208 IR .