Probabilidade Estatística Aplicada

Prévia do material em texto

Larson/Farber Ch. 3
3
Probabilidade
Estatística Aplicada 
Previsão do tempo
Jogos
Esportes
Negócios
Medicina
Larson/Farber Ch. 3
Seção 3.1
Conceitos básicos de probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
{ 1 2 3 4 5 6 }
{ Obter um número par } = { 2 4 6 }
{4}
Lançar um dado.
Experimento probabilístico:
Ação ou tentativa por meio da qual se obtêm contagens, medições ou respostas.
Espaço amostral:
O conjunto de todos os possíveis resultados.
Evento:
Subconjunto do espaço amostral.
Resultado:
Termos importantes
O resultado de uma única tentativa.
Larson/Farber Ch. 3
Experimento probabilístico: Ação por meio da qual se obtém contagens, medições ou respostas.
 
Espaço amostral: O conjunto de todos os possíveis resultados.
Evento: Subconjunto do espaço amostral.
Resultado: O resultado de uma única tentativa.
EX: Escolher um carro da linha de produção.
Outro experimento
Larson/Farber Ch. 3
Clássica/teórica (resultados igualmente prováveis) - todos resultados podem ocorrer
A probabilidade de que a pressão sangüínea abaixe após a medicação.
A probabilidade de que a linha telefônica esteja ocupada
Agronomo estima a percas por ataque de perevejo;;.
Empírica
Subjetiva
Tipos de probabilidade
número de resultados em E
número total de resultados no espaço amostral
Freqüência no evento E
Freqüência total
P(E)
P(E)
 evento = E
 p.110
Larson/Farber Ch. 3
Dois dados são jogados.
Descreva o espaço amostral.
1a jogada
36 resultados
2a jogada
Início
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
Três diagramas
Larson/Farber Ch. 3
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
6,1
6,2
6,3
6,4
6,5
6,6
Detemine a probabilidade de que a soma seja 4.
Determine a probabilidade de que a soma seja 11.
Determine a probabilidade de que a soma seja 4 ou 11.
Dois dados são jogados e sua soma é anotada.
Espaço amostral e probabilidades
3/36 = 1/12 = 0,083
2/36 = 1/18 = 0,056
5/36 = 0,139
Larson/Farber Ch. 3
Eventos complementares
O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam incluídos no evento E.
A produção diária é de 12 carros, 5 dos quais são defeituosos. Se um carro for selecionado ao acaso, determine a probabilidade de que ele não seja defeituoso. 
E´
Solução:
 P(defeituoso) = 5/12 = 0,41667
 Pdefeituoso) = 1 – 5/12 = 7/12 = 0,583
P(E´) = 1 – P(E)
 p 113
Larson/Farber Ch. 3
Eventos complementares
Se jogar um dado e deixar ser E u evento “ número que seja ao menos 5” entao o complemento do E “número menor que 5”
Em simbolos :
E= {5,6} E’ = {4, 3,2,1}
 p 113
Larson/Farber Ch. 3
Seção 3.2
Probabilidade condicional e a 
regra da multiplicação
Larson/Farber Ch. 3
A probabilidade de um evento B ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento A já ocorreu. 
Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 carros, 5 deles defeituosos. Qual é a probabilidade de o segundo carro ser defeituoso, dado que o primeiro carro era defeituoso?
Escrevemos essa situação como P(B|A) e lemos “a probabilidade de B, dado A”.
Dado que um carro defeituoso já foi selecionado, o espaço amostral condicional possui 4 carros defeituosos entre 11. Logo, P(B|A) = 4/11.
Probabilidade condicional
 p 119
Larson/Farber Ch. 3
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade
de sair 4 no segundo, dado que no primeiro já saiu 4.
Espaço amostral original: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dado que no primeiro dado saiu 4, o espaço amostral condicional é: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Logo, a probabilidade condicional, P(B|A) = 1/6
Eventos independentes
Larson/Farber Ch. 3
Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A.
A = tomar uma aspirina por dia.
B = ter um ataque do coração.
A = ser mulher.
B = ter menos de 1,62 m.
Dois eventos que não são independentes são dependentes.
A = ser mulher.
B = ter sangue tipo O.
A = 1o filho ser menino.
B = 2o filho ser menino.
Eventos independentes
Larson/Farber Ch. 3
 Se os eventos A e B são independentes, P(B|A) = P(B)
Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso.
	A = o primeiro carro é defeituoso.
	B = o segundo carro é defeituoso.
A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes.
Dois dados são lançados. A = sair 4 no primeiro e B = sair 4 no segundo. 
P(B) = 1/6 e P(B|A) = 1/6. Os eventos são independentes.
Eventos independentes
Probabilidade condicional
Probabilidade
Larson/Farber Ch. 3
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.
1. P(sim)
2. P(Seattle)
3. P(Miami)
4. P(não, dado Miami)
Miami
Total
Sim
100
150
150
 400
Não
125
130
95
 350
Não sabe
 75
170
 5
 250
Total
300
450
250
1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
Tabela de contingência
Omaha
Seattle
Larson/Farber Ch. 3
1. P(sim)
2. P(Seattle)
3. P(Miami)
4. P(não, dado Miami)
100
150
150
125
130
95
 350
 75
170
 5
 250
Omaha
Seattle
Miami
Total
Sim
Não
Não sabe
Total
 400
1.000
= 95/250 = 0,38
= 250/1.000 = 0,25
Respostas: 1) 0,4 2) 0,45 3) 0,25 4) 0,38
= 450/1.000 = 0,45
Soluções
= 400/1.000 = 0,4
Larson/Farber Ch. 3
Para determinar a probabilidade de que dois eventos, A e B, ocorram em seqüência, multiplique a probabilidade de A ocorrer pela probabilidade condicional de B ocorrer, dado que A já ocorreu.
P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos.
A = o 1o carro é defeituoso. B = o 2o carro é defeituoso.
P(A) = 5/12
P(B|A) = 4/11
P(A e B) = 5/12 x 4/11 = 5/33 = 0,1515
Regra da Multiplicação
dependentes
Larson/Farber Ch. 3
Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos.
A = sair 4 no primeiro dado e B = sair 4 no segundo dado.
P(A) = 1/6
P(B|A) = 1/6
P(A e B) = 1/6 x 1/6 = 1/36 = 0,028
Quando dois eventos A e B são independentes, 
P(A e B) = P(A) x P(B)
Observe que para eventos independentes P(B) e P(B|A) são as mesmas.
Regra da Multiplicação
Larson/Farber Ch. 3
Seção 3.3
A Regra da Adição
Larson/Farber Ch. 3
Compare “A e B” a “A ou B”
O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. Para definir P(A e B), usa-se a Regra da Multiplicação.
O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como B pode ocorrer sem A, ou ainda tanto A quanto B podem ocorrer. 
Para definir P(A ou B), usa-se a Regra da Adição.
A ou B
A e B
Larson/Farber Ch. 3
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos, A e B, serão mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer na mesma tentativa.
A = ter menos de 21 anos.
B = estar concorrendo ao Senado dos Estados Unidos.
A = ter nascido na Filadélfia.
B = ter nascido em Houston.
A
B
Exclusão mútua
P(A e B) = 0
Se o evento A ocorre, isso exclui o evento B da tentativa.
Larson/Farber Ch. 3
Eventos não mutuamente exclusivos
Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos.
A = ter menos de 25 anos.
B = ser um advogado.
A = ter nascido na Filadélfia.
B = ver West wing na TV.
A e B
Larson/Farber Ch. 3
A Regra da Adição
A probabilidade de que um ou outro dos dois eventos ocorram é: 
 P(A) + P(B) – P(A e B)
Uma carta é tirada de um baralho.Determine a probabilidade de ser um rei ou ser de naipe vermelho.
A = a carta é um rei. B = a carta é vermelha.
P(A) = 4/52 e P(B) = 26/52 
 mas P(A e B) = 2/52
P(A ou B) = 4/52 + 26/52 – 2/52 
		= 28/52 = 0,538
Larson/Farber Ch. 3
A Regra da Adição
Uma carta é tirada de um baralho. Determine a probabilidade de a carta ser um rei ou um 10.
A = a carta é um rei. B = a carta é um 10. 
P(A) = 4/52 e P(B) = 4/52 e P(A e B) = 0/52
P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0/52 = 8/52 = 0,054
Quando os eventos são mutuamente exclusivos,
 P(A ou B) = P(A) + P(B)
Larson/Farber Ch. 3
Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir.
Tabela de contingência
3. P(Miami ou sim)
4. P(Miami ou Seattle)
Omaha
Seattle
Miami
Total
Sim
100
150
150
 400
Não
125
130
95
 350
Não sabe
 75
170
 5
 250
Total
300
450
250
1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
1. P(Miami e sim)
2. P(Miami e Seattle)
Larson/Farber Ch. 3
Tabela de contingência
1. P(Miami e sim)
2. P(Miami e Seattle)
= 250/1.000 • 150/250 = 150/1.000 = 0,15
= 0
Omaha
Seattle
Miami
Total
Sim
100
150
150
 400
Não
125
130
95
 350
Não sabe
 75
170
 5
 250
Total
300
450
250
1.000
Uma das respostas é selecionada ao acaso. Determine:
Larson/Farber Ch. 3
Tabela de contingência
3. P(Miami ou sim)
4. P(Miami ou Seattle)
250/1.000 + 450/1.000 – 0/1.000
= 700/1.000 = 0,7
Omaha
Seattle
Miami
Total
Sim
100
150
150
 400
Não
125
130
95
 350
Não sabe
 75
170
 5
 250
Total
300
450
250
1.000
250/1.000 + 400/1.000 – 150/1.000
= 500/1.000 = 0,5
Larson/Farber Ch. 3
Probabilidade de que pelo menos um dos eventos ocorra
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Some as probabilidades simples; para evitar contagem dupla, não se esqueça de subtrair a probabilidade de que ambos ocorram.
Para eventos complementares P(E') = 1 – P(E)
Subtraia, de um evento, a probabilidade do outro. 
Probabilidade de que ambos os eventos ocorram
P(A e B) = P(A) • P(B|A)
Multiplique a probabilidade do primeiro evento pela probabilidade condicional de que o segundo evento ocorra, dado que o primeiro já ocorreu.
Resumo
Larson/Farber Ch. 3
Seção 3.4
Princípios da contagem
Larson/Farber Ch. 3
Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras pelas quais os dois eventos podem ocorrer em seqüência é m • n. Essa regra pode ser estendida para qualquer número de eventos que ocorram em seqüência. 
Se uma refeição consiste em duas opções de sopa, três de prato principal e duas de sobremesa, quantas refeições diferentes podem ser compostas?
= 12 refeições
Início
2
Sopa
•
3
Principal
2
•
Sobremesa
Princípio Fundamental da Contagem
Larson/Farber Ch. 3
Fatoriais
Suponha que você queira colocar n objetos em ordem.
Há n opções para o primeiro lugar.
Restarão n – 1 opções para o segundo, depois n – 2 opções para o terceiro e assim por diante, até que, no último lugar, não vai mais haver opções.
Com base no Princípio Fundamental da Contagem, o número de maneiras em que n objetos podem ser arranjados é: 
Essa expressão chama-se n fatorial e escreve-se n!.
n(n – 1)(n – 2)…1
Larson/Farber Ch. 3
Uma permutação é um arranjo ordenado.
O número de permutações para n objetos é n! 
n! = n (n – 1) (n – 2) ... 3 • 2 • 1
O número de permutações de n objetos, 
tomando-se r a cada vez (onde r  n), é:
Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. Em quantas seqüências diferentes você pode fazê-lo?
Há 6.720 permutações de oito livros para se lerem cinco.
Permutações
6.720
Repeti~ir ordem 
Larson/Farber Ch. 3
Uma combinação é uma seleção de r objetos em um grupo de n objetos.
O número de combinações de n objetos, tomando-se r a cada vez, é:
Você precisa ler cinco livros de uma lista de oito. De quantas maneiras você pode escolher os livros se a ordem não importar?
Há 56 combinações de 8 objetos tomando-se 5.
Combinações
Larson/Farber Ch. 3
2
3
 Combinações de 4 objetos escolhendo-se 2
1
4
Cada um dos seis grupos representa uma combinação.
1
4
3
4
2
4
2
3
Larson/Farber Ch. 3
2
3
Permutações de quatro objetos escolhendo-se dois
1
4
Cada um dos 12 grupos representa uma permutação.
2
3
2
3
1
4
3
4
2
4
1
4
3
4
2
4
*
Basic Definitions are given first. Each concept is then illustrated.
*
A quality control example utilizing the newly defined terms
*
The three types of probability and an example for each. Formulas for classical and empirical probabilities are given. In classical probability all simple outcomes are equally likely.
*
Illustration of a tree diagram using the roll of two dice.
*
The sum is 4 can be successful in 3 ways. P(4) = 3/36 = 1/12 = 0.083
The sum is 11 can be successful in 2 ways. P11) = 2/36 = 118 =0.056
*
Sometimes it is easier to calculate the probability that an event won’t happen. Then subtract from 1 to find the probability that it will
*
Sometimes it is easier to calculate the probability that an event won’t happen. Then subtract from 1 to find the probability that it will
*
2 illustrations for conditional probability, one with dependent events the other with independent events.
*
2 illustrations for conditional probability, one with dependent events the other with independent events. Note that knowing what happens on the first die, does not affect the probability of rolling a 4 on the second.
*
Intuitive examples for pairs of independent events and pairs of dependent events
*
Distinguish between 2 events that are independent and 2 events that are dependent.
*
A 3 by 3 contingency table
*
Notice how the sample space changes when an event is “given”.
*
*
*
*
*
*
*
*
*
The probability of ordering a particular soup and particular main dish and a particular desert is 1/12 or 0.083
*
Emphasize that in counting permutations, order is important.
*
In counting combinations, order does not matter. An object is either selected or it is not.
*
The next two slides show the difference between permutations and combinations. With 4 objects, there are 6 ways to chose 2 without regard to order.
*
If order is important, there are 12 ways of arranging 4 objects, choosing 2. If there are r members in each subset, then each subset can be arranged in r! ways. In this case there are 2 members in each subset so each subset (combination) can be arranged in 2! = 2*1 = 2 ways