Transferência de Calor e Massa

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CONDUÇÃO DE CALOR EM
PAREDES PLANAS 1D E EM
REGIME PERMANENTE
Transferência de Calor e Massa
Sumário
 RESISTÊNCIA TÉRMICA E RESISTÊNCIA 
ELÉTRICA – analogia útil
 Fluxo de Calor em Paredes Planas Compostas
 Exemplo
 Exercício Proposto
Analogia entre resistência elétrica e resistência térmica
 Elétrica
 i-intensidade de corrente
 Re – resistência elétrica
 ΔU – diferência de tensão ou
potencial elétrico
 Térmica
 R=L/kA resistência térmica
 ΔT – diferença de temperatura
ou pontencial térmico
 No numerador a propriedade
que causa o transporte e
 O denominador a resistência ao
transporte de calor
Analogia entre resistência elétrica e resistência térmica
 Observa-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos
elétricos e térmicos de conduc ̧ão de calor, fazendo a seguinte
correspondência:
 
19 
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma : 
 
 parede da térmicaaresistênci a é 
e térmicopotencial o é onde, 
R
T
R
T
q
 
( eq. 3.8 )
 
 
Se substituirmos na equação 3.8 o símbolo do potencial de temperatura T pelo de potencial 
elétrico, isto é, a diferença de tensão U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da 
resistência elétrica Re, obtemos a equação 3.9 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente 
elétrica : 
 
eR
U
i ( eq. 3.9 ) 
 
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante a usada em circuitos 
elétricos, quando representamos a resistência térmica de uma parede ou associações de 
paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e atravessada por 
um fluxo de calor q , pode ser representada assim : 
 
[ figura 3.6 ] 
 
3.4. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma fonte 
de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do 
outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a transferência de um 
fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, 
analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de 
uma camada interna de refratário ( condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediária 
de isolante térmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço ( 
condutividade k3 e espessura L3). A figura 3.7 ilustra o perfil de temperatura ao longo da 
espessura da parede composta : 
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4T
 
[ figura 3.7 ] 
Δ
A equac ̧a ̃o de descric ̧a ̃o de um sistema pode ser transformada em uma
equac ̧a ̃o para outro sistema pela simples troca dos símbolos das variáveis
Fluxo de Calor em Paredes Planas Compostas
 Considere a Figura formada por paredes compostas de diferentes materiais
associadas em série:
 Hipóteses: 
 Conduc ̧a ̃o unidimensional,
 regime permanente, 
 sem gerac ̧a ̃o de calor
 paredes compostas.
 Determinar o Fluxo de calor que atravessa a parede composta:
 
19 
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma : 
 
 parede da térmicaaresistênci a é 
e térmicopotencial o é onde, 
R
T
R
T
q
 
( eq. 3.8 )
 
 
Se substituirmos na equação 3.8 o símbolo do potencial de temperatura T pelo de potencial 
elétrico, isto é, a diferença de tensão U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da 
resistência elétrica Re, obtemos a equação 3.9 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente 
elétrica : 
 
eR
U
i ( eq. 3.9 ) 
 
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante a usada em circuitos 
elétricos, quando representamos a resistência térmica de uma parede ou associações de 
paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e atravessada por 
um fluxo de calor q , pode ser representada assim : 
 
[ figura 3.6 ] 
 
3.4. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma fonte 
de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do 
outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a transferência de um 
fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, 
analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de 
uma camada interna de refratário ( condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediária 
de isolante térmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço ( 
condutividade k3 e espessura L3). A figura 3.7 ilustra o perfil de temperatura ao longo da 
espessura da parede composta : 
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4T
 
[ figura 3.7 ] 
Fluxo de Calor em Paredes Planas Compostas
 O Fluxo de calor é obtido calculando-se o fluxo em cada parede
individualmente:
 Parede 1 Parede 2 Parede 3:
 
19 
Portanto, o fluxo de calor através da parede pode ser expresso da seguinte forma : 
 
 parede da térmicaaresistênci a é 
e térmicopotencial o é onde, 
R
T
R
T
q
 
( eq. 3.8 )
 
 
Se substituirmos na equação 3.8 o símbolo do potencial de temperatura T pelo de potencial 
elétrico, isto é, a diferença de tensão U, e o símbolo da resistência térmica R pelo da 
resistência elétrica Re, obtemos a equação 3.9 ( lei de Ohm ) para i, a intensidade de corrente 
elétrica : 
 
eR
U
i ( eq. 3.9 ) 
 
Dada esta analogia, é comum a utilização de uma notação semelhante a usada em circuitos 
elétricos, quando representamos a resistência térmica de uma parede ou associações de 
paredes. Assim, uma parede de resistência R, submetida a um potencial T e atravessada por 
um fluxo de calor q , pode ser representada assim : 
 
[ figura 3.6 ] 
 
3.4. ASSOCIAÇÃO DE PAREDES PLANAS EM SÉRIE 
 
Consideremos um sistema de paredes planas associadas em série, submetidas a uma fonte 
de calor , de temperatura constante e conhecida, de um lado e a um sorvedouro de calor do 
outro lado, também de temperatura constante e conhecida. Assim, haverá a transferência de um 
fluxo de calor contínuo no regime permanente através da parede composta. Como exemplo, 
analisemos a transferência de calor através da parede de um forno, que pode ser composta de 
uma camada interna de refratário ( condutividade k1 e espessura L1), uma camada intermediária 
de isolante térmico ( condutividade k2 e espessura L2) e uma camada externa de chapa de aço ( 
condutividade k3 e espessura L3). A figura 3.7 ilustra o perfil de temperatura ao longo da 
espessura da parede composta : 
L L L
1
2 3
k k k
1
2 3
q
.
T
T
T
1
2
3
4T
 
[ figura 3.7 ] 
 Em seguida somamos e rearranjar as equações;
 Note que separamos as diferenças de T e depois somamos as 
equações:
 Observe que as T intermediárias se anulam dando lugar a diferença de 
T das paredes extremas.
Fluxo de Calor em Paredes Planas Compostas
Fluxo de Calor em Paredes Planas Compostas
 Fazendo a associação com resistências elétricas :
 Obtemos a expressão para o fluxo de calor para paredes planas
compostas;
 Expressão Geral do Fluxo de Calor para n paredes planas associadas
em série :
Fluxo de calor em Paredes Planas associadas em paralelo
 Considere um sistema de duas paredes planas de condutividades
térmicas k1 e k2 associadas em paralelo; a temperaturas constantes;
 A transferência de calor total contínuono regime permanente é obtido
somando-se q1 e q2
 
21 
 
[ figura 3.8 ] 
 
O fluxo de calor que atravessa a parede composta pode ser obtido em cada uma das paredes 
planas individualmente : 
 
.
.( );
.
.( )q
k A
L
T T q
k A
L
T T1
1 1
1
1 2 2
2 2
2
1 2 ( eq. 3.14 ) 
 
O fluxo de calor total é igual a soma dos fluxos da equação 3.14 : 
 
).(
..
).(
.
).(
.
21
2
22
1
11
21
2
22
21
1
11
21 TT
L
Ak
L
Ak
TT
L
Ak
TT
L
Ak
qqq ( eq. 3.15 ) 
 
A partir da definição de resistência térmica para parede plana ( equação 3.7 ), temos que : 
 
R
L
k A R
k A
L.
.1
 ( eq. 3.16 ) 
 
Substituindo a equação 3.16 na equação 3.15, obtemos : 
 
21
21
21
21
111
 onde, 
)(
).(
11
RRRR
TT
TT
RR
q
tt
 
 
Portanto, para o caso geral em que temos uma associação de n paredes planas associadas em 
paralelo o fluxo de calor é dado por : 
 
n
n
i itt
total
RRRRR
onde
R
T
q
11111
,
211
 ( eq. 3.17 ) 
 
Em uma configuração em paralelo, embora se tenha transferência de calor bidimensional, é 
freqüentemente razoável adotar condições unidimensionais. Nestas condições, admite-se que as 
superfícies paralelas à direção x são isotérmicas. Entretanto, a medida que a diferença entre as 
Fluxo de calor em Paredes Planas associadas em paralelo
 O fluxo total de calor q é obtido somando-se q1 e q2:
 Utilizando os conceitos de resistência e subst. R na eq acima
 Temos:
FLUXO DE CALOR PARA PAREDES PLANAS ASSOCIADAS EM PARALELO:
Exemplo 1
 Considere a parede de um forno e constituída de duas camadas : 0,20 m 
de tijolo refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 
kcal/h.m. oC). A temperatura da superfície interna do refratário é 1675 oC e 
a temperatura da superfície externa do isolante é 145 oC. Determine:
 a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; 
 b) a temperatura da interface refratário/isolante, ou seja, T2. 
 
23 
Para os circuitos paralelos : 
 
BtuFhR
RRRR
o
bcd
dcbbcd
.00714,0140604040
1111
 
BtuFhR
RRR
o
fg
gffg
.01114,0903060
111
 
 
Para os circuitos em série : 
 
BtuFhRRRRR ofgebcdat .02907,00111,000833,000714,00025,0 
 
Portanto, 
 
hBtu
BtuFh
F
R
T
q
o
o
t
total 30960
.02907,0
1001000
 
 
• Exercício 3.4. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo 
refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura 
da superfície interna do refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa do isolante é 
145 oC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule : 
a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; 
b) a temperatura da interface refratário/isolante. 
 
 
a) Considerando uma área unitária da parede ( A=A1=A2=1 m
2 ), temos : 
 
115,0
13,0
12,1
20,0
1451675
.. 2
2
1
1
3131
Ak
L
Ak
L
TT
RR
TT
R
T
q
isoreft
total 
 6,1480 2mphKcalq 
 
b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de 
refratário, obtemos : 
 
21
1
1
1
1
2121 .
.
.
TT
L
Ak
Ak
L
TT
R
TT
q
ref
 
parede de refratário :
 
parede de isolante :
 
 
L m k Kcal h m C
L m k Kcal h m C
T C T C
o
o
o o
1 1
2 2
1 3
0 20 1 2
0 13 0 15
1675 145
, , . .
, , . .
 
Solução
 Temos um caso típico de paredes planas em série. 
 Dados:
Parede de tijolo refratário T1= 1675 oC
Parede de tijolo isolante T2= 145 oC
 a) Calor / tempo/ área (A=1 m2)
 
23 
Para os circuitos paralelos : 
 
BtuFhR
RRRR
o
bcd
dcbbcd
.00714,0140604040
1111
 
BtuFhR
RRR
o
fg
gffg
.01114,0903060
111
 
 
Para os circuitos em série : 
 
BtuFhRRRRR ofgebcdat .02907,00111,000833,000714,00025,0 
 
Portanto, 
 
hBtu
BtuFh
F
R
T
q
o
o
t
total 30960
.02907,0
1001000
 
 
• Exercício 3.4. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo 
refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura 
da superfície interna do refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa do isolante é 
145 oC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule : 
a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; 
b) a temperatura da interface refratário/isolante. 
 
 
a) Considerando uma área unitária da parede ( A=A1=A2=1 m
2 ), temos : 
 
115,0
13,0
12,1
20,0
1451675
.. 2
2
1
1
3131
Ak
L
Ak
L
TT
RR
TT
R
T
q
isoreft
total 
 6,1480 2mphKcalq 
 
b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de 
refratário, obtemos : 
 
21
1
1
1
1
2121 .
.
.
TT
L
Ak
Ak
L
TT
R
TT
q
ref
 
parede de refratário :
 
parede de isolante :
 
 
L m k Kcal h m C
L m k Kcal h m C
T C T C
o
o
o o
1 1
2 2
1 3
0 20 1 2
0 13 0 15
1675 145
, , . .
, , . .
 
Solução
 b) Cálculo de T2 – temperatura entre as paredes
 Tendo o q total podemos determinar a temperatura na iterface
 
23 
Para os circuitos paralelos : 
 
BtuFhR
RRRR
o
bcd
dcbbcd
.00714,0140604040
1111
 
BtuFhR
RRR
o
fg
gffg
.01114,0903060
111
 
 
Para os circuitos em série : 
 
BtuFhRRRRR ofgebcdat .02907,00111,000833,000714,00025,0 
 
Portanto, 
 
hBtu
BtuFh
F
R
T
q
o
o
t
total 30960
.02907,0
1001000
 
 
• Exercício 3.4. Uma parede de um forno é constituída de duas camadas : 0,20 m de tijolo 
refratário (k = 1,2 kcal/h.m.oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h.m.oC). A temperatura 
da superfície interna do refratário é 1675 oC e a temperatura da superfície externa do isolante é 
145 oC. Desprezando a resistência térmica das juntas de argamassa, calcule : 
a) o calor perdido por unidade de tempo e por m2 de parede; 
b) a temperatura da interface refratário/isolante. 
 
 
a) Considerando uma área unitária da parede ( A=A1=A2=1 m
2 ), temos : 
 
115,0
13,0
12,1
20,0
1451675
.. 2
2
1
1
3131
Ak
L
Ak
L
TT
RR
TT
R
T
q
isoreft
total 
 6,1480 2mphKcalq 
 
b) O fluxo de calor também pode ser calculado em cada parede individual. Na parede de 
refratário, obtemos : 
 
21
1
1
1
1
2121 .
.
.
TT
L
Ak
Ak
L
TT
R
TT
q
ref
 
parede de refratário :
 
parede de isolante :
 
 
L m k Kcal h m C
L m k Kcal h m C
T C T C
o
o
o o
1 1
2 2
1 3
0 20 1 2
0 13 0 15
1675 145
, , . .
, , . .
 
Proposto 1
 Uma placa de cobre de 5 cm de espessura tem um lado
mantido a 260 oC. O outro lado é coberto com uma
camada de fibra de vidro de 2,5 cm de espessura. O 
exterior da fibra de vidro é mantido a 38 oC, e o fluxo de 
calor total através do sistema é 44 kW. Determine a área
da placa? 
q
Associação de paredes planas em série e em paralelo
Fluxo de calor através das 
paredes
Note que RT é a soma das resistências em
série (R1 e R5) e das resistências em paralelo
(R//)
Lembrando que:
Parede 
plana P Cilíndrica P Esférica 
Considere um tanque de aço ( k = 40 Kcal/h.m.oC ), de formato
esférico e raio interno de 0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com1½" de um, material isolante ( k = 0,04 Kcal/h.m.oC ). A temperatura
da face interna do tanque é 220 oC e a da face externa do isolante é
30 oC. Após alguns anos de utilização, o isolante 1 foi substituído por
outro isolante, também de 1½" (0,038 m) de espessura, tendo se
observado um aumento de 10% no calor perdido para o ambiente
(mantiveram-se as demais condições ). Determine :
a) Taxa de calor pelo tanque isolado com o isolante inicial;
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante;
EXEMPLO 2
SOLUÇÃO
Dados:
K1= 40 Kcal/h.m.oC
K2=0,04 Kcal/h.m.oC
T1=220ºC
T3=30ºC
r1=0,5m
espessura =0,005m
r2= raio 1 + espessura(0,005m)=0,5+0,005=0,505m
r3= r2 + (1,5)x ,0254=0,5431m
Vimos que a resistência para configurações 
esféricas, para uma camada esférica:
𝑅 =
1
𝑟1
−
1
𝑟2
4𝑘𝜋
Neste caso somamos as resistências relativas às duas 
camadas esféricas, a de aço e a do isolante térmico:
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
1
𝑟1
−
1
𝑟2
4𝑘𝜋
+
1
𝑟2
−
1
𝑟3
4𝑘𝜋
=
1
0,5 −
1
0,505
40 ∗ 4 ∗ 𝜋
+
1
0,505 −
1
0,5431
0,04 ∗ 4 ∗ 𝜋
𝑅𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0,2764ℎ𝐶/𝐾𝑐𝑎𝑙
TAXA DE CALOR ATRAVÉS DA PAREDE ESFÉRICA:
 𝑞 =
∆𝑇
𝑅𝑡
=
220 − 30
0,2764
= 687,41 𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
b) Cálculo do k do novo isolante 
Temos que considerar o aumento de 10% no calor 
perdido para o ambiente:
 𝑞2 = 1,1 ∗ 𝑞
 𝑞2 = 1,1 ∗ 687,41 = 756,15𝐾𝑐𝑎𝑙/ℎ
 𝑞2 = 756,15 =
𝑇2 − 𝑇3
1
𝑟2
−
1
𝑟3
𝑘4𝜋
=
220 − 30
1
0,505 −
1
0,5431
𝑘4𝜋
𝑘𝑛𝑜𝑣𝑜 =
0,044𝐾𝑐𝑎𝑙
ℎ
.𝑚𝐶
Desprezando a resistência térmica do 
isolante: consideremos desprezível a 
diferença de temperatura nas duas faces 
do isolamento, assim., T2=T1=30ºC
Proposto 2
um reservatório metálico de processo tem forma esférica com
diâmetro 2 metros e uma camada de isolamento térmico de 10 cm de
espessura e condutividade térmica 0,1 W/(m K). Determinar a perda
de calor, sabendo que as temperaturas das superfícies externas do
metal e do isolamento são respectivamente 200°C e 50°C.
dados :
r1 = 1 m
r2 = 1 + 0,1 = 1,1 m
k = 0,1 W/(m K)
T1 = 200
T2 = 50
Calculando,
T1 − T2 = 150
1/r1 − 1/r2 = 1/1 − 1/1,1 ≈ 
0,091
Substituindo em #C.2#,
Φ = 4 π 0,1 150 / 0,091 ≈ 
2,1 kW
Naturalmente, esse cálculo não 
considera as perdas de calor através 
de outros elementos em contato com 
o reservatório, como suportes e 
tubulações.
S = 4πr2
dx = dr
Substituindo em #A.1# e reagrupando,
#C.1#
De forma similar à anterior, integrando 
dr de r1 a r2 e dT de T1 a T2, chega-se ao 
resultado:
#C.2#
Solução