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Ch. 6 Larson/Farber
Estatística Aplicada
Larson Farber
6
Intervalos de confiança
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança para a média
(amostras grandes)
Seção 6.1
Ch. 6 Larson/Farber
Estimativa pontual
DEFINIÇÃO:
Uma estimativa pontual é a estimativa de um único valor para um parâmetro populacional. A melhor estimativa pontual da média populacional é a média amostral .
Ch. 6 Larson/Farber
Exemplo: estimativa pontual
A média amostral é:
A estimativa pontual para o preço de todos os bilhetes só de ida de Atlanta a Chicago é de US$ 101,77.
A seguir, você verá uma amostra aleatória com 35 preços de passagens (em dólares) para um vôo só de ida de Atlanta a Chicago. Determine a estimativa pontual para a média populacional, .
99
101
107
102
109
98
105
103
101
105
98
107
104
96
105
95
98
94
100
104
111
114
87
104
108
101
87
103
106
117
94
103
101
105
90
3.562
101,77
Ch. 6 Larson/Farber
Uma estimativa intervalar é um intervalo (ou amplitude) de valores usado para estimar um parâmetro populacional.
Estimativa pontual
O nível de confiança, c, é a probabilidade de que a estimativa intervalar contenha o parâmetro populacional em questão.
Estimativas intervalares
Ch. 6 Larson/Farber
0
z
Distribuição amostral de 
Para c = 0,95
0,95
0,025
0,025
95% de todas as médias amostrais terão escores z entre z = –1,96 e z = 1,96.
Distribuição de médias amostrais
Quando o tamanho da amostra é de pelo menos 30, a distribuição amostral para é normal.
–1,96
1,96
Ch. 6 Larson/Farber
O erro máximo da estimativa, E, é a maior distância possível entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro que se está estimando, a dado nível de confiança, c.
Quando n 30, o desvio padrão amostral, s, pode ser usado no lugar de .
Usando zc = 1,96, s = 6,69 e n = 35,
Você tem uma confiança de 95% de que o erro máximo seja de US$ 2,22.
Erro máximo da estimativa
Determine E, o erro máximo da estimativa, para o preço de um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago, a um nível de confiança de 95%, dado que s = 6,69.
6,69
1,96
Ch. 6 Larson/Farber
Definição: um intervalo de confiança c para a média populacional é:
 
Intervalos de confiança para
Você encontrou = 101,77 e E = 2,22.
Extremo esquerdo
99,55
Extremo direito
103,99
Com 95% de confiança, você pode dizer que a média de preço para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago fica entre US$ 99,55 e US$ 103,99.
Determine o intervalo de confiança de 95% para o bilhete só de ida de Atlanta a Chicago.
101,77 – 2,22 = 99,55
101,77 + 2,22 = 103,99
99,55
103,99
Ch. 6 Larson/Farber
Tamanho da amostra
Dados um nível de confiança c e um erro máximo da estimativa E, o tamanho mínimo da amostra n necessário para se estimar , a média populacional, é:
Você deverá incluir ao menos 43 bilhetes na sua amostra. Como já tem 35, você precisará de mais 8.
Você quer estimar a média de preço para um bilhete só de ida de Atlanta a Chicago. Quantos bilhetes terão de ser incluídos em sua amostra se você quiser estar 95% seguro de que a média amostral está a no máximo US$2 da média populacional?
1,96
6,69
42,98
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança para a média
(amostras pequenas)
Seção 6.2
Ch. 6 Larson/Farber
Seção 6.2
Ch. 6 Larson/Farber
0
t
0,90
A distribuição t
O valor crítico para t é de 1,782. 90% das médias amostrais (n = 13) estarão entre t = –1,782 e t = 1,782.
0,05
0,05
Distribuição amostral de 
Se a distribuição de uma variável aleatória x é normal e n < 30, a distribuição amostral de será uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade.
Ch. 6 Larson/Farber
O intervalo de confiança
 em amostras pequenas
2. O erro máximo da estimativa é
1. A estimativa pontual é = 4,3 libras.
Erro máximo da estimativa:
Em uma amostra aleatória de 13 adultos norte-americanos, a média de lixo reciclado por pessoa foi de 4,3 libras por dia, com um desvio padrão de 0,3 libra. Admita que a variável seja normalmente distribuída e construa um intervalo de confiança de 90% para .
1,782
0,148
0,3
Ch. 6 Larson/Farber
O intervalo de confiança
 em amostras pequenas
4,15 < < 4,45
(
Extremo esquerdo
4,152
)
Extremo direito
4,448
Com 90% de confiança, você pode dizer que a média de lixo reciclado por pessoa está entre 4,15 e 4,45 libras por dia.
2. O erro máximo da estimativa é:
1. A estimativa pontual é: = 4,3 libras
1,782
0,148
0,3
4,3 – 0,148 = 4,152
4,3 + 0,148 = 4,448
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança para proporções populacionais
Seção 6.3
Ch. 6 Larson/Farber
Se e , a distribuição amostral para é normal.
Intervalos de confiança
 para proporções populacionais
é a estimativa pontual para a proporção de fracassos, onde
A estimativa pontual para p, a proporção populacional de sucessos, é dada pela proporção de sucessos em uma amostra
(Lido como p chapéu.)
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança
 para proporções populacionais
O erro máximo da estimativa, E, para um intervalo de confiança c é:
Um intervalo de confiança c para uma proporção populacional, p, é:
Ch. 6 Larson/Farber
1. A estimativa pontual para p é: 
2. Como 1.907(0,235)  5 e 1.907(0,765)  5, a distribuição amostral é normal. 
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
3.
1.907
0,235
0,235
0,765
2,575
(0,235)(0,765)
0,025
1.907
Ch. 6 Larson/Farber
0,21 < p < 0,26
(
Extremo esquerdo
0,21
)
Extremo direito
0,26
Com 99% de confiança, você pode dizer que a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool está entre 21% e 26%.
Intervalo de confiança para p
Em um estudo com 1.907 acidentes de tráfico, 449 estavam relacionados ao uso de álcool. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool.
0,235 – 0,025 = 0,21
0,235 + 0,025 = 0,26
Ch. 6 Larson/Farber
Se você tem uma estimativa premilinar para p e q, o tamanho mínimo da amostra necessário para se estimar p, dados um intervalo de confiança c e o erro máximo da estimativa E, é:
Tamanho mínimo da amostra
Se você não tiver uma estimativa preliminar, use 0,5 para .
e
Ch. 6 Larson/Farber
Você precisará de uma amostra com pelo menos 4.415 acidentes.
Como não há estimativas preliminares, use 0,5 para
Exemplo: tamanho
 mínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%.
.
e
2,575
(0,5)(0,5)
0,02
4.414,14
Ch. 6 Larson/Farber
Com uma amostra preliminar você precisa de
n = 2.981 para sua amostra.
Exemplo: tamanho
 mínimo da amostra
Você deseja estimar a proporção de acidentes fatais relacionados ao álcool a um nível de confiança de 99%. Determine o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a proporção populacional com uma precisão de 2%. Use uma estimativa preliminar de p = 0,235.
2,575
0,02
(0,235)(0,765)
2.980,05
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança para variância e desvio padrão
Seção 6.4
Ch. 6 Larson/Farber
A estimativa pontual para é s2 e para é s. 
A distribuição qui-quadrado
Se o tamanho da amostra é n, use uma distribuição qui-quadrado  2 com n – 1 g.l. para formar um intervalo de confiança c.
A área à direita de R2 é (1 – 0,95)/2 = 0,025 e a área à direita de L2 é (1 + 0,95)/2 = 0,975 
R2 = 28,845
L2 = 6,908
6,908
28,845
0,95
Se o tamanho da amostra é 17, há 16 g.l.
Determine R2, ó valor crítico da cauda à direita, e L2, o valor crítico da cauda à esquerda, para c = 95% en = 17.
Ch. 6 Larson/Farber
Um intervalo de confiança c para uma variância populacional é:
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.
Você seleciona ao acaso os preços de 17 CD players. O desvio padrão amostral é de US$ 150. Construa um intervalo de confiança de 95% para e .
Intervalos de confiança para 
28,845
6,908
12.480,50
52.113,49
e
Ch. 6 Larson/Farber
Intervalos de confiança para
Para estimar o desvio padrão tire a raiz quadrada de cada extremo.
Determine a raiz quadrada de cada parte.
Você pode dizer, com 95% de confiança, que está entre 12.480,50 e 52.113,49 
e entre US$ 117,72 e US$ 228,28.
12.480,50
52.113,49
US$ 117,72
US$ 228,28
e
*
An unbiased estimator is just as likely to overestimate as to underestimate the parameter it is estimating. The sample mean is an unbiased estimator of the population mean. From chapter 5 students know that the mean of the sample means is the population mean.
*
Sometimes students will work from raw data and other times summary statistics. The raw data are presented here but summary statistics are given in the interest of time. After raw data is given, ask students what single number could be used to estimate the population mean.
*
The chances the the archer hits the exact point center are virtually 0. The probability he hits within the center ring is his level of confidence for that ring. Discuss as the rings widen, the level of confidence goes up but accuracy is sacrificed.
*
Have students calculate other critical numbers for other values of c.
For c = 90%, z.90= 1.645
For c = 99%, z.99 =1.575
*
Calculate the error of estimate for c = .90 and c= .95. Have students compare the widths of the intervals at various levels of confidence.
*
Encourage students to use a number line to form confidence intervals.
*
Rework the problem with different values of E. Compare. What effect does increasing E, the maximum tolerance have on the minimum required sample?
*
Discuss degrees of freedom. Find other critical numbers for different sample sizes. Show other t-distributions. If the number of degrees of freedom is 30 or more, the t-distributions are very close to the standard normal distribution. 
*
The process for forming a confidence interval is virtually the same as that for large samples. Note though that the population standard deviation cannot be estimated by s. 
*
The process for forming a confidence interval is virtually the same as that for large samples. Note though that the population standard deviation cannot be estimated by s. 
*
Remind students that when they used a normal approximation to the binomial the conditions of np >5 and nq>5 had to be met. In estimating the standard error use the point estimates.
*
Remind students that when they used a normal approximation to the binomial the conditions of np >5 and nq>5 had to be met. In estimating the standard error use the point estimates.
*
The technique used is similar to the technique used to form confidence intervals for the population mean. Start with the point estimate at the center and add and subtract the maximum error of estimate to form the endpoints of the confidence interval.
*
The technique used is similar to the technique used to form confidence intervals for the population mean. Start with the point estimate at the center and add and subtract the maximum error of estimate to form the endpoints of the confidence interval.
*
The maximum value of pq occurs when p is 0.5 and q=0.5. Show students several examples of p, have them calculate q and then pq. For students who have had calculus, f(p)=p(1-p) =p-p2 will be a maximum when 1-2p=0. Algebra students can see that the graph of f(p) is a parabola and its vertex is at p=.05, q = .05.
*
Discuss the advantage of having a preliminary estimate.
*
Discuss the advantage of having a preliminary estimate.
*
Unlike the z and t distribution, chi-square is always positive and is not a symmetric curve. (It is skewed right.)
*
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