UMA INTRODUCão O AO CONCEITO DE INTEGRAIS

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1 Surgimento da integral
Desde os primórdios da matemática, há o desejo de que a vida seja cada vez melhor e a vontade de simplificar procedimentos, assim como os procedimentos de cálculo. Uma das maiores e mais importantes descobertas da história da matemática foi a possibilidade de calcular área de uma superfícies geométrica diferenciada, através do uso de cálculos por integrais. 
Com o surgimento das integrais, inicialmente sendo aplicada por Arquimedes, apresentando-se como uma forma de resolver os problemas de quadratura; porém, este era um problema relativamente simples, e com a evolução da técnica de integração, percebeu-se que era possível obter valor de área de figuras planas com infinitas formas e não apenas formas poligonais, circulares, segmentos parabólicos, originando assim o método da exaustão.
2 INTEGRAL DEFINIDA
Sendo a melhor forma de calcular uma área condizente com a exata realidade de figuras irregulares a integral foram sendo introduzida aos cálculos, e várias formas de integração foram elaboradas ao longo do tempo. Uma das formas de integração mais utilizadas denomina-se integral definida, também conhecida como integral de Riemann.
A integral definida serve para calcular uma área definida pela função f(x), dentro de um intervalo entre A e B. Nesse método o espaço localizado abaixo da curva da função f(x), é dividida em infinitos retângulos esbeltos, onde ao calcular suas áreas e somar todas o valor qm que se chega é o mais próximo da área exata do polígono formado no gráfico da função (f(x)).
 fig. 1 – Fórmula para obtenção da integral definida
fig. 2 – Demonstrativo da curva f(x) e áreas, para cálculo e integral (Fonte: Apostol, 1988).
3 Propriedade de figuras regulares
Com do desenvolvimento das integrais, pode-se cada vez mais calcular área de superfícies irregulares, porém também podemos lançar mão das integrais para cálculo de áreas em polígonos de formatos regulares.
A seguir veremos algumas demonstrações de como calcular a área de três polígonos regulares bastante conhecidos.
3.1 PROPRIEDADES DO RETÂNGULO 
Com o Em todos retângulos as diagonais são congruentes como na Hipótese e Tese a seguir:
Hipótese: ABCD é retângulo → Tese: A̅C̅ ≡B̅D̅
Exemplo: ABCD é retângulo → ABCD é paralelogramo → B̅C̅ = A̅D̅ (B̅C̅ = A̅D̅, B̑ ≡ Ȃ, A̅B̅ comum) ᶫᴬᶫ ∆ABC ≡ ∆BAD → A̅C̅ ≡ B̅D̅
Figura: 1: Retângulo com Diagonais Congruentes. (Fonte: Dolce e Pompeo, 1997) 
Outra propriedade acusa que todo paralelogramo onde as diagonais são congruentes formam um retângulo, conforme demostrado a seguir.
Considerando ABCD como um paralelogramo, 
Hipótese: A̅C̅ ≡ B̅D̅ → Tese: ABCD é retângulo. 
Ilustrando: 
Figura 2: Paralelogramo com diagonais congruentes. (Fonte: Dolce e Pompeo, 1997).
ABCD é paralelogramo → B̅C̅ = A̅D̅ 
(A̅C̅ ≡ B̅D̅, → B̅C̅ = A̅D̅, A̅B̅ comum) ᶫᶫᶫ∆ABC ≡ ∆BAD → B̑ ≡ Ȃ
3.2 ÁREA DO QUADRADO 
O conceito de quadrado define que todo quadrado é retângulo e também é losango. Logo, além das propriedades do paralelogramo, no quadrado também são inclusas as propriedades referentes a retângulo e losango. 
ABCD é quadrado ↔ (ABCD é paralelogramo, A̅C̅ ≡ B̅D̅, A̅C̅ ┴B̅D̅).
Figura 3:Quadrado Paralelogramo. (Fonte: Dolce e Pompeo, 1997).
Vale ressaltar que, basicamente, caso um quadrilátero convexo tenha as diagonais que se cortam ao meio, trata-se de um paralelogramo; diagonais que se cortam ao meio e são congruentes, trata-se de um retângulo; diagonais que se cortam ao meio e são perpendiculares, trata-se de um losango; diagonais que se cortam ao meio, congruentes e perpendiculares, trata-se de um quadrado. 
3.3 ÁREA DO CÍRCULO 
Círculo ou disco, é o conjunto dos pontos de um plano dos quais a distância até um determinado ponto desse plano é menor ou igual a uma distância dada, não sendo nula. 
Dados um plano , um ponto O de e uma distância r. 
Figura 4: Circunferência e Raio da Circunferência (Fonte: Dolce e Pompeo, 1997).
O conceito de círculo é junção da circunferência com seu interior. Centro, raio, corda, diâmetro e arco de determinado círculo são o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco de sua própria circunferência. 
Definindo um círculo c de centro O, onde A e B como dois pontos da circunferência de c, onde não são extremidades de um diâmetro, temos: 
Setor Circular: onde o setor circular menor AOB é a junção dos conjuntos dos pontos dos raios AO, OB, respectivamente e de quaisquer pontos do referente círculo c, encontrados dentro do ângulo AȎB. No setor circular OAB maior, é encontrada a junção dos conjunto dos pontos dos raios AO e OB e de quaisquer pontos do círculo c, encontrados fora do ângulo AȎB.
Figura 5: Setor Circular =AOB = AȎB ⋂ C (Fonte: Dolce e Pompeo, 1997)
Exceto em casos sinalizados, tudo que se refere ao setor circular AOB, se refere ao setor circular menor. Em caso do setor AȎB ser considerado como ângulo completo, poderemos ter:
Setor angular AOB = AȎB C.
4 DISCUTINDO FUNÇÕES NO CÁLCULO DE FIGURAS
	O termo “função” teve seu advento na matemática através de Leibniz, que, a princípio usou a palavra pra designar um determinado tipo de formula matemática. Posteriormente foi entendido que a concepção de Leibniz sobre função tinha uma tangência limitada e o significado do termo era proporcional, a partir disto, passou por várias generalizações. Atualmente, o conceito de função basicamente consiste em dois conjuntos dados, x e y, por exemplo, onde uma função é uma correspondência relacionada aos respectivos elementos x e y. O domínio da função está no conjunto x e a relação entre os elementos de x e y dão origem a um conjunto denominado contradomínio da função, o qual pode ser todo o conjunto de y, ainda sem ser regra. 
No caso de f ser uma dada função e x é elemento de seu respectivo domínio, a notação f (x) é usada para denominar o elemento do contradomínio, que se relaciona a x através da função f e descrito como valor da função em x ou a imagem de x por f. desse modo f(x) se lê “f de x”. 
No conceito de igualdade de conjuntos não há menções a ordem na qual os elementos devem constar. Dessa forma, os conjuntos {2, 5} e {5, 2} são iguais em razão de possuírem os mesmos elementos. Em certos casos, a ordem é importante, como na Geometria analítica plana, as coordenadas (x, y) de um determinado ponto são a representação de um par ordenado de números. Ospontos com coordenadas (2, 5)e (5, 2) não são iguais portanto, ainda sim, os conjuntos {2, 5} e {5, 2} permanecem iguais. Da mesma forma, em caso de um dado par ordenado de objetos a e b e deseja-se designar um dos objetos, tanto a, quanto b, sendo o primeiro ou segundo em específico, faz uso de parêntesis para tal (a, b) e assim considera-se como par ordenado. Diz-se que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e só se os seus primeiros e segundos elementos forem idênticos. 
Automaticamente, pode-se ilustrar função como uma tabela de duas colunas, onde em cada entrada na tabela haja um par ordenado (x, y); na coluna dos x esteja o domínio de f e na coluna dos y esteja o contradomínio. Caso duas entradas (x, y) e (x, z) constem na tabela com x de valores iguais, então para a tabela ilustraruma função é preciso que y = z. Isto é, não é possível que uma função tome dois valores distintos num determinado ponto de x. Logo, para cada x do domínio de f há um e só um t tal que (x, y) f. Dado que este y está unicamente determinado desde o conhecimento de x, é possível incluir nele um símbolo específico. 
5 DEFININDO ÁREA COMO UMA FUNÇÃO DE CONJUNTO 
Para desenvolver um conceito geral que englobe muitos conceitos distintos é necessário isolar propriedades comuns que pareçam ser norteadas para seu uso de acordo com a conveniência da pesquisa. Então é feito o uso das referidas propriedades como peças essenciais da sua teoria. Esse processo foi aprimorado por Euclides, quando estabeleceu a geometria elementar
como sendo um sistema dedutivo em base de um conjunto de axiomas, como é feito na discussão da teoria de área. 
Ao atribuir uma área a uma região plana, por exemplo, se associa um determinado número a um conjunto S do plano. Em perspectiva matemática, isto quer dizer que se tem uma função a (a função área) que designa um número real a(S), a área de S, a cada conjunto S de um determinado grupo de conjuntos estabelecidos. Em uma função desse gênero, onde o domínio é um grupo de conjunto onde seus respectivos valores são números reais, denomina-se função de conjunto. Estabelece que: dado um conjunto plano S, que área a(S) devamos atribuir a S? 
Em antemão da definição dos axiomas para a área, é preciso elucidar a respeito da coleção de conjuntos no plano, cujos a área poderá ser designada. Os determinados conjuntos serão chamado de conjuntos mensuráveis. O grupo de todos os conjuntos mensuráveis é representado pelo caractere , os axiomas existem informações necessárias a respeito dos conjuntos de , que nos favorecem a demonstração de que quaisquer figuras geométricas que constem nas aplicações usuais do cálculo se encontram em e que suas referentes áreas podem ser encontradas através da integração.
Com base em retângulos é viável elaborar conjuntos de caráter mais complexo. O conjunto ilustrado na próxima figura é referente a uma coleção finita de retângulos adjacentes, onde as bases estão no eixo OX e é denominada região em escada. Os axiomas fazem com que cada região em escada seja mensurável e que sua área seja a soma das áreas dos retângulos componentes. 
Figura 8: Uma região em Escada (Fonte: Apostol, 1988). 
6 INTERVALOS E CONJUNTOS DE ORDENADAS NAS INTEGRAIS 
Dentro do conceito de integrais, faz-se uso constante de funções reais, onde seus domínios se apresentam como intervalos do eixo OX. Em determinados casos é imprescindível diferenciar entre intervalos que englobam os seus pontos extremos e os que não englobam. Essa diferenciação se dá conforme a orientação seguir:
Figura 9: Tipos de Intervalos (Fonte: Apostol, 1988).
Considerando f como uma função não negativa, onde o domínio é representado pelo intervalo fechado [a, b]. A parte do plano localizada entre o gráfico de f e o eixo OX é denominado conjunto de ordenadas de f. De maneira mais objetiva, o conjunto de ordenadas de f é o conjunto de todos os pontos (x, y) em conveniência das desigualdades. 
O conceito de integração para funções em escada de suma facilidade e orienta, de modo coerente ao conceito referente à funções mais gerais. No desenvolvimento desse plano é preciso aplicar conceito analítico de função em escada, o que se dá através do conceito de partição. 
Com base em uma determinada partição P de Ia, bI sempre é viável formar uma nova partição P’, com a junção de novos pontos de divisão aos pontos anteriormente já encontrados em P. Uma tal partição P’ é definida por uma segmentação de P, ou que P’ é mais fina que P. Por exemplo, P = {0, 1, 2, 3, 4} é partição do intervalo [0, 4]. Caso os pontos 3/4, e 7/2 sejam agrupados é obtida nova partição P’ de [0, 4], a saber, P’ = {0, ¾, 1, , 7/2, 4} que se define como sendo um refinamento de P. Caso uma função em escada seja constante nos subintervalos abertos de P, também será constante nos subintervalos abertos de cada refinamento P’. 
Figura 10: Partições no Intervalo [0, 4] (Fonte: Apostol,1988).
Através da soma dos valores referentes às funções em escada, são formadas novas funções do mesmo tipo. Supondo que s e t são funções em escadas definidas e com o mesmo intervalo [a, b]. Considerando e como partições de [a, b], tais que s é constante nos subintervalos abertos de e t constante nos subintervalos abertos de . Com base em s e t pode ser estabelecido uma nova função em escada u = s + t. 
O conjunto de ordenadas de toda função em escada não negativa s é definido por um número finito de retângulos, um por cada intervalo onde a função é constante; ao conjunto de ordenadas ainda podem pertencer ou faltar alguns segmentos de sentido vertical, de acordo com a maneira que s está definida nos pontos de subdivisão. O integral de s deve ser igual à soma das áreas de cada referido retângulo, quaisquer sejam os valores de s nos pontos de subdivisão. Essa afirmação concorda com o fato de os segmentos em sentido vertical possuírem área nula e não contribuir de nenhum modo para a área de ordenadas. 
6.1 DEMAIS PROPRIEDADES DO INTEGRAL EM FUNÇÕES DE ESCADA
As propriedades do integral de uma função em escada são de relevância nesse objeto de estudo, considerando que muitas dessas se tornam claras ao realizar sua leitura geométrica sob diferentes formas. Todas as propriedades são aplicáveis em integrais de funções genéricas, onde tem fácil demonstração dentro do conceito mais geral, uma vez já definida para as funções em escada. As propriedades se desenvolvem sob forma de teoremas, onde cada um usa sua referida interpretação geométrica, para funções em escada não negativa nos termos de áreas. 
Teorema Propriedade Aditiva:
Define que o integral da soma de duas funções em escada é igual ao resultado da soma dos integrais das referidas funções. 
Teorema Propriedade Homogênea
Denominada propriedade homogênea, seu conceito define que ao multiplicar valores da função por uma constante c, oi integral vem multiplicado por c. 
Teorema de Comparação
Consiste na proposição de estabelecer no caso de uma união em escala toma, em qualquer intervalo [a, b], valores maiores que o de outra função, o seu integral até o referido intervalo também será maior. 
A leitura geométrica do referido teorema norteia a respeito do caso de um conjunto de ordenadas estiver contido em outro, a área da região de tamanho menor não deve deverá ultrapassar a da região maior. 
O cálculo de integrais ainda faz uso de outras propriedades de suma relevância a fim de relacionar integrais definidas em intervalos diferentes.
Teorema de Aditividade com Respeito ao Intervalo de Integração 
O teorema em questão resume a propriedade aditiva da área, já comentado. Define que, caso o conjunto de ordenadas se decomponha em dois, a soma das áreas das duas partes deve ser igual ao da área total. 
Teorema de Invariância relativa a uma Translação
Seu conceito orienta que, se o conjunto de ordenadas de uma função em escada é removido de c, o conjunto de ordenadas do resultado é referente a uma função em escala t, que se descreve pela equação t(x) = s(x – c). Caso s seja definida como [a, b], assim estabelece-se t em [a + b, b + c] e seus conjuntos de ordenadas referentes, sendo congruentes, devem ter áreas iguais. 
Teorema de Dilatação ou Contração do Intervalo de Integração
Na propriedade homogênea, de forma genérica trata como varia um integral ao ser realizada uma mudança no eixo 0Y. O teorema de dilatação ou contração do intervalo de integração faz referência a uma mudança de escada no sentido 0X multiplicado toda abcissa x por um fator k > 0, o gráfico resultante é outra função em escada t, estabelecida no intervalo [ka, kb]. 
7 ORIENTANDO SOBRE INTEGRAIS NO ENSINO MÉDIO 
Sobre as orientações sobre integrais, também é valido frisar que o caractere x que aparece no símbolo não tem qualquer papel de relevância dentro do conceito, podendo por ora, ser substituído por qualquer outro símbolo. As letras t, u, v, z são usadas constantemente com o mesmo fim. Ao invés de escrevermos , podemos também usar , e assim por diante. Sobre os caracteres x, t, u, dentre outros, usados com essa aplicação recebem o nome de variáveis mudas, como analogia aos índices mudos utilizados na notação da referida soma. 
Existe entre autores de livros de cálculo a tendência de ocultar o uso da variável muda e o caractere d e apenas fazer uso de para o integral. Um dos motivos para utilizar esse símbolo abreviado é a sugestão clara que o integral varia de acordo com cada função s exclusivamente e do intervalo [a, b]. 
O método de integral de funções mais gerais tem a
ideia de, primeiramente aproximar por defeito e por excesso a função f, através de funções em escada. Para esse passo é determinada uma função em escada arbitrária s, onde o gráfico se encontre abaixo do de f, e de uma função em escada arbitrária t, onde o referido gráfico se encontre acima do de f. Então, passa-se a considerar o conjunto de todos os números e encontrados ao definir s e t de todos os modos viáveis.
Entretanto, há um contratempo que pode tornar esse processo mais dificultoso, podendo ser identificado desde o princípio, revelando que nem em todos os problemas é viável a aproximação por defeito ou excesso em uma função. Isso em razão de que f toma valores arbitrariamente grandes muito próximo de sua origem. Todavia, é preciso, a princípio nos limitarmos às funções limitadas em [a, b] , isto é, às funções f par as quais há um número M > 0. Em termos geométricos, o gráfico das referidas funções se encontra entre os gráficos de duas funções em escadas constantes, s e t, as quais ganham valores -M e M, respectivamente. 
Após o levantamento das definições propostas, é feita uma ressalva que questiona as funções limitadas que são integráveis e também, no caso de uma função f ser integrável, como deve ser calculado o integral de f. Ainda levantando a forma de calcular a integral, ainda sim a abordagem da pesquisa é sucinta, tornando necessário aprofundar caso o leitor deseje ir um passo à frente. 
8 CRITÉRIO DE INTEGRAÇÃO: FUNÇÃO MONÓTONA
A proposta primeiramente introduziu o histórico das integrais, funções monótonas passíveis de integração. Depois, propomos funções monótonas como sendo integrais de um modo geral. Grande parte de funções que surgem no cálculo são monótonas ou resultam de funções monótonas, de modo que os fins da teoria em debate sobre integração têm amplitude para destrinchar em mais de uma pesquisa. 
Denomina-se função monótona em S, caso seja crescente ou decrescente em S. A atribuição exclusivamente monótona sinaliza que a função é ou apenas crescente ou apenas decrescente em S. Em regra geral, o conjunto S é geralmente um intervalo aberto ao invés de fechado. 
Denomina -se função monótona por partes quando em um intervalo, o gráfico seja formado por um número finito de partes monótonas. Ou seja, f é monótona por partes em [a, b] caso haja uma partição P de [a, b] monótona em cada um dos subintervalos de P. 
A relevância das funções monótonas dentro do conceito de integração se deve ao teorema que estabelece que, se f é monótona no intervalo fechado [a, b], então f é integrável f. Já o cálculo do integral de uma função limitada é comprovado como outro meio de cálculo de valor integral. No teorema que estabelece que, seja f crescente no intervalo fechado [a, b] e = a + k(b – a)/ n para k = 0, 1, 2, ..., n. 
9 APLICAÇÃO DA INTEGRAL.
No que se refere a área de uma região compreendida entre dois gráficos representada por um integral, é estabelecido que, se suas funções f e g estão relacionadas entre si pela desigualdade f(x) g(x) para todo x do referido intervalo [a, b], se dá f g em [a, b] caso f g em [a, b], o conjunto S que se dá em todos os pontos de x e y que confirmam as desigualdades, define que a região entre os gráficos f e g. 
Considerando f e g como funções passíveis de integração, verificando f g em [a, b]. A região de S localizada entre os referidos gráficos pode ser medida e a sua respectiva área, a(S), se dá pelo integral 
Supondo que S é um determinado conjunto de pontos do plano e passa-se a considerar um novo conjunto de pontos resultantes da multiplicação das coordenadas dos pontos específicos de S através de um fator constante k > 0. Representa-se o novo conjunto como kS e indica-se sua semelhança a S. Esse processo é denominado transformação por semelhança. Todo ponto se movimenta no decorrer de uma reta que encontra a origem, de um segmento k vezes a sua distância em relação a sua distância inicial. Caso k > 1 a transformação pode ser em alongamento o dilatação partindo da origem e esse 0 < k < 1 é denominado encolhimento ou contração em relação à origem. 
10 ACRESCENTANDO SOBRE A TEORIA NO ENSINO MÉDIO 
Um conceito fica mais claro e lúcido contando que se tenha conhecimento de seu advento, as razões pelas quais ele teve sua evolução e os problemas surgidos no caminho até levar seu resultado esperado. No que se refere à cálculo integral, desde seus primeiros registros de estudo a respeito de suas nuances até os dias atuais já contam quase 400 anos, e ainda há muito assunto a ser destrinchado e explorado pela ciência. Menos ainda se sabe a respeito da extensão potencial de suas aplicações dessa importante ferramenta da matemática, em razão de que ora ou outra, novos conceitos são desvendados e suas respectivas aplicações. 
Nos dias atuais, além da aplicação que favoreceram o advento do cálculo, especialmente nas áreas de física e astronomia, o cálculo tem desempenhado suma importância nas áreas de engenharia, na elaboração de modelos matemáticos que tornam viável prever o desenvolvimento de patologias no organismo humano, reações de medicamentos na farmacologia, o ritmo de reprodução de bactérias em biologia, o desenvolvimento urbano para planejadores de políticas públicas, o controle de movimentos migratórios, dentre diversas outras áreas. 
Através da análise histórica, é notado que qualquer descoberta se dá através de intensas pesquisas e por meio da aplicação de novos conceitos concebidos por matemáticos que tiveram conhecimento específico, de modo que qualquer advento integrasse um ciclo da construção de um saber de caráter universal. Isso corrobora com a ideia de necessidade de pesquisa da teoria, do conhecimento de obras existentes de diferentes autores.