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Lista 1 - AL (Subespaços, Independência linear, bases e dimensões) - Prof: Fábio (CeT)

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Lista Reduzida 1
AL Aula 2
1. Seja V o sub
onjunto do R2 formado por todos os pares ordenados (x, y) reais não-nulos (x, y ∈ R∗) 
om as
operações
(x, y) + (x′, y′) = (xx′, yy′) e k(x, y) = (xk, yk) .
Veri�que os 10 axiomas e mostre que V é um espaço vetorial.
AL Aula 3
2. Se V é o espaço vetorial de�nido na questão (1), veri�que se W =
{
(x, y)|x, y ∈ R∗+
} ⊂ V é subespaço de V .
(Lembre-se que as operações de soma e multipli
ação por es
alar são aquelas dadas a
ima.)
3. Determine quais dos seguintes 
onjuntos são subespaços do espaço F (−∞ , +∞).
(a) Todas as funções f tais que f(2) = 0
(b) Todas as funções f tais que f(0) = 2
(
) Todas as funções f da forma k1 + k2sen x, onde k1, k2 ∈ R
4. Seja p1(x) = 2 + x + 3x
3
, p2(x) = 3 − x + 5x2 + 2x3 e p3(x) = −1 + 2x2 + x3. Se q(x) = 2 + 3x− 7x2 + 3x3,
então a 
ombinação linear q(x) = k1p1(x) + k2p2(x) + k3p3(x) é obtida es
alonando-se a matriz aumentada
[p1 p2 p3 | q], sendo que as 
olunas 
orrespondem apenas aos 
oe�
ientes de 
ada polin�mio, ou seja,
[p1 p2 p3 | q] =


2 3 −1 2
1 −1 0 3
0 5 2 −7
3 2 1 3


∼


1 0 0 2
0 1 0 −1
0 0 1 −1
0 0 0 0

 =⇒


k1 = 2
k2 = −1
k3 = −1
e obtemos a 
ombinação linear
q(x) = 2p1(x) − p2(x)− p3(x) .
Faça o mesmo para es
rever os seguintes polin�mios 
omo 
ombinação linear de p1, p2 e p3:
(a) 1 + x+ x2 + x3 (b) − 4 + 6x− 13x2 + 4x3
5. Seja f = cos2 x e g = sen 2x. Quais dos seguintes estão no subespaço gerado por f e g
(a) cos 2x (b) 3 + x2 (c) 1 (d) sen x
6. Sabendo que o plano W gerado pelos vetores ~v1 = (−1, 1, 1) e ~v2 = (1, 2, 1) (W = ger{~v1, ~v2}) 
ompreende
o 
onjunto de vetores ~x = (x, y, z) = k1~v1 + k2~v2 ∀ k1, k2 ∈ R, obtenha a equação normal do plano W
(ax+ by + cz = 0).
AL Aula 4
7. Seja S = {A1, A2, A3} o 
onjunto formado pelas matrizes
A1 =
[
1 1
1 0
]
, A2 =
[
1 −1
1 0
]
e A3 =
[
0 1
1 1
]
.
Quais das seguintes matrizes estão em ger{S}? Es
reva a matriz que está em ger{S} 
omo uma 
ombinação
linear das matrizes de S.
(a)
[
2 3
6 4
]
(b)
[
2 2
6 3
]
1
8. Quais das seguintes matrizes do M22 são linearmente dependentes?
(a)
[
3 8
7 −3
]
,
[
1 5
3 −1
]
,
[
2 −1
2 6
]
e
[
1 4
0 3
]
;
(b)
[
0 3
−3 −6
]
,
[−2 0
0 −6
]
,
[
0 −4
−2 −2
]
e
[
0 −1
−5 −8
]
.
9. Para quais valores reais de λ os vetores
~v1 = (λ, 1, 1) , ~v2 = (1, λ, 1) e ~v3 = (1, 1, λ)
formam um 
onjunto linearmente dependente?
10. Prove: se u, v e w são quaisquer vetores de um espaço vetorial V , então u − v, v −w e w − u formam um
onjunto linearmente dependente.
11. Utilize identidades apropriadas para determinar quais dos seguintes 
onjuntos de vetores em F (−∞ , +∞) são
linearmente dependentes.
(a) 6, 3sen 2x, 2 cos2 x (b) x, cosx (c) 1, sen x, sen 2x
(d) cos 2x, sen 2x, cos2 x (e) (3− x)2, x2 − 6x, 5 (f) cos 3x, cos3 x, sen 2x cosx.
AL Aula 5
De�nição para os próximos exer
í
ios: Seja V um espaço vetorial 
om uma base S =
{v1, v2, · · · , vn}. Para qualquer vetor v ∈ V podemos es
rever
v = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn ,
onde k1, k2, · · · , kn são 
hamados de 
oordenadas do vetor v na base S. Note que os k′is dependem da
base S es
olhida. Portanto de�nimos o vetor de 
oordenadas de um vetor v na base S 
omo sendo
(v)S = (k1, k2, · · · , kn) ∈ Rn .
Ou seja, para 
ada vetor v ∈ V , independente de qual espaço vetorial V seja, asso
iamos um vetor de
oordenadas referentes à base S no Rn.
12. Explique por que os seguintes 
onjuntos de vetores não são bases para dos espaços vetoriais indi
ados.
(a) ~u1 = (1, 2), ~u2 = (0, 3) e ~u3 = (2, 7) no R
2
;
(b) ~u1 = (−1, 3, 2) e ~u2 = (6, 1, 1) no R3;
(
) p1(x) = 1 + x+ x
2
, p2(x) = 1− x+ x2 e p3(x) = 1 + x2 no P2;
(d) A =
[
1 1
2 3
]
, B =
[
6 0
−1 4
]
, C =
[
3 0
1 7
]
, D =
[
5 1
4 2
]
e E =
[
7 1
2 9
]
no M22.
13. Seja V = ger{v1, v2, v3} onde v1 = cos2 x, v2 = sen 2x e v3 = cos 2x.
(a) Mostre que S = {v1, v2, v3} não é uma base de V ;
(b) En
ontre uma base para V .
14. En
ontre o vetor de 
oordenadas
1
de A em relação à base S = {A1, A2, A3, A4} do M22.
A =
[
2 0
−1 3
]
, A1 =
[
1 1
1 0
]
, A2 =
[
1 −1
1 0
]
, A3 =
[
0 1
1 1
]
e A4 =
[
0 0
1 2
]
.
15. Seja
B =
[
1 0
0 −1
]
∈M22 ,
e W ⊂ M22 o sub
onjunto de matrizes A 2 × 2 tais que AB = BA. Veri�que que W é um subespaço de M22
e então obtenha uma base para W .
1
veja de�nição a
ima.
2
16. Pelo teorema 5.2.2 sabemos que o 
onjunto-soluçãoW =
{
~x ∈ Rn|A~x = ~0
}
⊆ Rn, sendo A uma matriz m×n,
é um subespaço do R
n
, obtenha bases para os espaços-solução dos sistemas rela
ionados às seguintes matrizes
(a)

1 2 3 45 6 7 8
9 10 11 12

 (b)

1 1 2 12 3 5 1
3 2 1 2


17. Determine a dimensão e en
ontre uma base para o espaço-solução do sistema.
(a)
x1 + x2 − x3 = 0
−2x1 − x2 + 2x3 = 0
−x1 + x3 = 0
(b)
x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = 0
2x1 − 8x2 + 6x3 − 2x4 = 0
(
)
2x1 + x2 + 3x3 = 0
x1 + 5x3 = 0
x2 + x3 = 0
(d)
x+ y + z = 0
3x+ 2y − 2z = 0
4x+ 3y − z = 0
6x+ 5y + z = 0
18. Determine bases dos seguintes subespaços de R
3
.
(a) O plano 3x− 2y + 5z = 0.
(b) O plano x− y = 0.
(
) A reta x = 2t, y = −t e z = 4t para t ∈ R.
(d) Todos os vetores da forma (a, b, c) 
om b = a+ c.
19. En
ontre vetores da base 
an�ni
a que podem ser a
res
entados ao 
onjunto ~v1, ~v2 para formar uma base do
R
4
, sendo
~v1 = (1,−4, 2,−3) e ~v2 = (−3, 8,−4, 6) .
20. Seja S = {v1,v2,v3} uma base de um espaço vetorial V . Mostre que S′ = {u1,u2,u3} também é uma base
quando u1 = v1, u2 = v1 + v2 e u3 = v1 + v2 + v3.
21. A �gura ao lado mostra um sistema de 
oordenadas
retangulares xy gerado pelos vetores unitários da base
an�ni
a ~ı e ~ e um sistema de 
oordenadas também
retangulares x′y′ gerado pelo vetores unitários ~ı ′ e ~ ′
obtidos da rotação do sistema de 
oordenadas retangu-
lares xy no sentido anti-horário por um ângulo θ = π/4
(veja a ilustração do problema na �gura abaixo para
um ângulo θ qualquer). En
ontre as 
oordenadas x′ y′
dos pontos 
ujas 
oordenadas x y são dadas:
x
′
y
′
y
x
θ
~ı
~ı
′
~
~ ′
Figura 1: Ilustração do problema para um ângulo θ
qualquer.
(a) (1, 1) (b) (a, b)
Di
a: lembre-se de que o vetor posição do ponto de 
oordenadas xy é (x, y) = x~ı+ y~ = x′~ı ′+ y′~ ′, sendo x′y′
as 
oordenadas do mesmo ponto na nova base.
Respostas
1. Os 10 axiomas são veri�
ados. Em parti
ular temos que 0 = (1, 1) e que se ~u = (x, y) então ~u(−1) =
(
1
x
, 1
y
)
.
2. Como nesse 
aso x, x′, y, y′ ∈ R∗+, então os produtos xx′, yy′ ∈ R∗+, da mesma forma que xk, yk ∈ R∗+∀k ∈ R,
e �
a fá
il veri�
ar que é subespaço.
3. (a) é subespaço. (b) não é subespaço. (
) é subespaço.
4. (a) não é 
ombinação linear. (b) 3p1(x)− 3p2(x) + p3(x).
5. (a) está no subespaço. (b) não está no subespaço. (
) está no subespaço. (d) não está no subespaço.
6. x− 2y + 3z = 0.
7. (a) Está.
[
2 3
6 4
]
= 12A1 +
3
2A2 + 4A3. (b) Não está.
3
8. (a) Linearmente Independentes. (b) Linearmente Dependentes.
9. λ = 1 ou λ = −2.
10. Deve ser obtido a solução para os k′is na equação k1(u− v) + k2(v −w) + k3(w − u) = 0.
11. (a) LD (b) LI (
) LI (d) LD (e) LD (f) LD
12. (a) Conjunto LD. (b) Não gera o R
3
. (
) Conjunto LD. (d) Conjunto LD.
13. (a) v3 = v1 − v2. (b) Possíveis bases para V : {v1,v2} ou {v2,v3} ou {v1,v3}.
14. (A)S =
(
11
2 ,− 72 ,−9, 6
)
.
15. Foi mostrado em aula que B é subespaço para um 
aso genéri
o. Base para W =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
16. (a) {(1,−2, 10), (2,−3, 0, 1)}. (b) {(3,−3,−1,−2)}.

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