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Lista Reduzida 1 AL Aula 2 1. Seja V o sub onjunto do R2 formado por todos os pares ordenados (x, y) reais não-nulos (x, y ∈ R∗) om as operações (x, y) + (x′, y′) = (xx′, yy′) e k(x, y) = (xk, yk) . Veri�que os 10 axiomas e mostre que V é um espaço vetorial. AL Aula 3 2. Se V é o espaço vetorial de�nido na questão (1), veri�que se W = { (x, y)|x, y ∈ R∗+ } ⊂ V é subespaço de V . (Lembre-se que as operações de soma e multipli ação por es alar são aquelas dadas a ima.) 3. Determine quais dos seguintes onjuntos são subespaços do espaço F (−∞ , +∞). (a) Todas as funções f tais que f(2) = 0 (b) Todas as funções f tais que f(0) = 2 ( ) Todas as funções f da forma k1 + k2sen x, onde k1, k2 ∈ R 4. Seja p1(x) = 2 + x + 3x 3 , p2(x) = 3 − x + 5x2 + 2x3 e p3(x) = −1 + 2x2 + x3. Se q(x) = 2 + 3x− 7x2 + 3x3, então a ombinação linear q(x) = k1p1(x) + k2p2(x) + k3p3(x) é obtida es alonando-se a matriz aumentada [p1 p2 p3 | q], sendo que as olunas orrespondem apenas aos oe� ientes de ada polin�mio, ou seja, [p1 p2 p3 | q] = 2 3 −1 2 1 −1 0 3 0 5 2 −7 3 2 1 3 ∼ 1 0 0 2 0 1 0 −1 0 0 1 −1 0 0 0 0 =⇒ k1 = 2 k2 = −1 k3 = −1 e obtemos a ombinação linear q(x) = 2p1(x) − p2(x)− p3(x) . Faça o mesmo para es rever os seguintes polin�mios omo ombinação linear de p1, p2 e p3: (a) 1 + x+ x2 + x3 (b) − 4 + 6x− 13x2 + 4x3 5. Seja f = cos2 x e g = sen 2x. Quais dos seguintes estão no subespaço gerado por f e g (a) cos 2x (b) 3 + x2 (c) 1 (d) sen x 6. Sabendo que o plano W gerado pelos vetores ~v1 = (−1, 1, 1) e ~v2 = (1, 2, 1) (W = ger{~v1, ~v2}) ompreende o onjunto de vetores ~x = (x, y, z) = k1~v1 + k2~v2 ∀ k1, k2 ∈ R, obtenha a equação normal do plano W (ax+ by + cz = 0). AL Aula 4 7. Seja S = {A1, A2, A3} o onjunto formado pelas matrizes A1 = [ 1 1 1 0 ] , A2 = [ 1 −1 1 0 ] e A3 = [ 0 1 1 1 ] . Quais das seguintes matrizes estão em ger{S}? Es reva a matriz que está em ger{S} omo uma ombinação linear das matrizes de S. (a) [ 2 3 6 4 ] (b) [ 2 2 6 3 ] 1 8. Quais das seguintes matrizes do M22 são linearmente dependentes? (a) [ 3 8 7 −3 ] , [ 1 5 3 −1 ] , [ 2 −1 2 6 ] e [ 1 4 0 3 ] ; (b) [ 0 3 −3 −6 ] , [−2 0 0 −6 ] , [ 0 −4 −2 −2 ] e [ 0 −1 −5 −8 ] . 9. Para quais valores reais de λ os vetores ~v1 = (λ, 1, 1) , ~v2 = (1, λ, 1) e ~v3 = (1, 1, λ) formam um onjunto linearmente dependente? 10. Prove: se u, v e w são quaisquer vetores de um espaço vetorial V , então u − v, v −w e w − u formam um onjunto linearmente dependente. 11. Utilize identidades apropriadas para determinar quais dos seguintes onjuntos de vetores em F (−∞ , +∞) são linearmente dependentes. (a) 6, 3sen 2x, 2 cos2 x (b) x, cosx (c) 1, sen x, sen 2x (d) cos 2x, sen 2x, cos2 x (e) (3− x)2, x2 − 6x, 5 (f) cos 3x, cos3 x, sen 2x cosx. AL Aula 5 De�nição para os próximos exer í ios: Seja V um espaço vetorial om uma base S = {v1, v2, · · · , vn}. Para qualquer vetor v ∈ V podemos es rever v = k1v1 + k2v2 + · · ·+ knvn , onde k1, k2, · · · , kn são hamados de oordenadas do vetor v na base S. Note que os k′is dependem da base S es olhida. Portanto de�nimos o vetor de oordenadas de um vetor v na base S omo sendo (v)S = (k1, k2, · · · , kn) ∈ Rn . Ou seja, para ada vetor v ∈ V , independente de qual espaço vetorial V seja, asso iamos um vetor de oordenadas referentes à base S no Rn. 12. Explique por que os seguintes onjuntos de vetores não são bases para dos espaços vetoriais indi ados. (a) ~u1 = (1, 2), ~u2 = (0, 3) e ~u3 = (2, 7) no R 2 ; (b) ~u1 = (−1, 3, 2) e ~u2 = (6, 1, 1) no R3; ( ) p1(x) = 1 + x+ x 2 , p2(x) = 1− x+ x2 e p3(x) = 1 + x2 no P2; (d) A = [ 1 1 2 3 ] , B = [ 6 0 −1 4 ] , C = [ 3 0 1 7 ] , D = [ 5 1 4 2 ] e E = [ 7 1 2 9 ] no M22. 13. Seja V = ger{v1, v2, v3} onde v1 = cos2 x, v2 = sen 2x e v3 = cos 2x. (a) Mostre que S = {v1, v2, v3} não é uma base de V ; (b) En ontre uma base para V . 14. En ontre o vetor de oordenadas 1 de A em relação à base S = {A1, A2, A3, A4} do M22. A = [ 2 0 −1 3 ] , A1 = [ 1 1 1 0 ] , A2 = [ 1 −1 1 0 ] , A3 = [ 0 1 1 1 ] e A4 = [ 0 0 1 2 ] . 15. Seja B = [ 1 0 0 −1 ] ∈M22 , e W ⊂ M22 o sub onjunto de matrizes A 2 × 2 tais que AB = BA. Veri�que que W é um subespaço de M22 e então obtenha uma base para W . 1 veja de�nição a ima. 2 16. Pelo teorema 5.2.2 sabemos que o onjunto-soluçãoW = { ~x ∈ Rn|A~x = ~0 } ⊆ Rn, sendo A uma matriz m×n, é um subespaço do R n , obtenha bases para os espaços-solução dos sistemas rela ionados às seguintes matrizes (a) 1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 12 (b) 1 1 2 12 3 5 1 3 2 1 2 17. Determine a dimensão e en ontre uma base para o espaço-solução do sistema. (a) x1 + x2 − x3 = 0 −2x1 − x2 + 2x3 = 0 −x1 + x3 = 0 (b) x1 − 4x2 + 3x3 − x4 = 0 2x1 − 8x2 + 6x3 − 2x4 = 0 ( ) 2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + 5x3 = 0 x2 + x3 = 0 (d) x+ y + z = 0 3x+ 2y − 2z = 0 4x+ 3y − z = 0 6x+ 5y + z = 0 18. Determine bases dos seguintes subespaços de R 3 . (a) O plano 3x− 2y + 5z = 0. (b) O plano x− y = 0. ( ) A reta x = 2t, y = −t e z = 4t para t ∈ R. (d) Todos os vetores da forma (a, b, c) om b = a+ c. 19. En ontre vetores da base an�ni a que podem ser a res entados ao onjunto ~v1, ~v2 para formar uma base do R 4 , sendo ~v1 = (1,−4, 2,−3) e ~v2 = (−3, 8,−4, 6) . 20. Seja S = {v1,v2,v3} uma base de um espaço vetorial V . Mostre que S′ = {u1,u2,u3} também é uma base quando u1 = v1, u2 = v1 + v2 e u3 = v1 + v2 + v3. 21. A �gura ao lado mostra um sistema de oordenadas retangulares xy gerado pelos vetores unitários da base an�ni a ~ı e ~ e um sistema de oordenadas também retangulares x′y′ gerado pelo vetores unitários ~ı ′ e ~ ′ obtidos da rotação do sistema de oordenadas retangu- lares xy no sentido anti-horário por um ângulo θ = π/4 (veja a ilustração do problema na �gura abaixo para um ângulo θ qualquer). En ontre as oordenadas x′ y′ dos pontos ujas oordenadas x y são dadas: x ′ y ′ y x θ ~ı ~ı ′ ~ ~ ′ Figura 1: Ilustração do problema para um ângulo θ qualquer. (a) (1, 1) (b) (a, b) Di a: lembre-se de que o vetor posição do ponto de oordenadas xy é (x, y) = x~ı+ y~ = x′~ı ′+ y′~ ′, sendo x′y′ as oordenadas do mesmo ponto na nova base. Respostas 1. Os 10 axiomas são veri� ados. Em parti ular temos que 0 = (1, 1) e que se ~u = (x, y) então ~u(−1) = ( 1 x , 1 y ) . 2. Como nesse aso x, x′, y, y′ ∈ R∗+, então os produtos xx′, yy′ ∈ R∗+, da mesma forma que xk, yk ∈ R∗+∀k ∈ R, e � a fá il veri� ar que é subespaço. 3. (a) é subespaço. (b) não é subespaço. ( ) é subespaço. 4. (a) não é ombinação linear. (b) 3p1(x)− 3p2(x) + p3(x). 5. (a) está no subespaço. (b) não está no subespaço. ( ) está no subespaço. (d) não está no subespaço. 6. x− 2y + 3z = 0. 7. (a) Está. [ 2 3 6 4 ] = 12A1 + 3 2A2 + 4A3. (b) Não está. 3 8. (a) Linearmente Independentes. (b) Linearmente Dependentes. 9. λ = 1 ou λ = −2. 10. Deve ser obtido a solução para os k′is na equação k1(u− v) + k2(v −w) + k3(w − u) = 0. 11. (a) LD (b) LI ( ) LI (d) LD (e) LD (f) LD 12. (a) Conjunto LD. (b) Não gera o R 3 . ( ) Conjunto LD. (d) Conjunto LD. 13. (a) v3 = v1 − v2. (b) Possíveis bases para V : {v1,v2} ou {v2,v3} ou {v1,v3}. 14. (A)S = ( 11 2 ,− 72 ,−9, 6 ) . 15. Foi mostrado em aula que B é subespaço para um aso genéri o. Base para W = {[ 1 0 0 0 ] , [ 0 0 0 1 ]} 16. (a) {(1,−2, 10), (2,−3, 0, 1)}. (b) {(3,−3,−1,−2)}.17. (a) Base {(1, 0, 1)}, dimensão 1. (b) Base {(4, 1, 0, 0), (−3, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}, dimensão 3. ( ) Não possui base, dimensão 0. (d) Base {(4,−5, 1)}, dimensão 1. 18. (a) {(2, 3, 0) , (−5, 0, 3)}. (b) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. ( ) {(2,−1, 4)} (d) {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}. 19. Podemos adi ionar {~e2, ~e3} ou {~e2, ~e4} ou {~e3, ~e4}. 20. Devem ser al ulados os k′is na equação k1u1 + k2u2 + k3 + u3 = ~0 usando o fato de que S é LI. 21. (a) x′ = √ 2 e y′ = 0, ou podemos es rever (1, 1)S′ = ( √ 2, 0). (b) x′ = a+b√ 2 e y′ = −a+b√ 2 , ou podemos es rever (a, b)S′ = ( a+b√ 2 , −a+b√ 2 ) . 4
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