Lista 2 - AL (espaço linha, espaço coluna, espaço nulo, posto e nulidade) - Prof.: Fábio (CeT)

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Lista Reduzida 2
AL Aula 6
1. Determine se
~b está no espaço-
oluna de A e, se estiver, expresse ~b 
omo 
ombinação linear dos vetores-
oluna
de A.
(a) A =

1 −1 19 3 1
1 1 1

 , ~b =

 51
−1

 (b) A =

 1 −1 11 1 −1
−1 −1 1

 , ~b =

20
0


(c) A =


1 2 0 1
0 1 2 1
1 2 1 3
0 1 2 2

 , ~b =


4
3
5
7

 (d) A =

1 1 21 0 1
2 1 3

 , ~b =

−10
2


2. Suponha que x1 = −1, x2 = 2, x3 = 4 e x4 = −3 é uma solução de um sistema linear não-homogêneo A~x = ~b
e que o 
onjunto-solução do sistema linear homogêneo A~x = ~0 é dado por
x1 = −3r + 4s , x2 = r − s , x3 = r ∈ R e x4 = s ∈ R .
(a) En
ontre a forma vetorial da solução geral de A~x = ~0.
(b) En
ontre a forma vetorial da solução geral de A~x = ~b.
3. En
ontre uma base para o espaço-linha de A, para o espaço-
oluna de A e para o espaço-nulo de A.
(a) A =

 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2

 (b) A =


1 4 5 6 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8


4. En
ontre uma base para o subespaço gerado pelos vetores dados.
(a) (1, 0, 1, 1), (−3, 3, 7, 1), (−1, 3, 9, 3), (−5, 3, 5,−1)
(b) (1,−2, 0, 3), (2,−4, 0, 6), (−1, 1, 2, 0), (0,−1, 2, 3)
AL Aula 7
5. Determine o posto e a nulidade das matrizes abaixo e veri�que a fórmula pos(A)+nul(A) = n. En
ontre uma
base para o espaço-linha de A, espaço-
oluna de A e espaço-nulo de A.
(a) A =

1 −1 35 −4 −4
7 −6 2

 (b) A =

 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2


(c) A =


1 4 5 5 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8

 (d) A =


1 −3 2 2 1
0 3 6 0 −3
2 −3 −2 4 4
3 −6 0 6 5
−2 9 2 −4 −5


6. Se A é uma matriz m× n, qual é o maior valor possível para pos(A) e o menor valor possível para nul(A)?
7. Veri�que 
omo o posto de A varia 
om t.
(a) A =

1 1 t1 t 1
t 1 1

 (b) A =

 t 3 −13 6 −2
−1 −3 t


8. Mostre que o 
onjunto de pontos (x, y, z) ∈ R3 para os quais a matriz[
x y z
1 x y
]
tem posto 1 é a 
urva de equações paramétri
as x = t ∈ R, y = t2, z = t3.
1
Respostas
1. (a) Está.

 51
−1

 =

19
1

−3

−13
1

+

11
1


. (b) Está.

20
0

 =

 11
−1

+(t−1)

−11
−1

+t

 1−1
1

 =

 11
−1

−1

−11
−1

 , t ∈
R. (
) Está.


4
3
5
7

 = −26


1
0
1
0

+ 13


2
1
2
1

− 7


0
2
1
2

+ 4


1
1
3
2

. (d) Não está.
2. (a) ~xh = r


3
1
1
0

+ s


4
−1
0
1

. (b) ~x = ~x0 + ~xh =


−1
2
4
−3

+ r


3
1
1
0

+ s


4
−1
0
1

.
3. (a) Base p/ espaço-linha =
{(
1, 0, 1,− 2
7
)
,
(
0, 1, 1, 4
7
)}
, base para o espaço-
oluna = {(1, 2,−1) , (4, 1, 3)}, base
para o espaço-nulo =
{
(−1,−1, 1, 0) ,
(
2
7
,− 4
7
, 0, 1
)}
.
(b) Base p/ espaço-linha= {(1, 0, 1, 2, 1) , (0, 1, 1, 1, 2)}, base para o espaço-
oluna= {(1, 3,−1, 2) , (4,−2, 0, 3)},
base para o espaço-nulo = {(−1,−1, 1, 0, 0) , (−2,−1, 0, 1, 0) , (−1,−2, 0, 0, 1)}.
4. (a) {(1, 0, 1, 1) , (−3, 3, 7, 1)}. (b) {(1,−2, 0, 3) , (−1, 1, 2, 0)}.
5. (a) pos(A) = 2, nul(A) = 1. Base p/ os espaços: 
oluna {(1, 5, 7) , (−1,−4,−6)}, linha {(1, 0,−16) , (0, 1,−19)},
nulo {(16, 19, 1)}.
(b) pos(A) = 2, nul(A) = 2. Base p/ os espaços: 
oluna {(1, 2,−1) , (4, 1, 3)}, linha {(7, 0, 7,−2) , (0, 7, 7, 4)},
nulo {(−1,−1, 1, 0) , (2,−4, 0, 7)}.
(
) pos(A) = 3, nul(A) = 2. Base p/ os espaços: 
oluna {(1, 3,−1, 2) , (4,−2, 0, 3) , (5, 4,−2, 7)}, linha
{(7, 0, 7,−2) , (0, 7, 7, 4)}, nulo {(−1,−1, 1, 0, 0) , (−1,−2, 0, 0, 1)}.
(d) pos(A) = 3, nul(A) = 2. Base p/ espaços: 
oluna {(1, 0, 2, 3,−2) , (−1, 1,−1,−2, 3) , (1, 3,−1, 0, 1)}, linha
{(3, 0, 0, 6, 4) , (0, 6, 0, 0,−1) , (0, 0, 2, 0,−5)}, nulo {(−2, 0, 0, 1, 0) , (−16, 2, 5, 0, 12)}.
6. pos(A)
max
= min(m,n), nul(A)
min
= n−m se n ≥ m e nul(A)
min
= 0 se m > n.
7. (a) pos(A) = 1 para t = 1, pos(A) = 2 para t = −2 e pos(A) = 3 para t ∈ R− {1,−2}. (b) pos(A) = 2 para
t = 1 ou t = 3
2
, pos(A) = 3 para t ∈ R−
{
1, 3
2
}
.
8. Basta es
alonar a matriz e exigir que ela tenha uma linha de zeros.
2