EE201- 3 Equação Diferencial (1)

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EE201
III - REVISÃO DE ALGUNS CONCEITOS 
FUNDAMENTAIS 2
Equações Diferenciais
Equações Diferenciais
• Seja a Equação Diferencial Não Homogênea com coeficientes constantes a seguir:
Forçante Função de denominada é f(t) e
ticaCaracterís Equação de denominada é ).......()( 
)()().......(
)()()(.......)()()(
l)Diferencia(Operador D
dt
d
 Fazendo
)()()(........)()()(
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
1
12211
21
nn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nnnnn
aDaDaDaDDFonde
tftyaDaDaDaD
ou
tftyatDyatyDatyDatyD
tftya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
dt
tyd
nnn
+++++=
=+++++
=+++++
=
=+++++
−
−−
−
−−
−
−−
−
−−
−−
• A Solução Geral da Equação Diferencial anterior é composta por duas partes: 
– A Solução Homogênea - yh(t)
– A Solução Particular - yp(t)
Assim, a Solução Geral será:
y(t) = yh(t) + yp(t)
Equações Diferenciais
Para determinar a Solução Homogênea, devemos igualar a Equação 
Diferencial a zero e determinar as suas raízes, ou seja:
0)().......(
0)()(........)()()(
1
2
2
1
1
12211
21
=+++++
=+++++
−
−−
−
−−
−−
tyaDaDaDaD
ou
tya
dt
tdy
a
dt
tyd
a
dt
tyd
a
dt
tyd
nn
nnn
nnnnn
nnn
De acordo com a forma assumida pelas raízes da equação 
característica, podemos ter 03 casos distintos:
Equações Diferenciais
1º Caso: Raízes Reais e Distintas
r1 ≠ r2 ≠ r3 ≠......≠ rn
A solução será dada por:
tr
n
trtrtr
h
nekekekekty ++++= ........)( 321 321
Equações Diferenciais
2º Caso: Raízes Reais e Iguais
r1 = r2 = r3 =......= rn= r
A solução será dada por:
rtn
nh
rtn
n
trrtrt
h
etktktkkty
ou
etketktekekty
)........()(
........)(
12
321
12
321
−
−
++++=
++++=
Equações Diferenciais
3º Caso: Raízes Complexas
Seja por exemplo, uma equação diferencial que apresenta o 
seguinte par de raízes:
r1 = a + jb e r2 = a - jb
A solução será dada por:
)()cos()( 21 btSenekbtekty atath +=
Equações Diferenciais
SOLUÇÃO PARTICULAR
Para determinar a solução particular, que depende da função 
forçante f(t), será utilizado o método abreviado. 
Neste caso, considerando a função f(t) = αeβt
A solução será dada por:
tica.Caracterís Equação F(D) Onde
0.)F( que desde ,)(
1
)(
1)()(
1)(
=>
≠===
==
βαβα
ββ
ββ
tt
DD
p eF
e
DF
tf
DF
ty
Exemplos
Determinar a Solução Geral das Seguintes Equações Diferenciais:
a) y’(t)+4y(t) = 6e-2t; y(0)=0;
b) y’(t)+2y(t) = 4; y(0)=-1;
c) i’’(t)+5i’(t)+6i(t)=0; i(0)=0; i’(0)=3;
d) v’’(t)+10v’(t)+25v(t)=4e-3t; v(0)=2; v’(0)=-5;
e) p’’(t)+4p’(t)+13p(t)=26; p(0)=p’(0)=2;
f) y’’’(t)+4y’’(t)+5y’(t)+2y(t)=0; y(0)=0; y’(0)=-5; y”(0)=-4;
Comportamento da Função 
Exponencial
Comportamento da Função Exponencial
Genericamente, uma 
função exponencial 
decrescente pode ser 
expressa por:
y(t)=y0e-t/τ
Admitindo que para t<0 
y(t)=0, para t>0 
teremos:
y0e-5 ≈ 0,0067y05ττττ
y0e-4 ≈ 0,018y04ττττ
y0e-3 ≈ 0,049y03ττττ
y0e-2 ≈ 0,135y02ττττ
y0e-1 ≈ 0,37y0ττττ
y00
y(t)t
A Função Exponencial y(t) = yoe-t/ττττ
y(t)= 0 p/ t<0 
y0e-t/τ p/ t>0
0 ττττ 2ττττ 3ττττ 4ττττ 5ττττ 6ττττ
y0
0,37y0
A Função Exponencial y(t) = yoe-t/ττττ
• A grandeza τ, cuja unidade é de tempo, determina a 
taxa com que a função exponencial y(t) decresce;
• Matematicamente, a função y(t) tende a zero quando t 
tende a infinito. Na prática, considera-se que a função 
atinge o seu valor final quando t=5τ.
• Percebe-se que para t=5τ, a função y(t) é
praticamente nula;
• Em sistemas/circuitos o valor de τ é utilizada para 
especificar uma grandeza denominada de constante 
de tempo do sistema/circuito.
0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10
A Função Exponencial y(t) = yoe-t/ττττ
y(t)= 0 p/ t<0 
y0e-t/τ p/ t>0 0)
y0
τ3
τ1
τ2
ττττ1 > ττττ2 > ττττ3
A Função Exponencial y(t) = yo(1-e-t/τ)
0,994y05τ
0,982y04τ
0,951y03τ
0,87y02τ
0,63y0τ
00
y(t)tMatematicamente, a função y(t) 
tende a y0 (valor máximo) quando t 
tende a infinito. Na prática, 
considera-se que a função atinge o 
seu valor final quando t=5τ.
y0
0,63y0
t
τ τ3 τ4 τ5 τ6 τ72τ0
A Função Exponencial y(t) = yo(1-e-t/τ)
y(t)