AP1_2014.2º

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito AP1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2014-2
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa.
ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas.
Questa˜o 1 (3.0 pts) : Considere as proposic¸o˜es elementares a seguir identificadas com as letras
do alfabeto, conforme abaixo.
a : Aves possuem penas.
b : Burros possuem treˆs patas.
c : Cavalos sa˜o vermelhos.
d : Dromeda´rios sa˜o desdentados.
Considere agora as seguintes afirmac¸o˜es: Se aves na˜o possuem penas e burros possuem treˆs patas,
enta˜o dromeda´rios sa˜o desdentados. Cavalos sa˜o vermelhos ou burros na˜o possuem treˆs patas se, e
somente se, aves possuem penas. Aves na˜o possuem penas.
a) (1.0 pt) Utilizando as letras que identificam as proposic¸o˜es, reescreva as afirmac¸o˜es abaixo com
os s´ımbolos da Lo´gica. Este item, desta questa˜o, deve ser resolvido aqui mesmo na folha
de prova.
Primeira afirmac¸a˜o:
“Se aves na˜o possuem penas e burros possuem treˆs patas, enta˜o dromeda´rios sa˜o desdentados.”
Resposta: (∼a) ∧ b⇒ d
Segunda afirmac¸a˜o:
“Cavalos sa˜o vermelhos ou burros na˜o possuem treˆs patas se, e somente se, aves possuem penas.”
Resposta: c ∨ (∼b)⇔ a
Terceira afirmac¸a˜o:
“Aves na˜o possuem penas.”
Resposta: (∼a)
Me´todos Determin´ısticos I AP1 2
b) (2.0 pt) Considerando que sejam verdadeiras as afirmac¸o˜es apresentadas inicialmente, reescritas
acima, indique se cada uma das proposic¸o˜es elementares abaixo e´ “Verdadeira”ou “Falsa”, mar-
cando, respectivamente (V) ou (F). Deixe bem claro o racioc´ınio que utilizou para deduzir suas
concluso˜es.
( F ) Aves possuem penas.
Decorre diretamente da terceira afirmac¸a˜o, pois, se (∼a) e´ Verdadeira, tem -se que a e´ Falsa
( V ) Burros possuem treˆs patas.
( F ) Cavalos sa˜o vermelhos.
Conclu´ımos anteriormente que a e´ Falsa. Desta forma, da segunda afirmac¸a˜o (c ∨ (∼ b) ⇔ a),
podemos concluir que c∨ (∼b) tambe´m e´ Falsa. Como o conectivo empregado e´ ∨, a proposic¸a˜o
composta c ∨ (∼b) e´ Falsa apenas se as duas proposic¸o˜es sa˜o Falsas. Isto e´, c e´ Falsa e (∼b) e´
Falsa, o que significa que b e´ Verdadeira.
( V) Dromeda´rios sa˜o desdentados.
Conclu´ımos anteriormente que a e´ Falsa (o que significa que (∼ a) e´ Verdadeira) e que b e´
Verdadeira. Desta forma, (∼a)∧b e´ Verdadeira. Portanto, da primeira afirmac¸a˜o, (∼a)∧b⇒ d,
podemos concluir que d tambe´m e´ Verdadeira.
Questa˜o 2 (2.5 pts) : Considere os conjuntos A e B formados por letras do alfabeto, conforme
abaixo:
A = {a, b, c} e B = {i, n, o}.
Decida se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es abaixo, justificando sua resposta.
a) (0.6 pt) Existe uma letra que pertence ao conjunto A que aparece na palavra “escrito´rio”.
b) (0.6 pt) Todas as letras que pertencem ao conjunto A aparecem na palavra “banco”.
c) (0.7 pt) Todas as letras da palavra “banco” pertencem ao conjunto A ou pertencem ao conjunto
B.
d) (0.6 pt) Todas as letras da palavra “noite” pertencem ao conjunto B.
Soluc¸a˜o:
(a) ( Verdadeiro )
A letra c que pertence ao conjunto A e´ a terceira letra da palavra “escrito´rio”.
(b) ( Verdadeiro )
As letras que pertencem ao conjunto A sa˜o: a, b e c. A letra a e´ a segunda letra da palavra
“banco”, a letra b e´ a primeira letra da palavra “banco” e a letra c e´ a quarta letra da palavra
“banco”.
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 3
(c) ( Verdadeiro )
As letras da palavra “banco” sa˜o: b, a, n, c e o. As letras a, b e c pertencem ao conjunto A e
as letras n e o pertencem ao conjunto B.
(d) ( Falso )
As letras da palavra “noite” sa˜o: n, o, i, t e e. As letras t e e na˜o pertencem ao conjunto B.
Questa˜o 3 (2.0 pts) : O sala´rio mensal de um vendedor e´ formado de uma parte fixa igual a dois
sala´rios m´ınimos acrescido de uma comissa˜o de 5% sobre o total de vendas no meˆs. Sabendo que
um sala´rio m´ınimo e´ igual a R$ 750, 00 e que no meˆs de dezembro o sala´rio foi de R$ 1860, 00,
responda os itens a seguir.
(a) (1.0 pt) Determine o valor total de vendas no meˆs de dezembro.
(b) (1.0 pt) Considerando que em janeiro, do ano seguinte, as vendas cairam 25%, determine o sala´rio
do vendedor no meˆs de janeiro.
Soluc¸a˜o:
(a) Seja S o sala´rio do vendedor no meˆs de dezembro e V o valor total de vendas. Logo,
S = 2 · sala´rio m´ınimo+ 5% do total de vendas.
Ou seja,
1860 = 2 · 750 + 5
100
· V
=⇒ 5
100
· V = 1860− 2 · 750
=⇒ 5
100
· V = 1860− 1500
=⇒ 5
100
· V = 360
=⇒ V = 7200.
Logo, o valor total de vendas no meˆs de dezembro e´ igual a R$ 7200,00.
(b) Como as vendas cairam 25% isto equivale a dizer que houve uma perda de 25% de V .
Ou seja, houve uma perda de R$ 1800,00. Assim, em janeiro, o total de vendas foi de 7200−
1800 = 5400.
E, portanto, o sala´rio de janeiro e´ igual a 1500 +
5
100
· 5400 = 1500 + 270 = 1770.
Logo, o sala´rio do meˆs de janeiro e´ R$ 1770,00.
Questa˜o 4 (2.5 pts) : O resultado de cada uma das expresso˜es abaixo e´ igual a um nu´mero real.
Determine-os.
a) (1.0 pt)
7
2
−√5
(
9
5
)
−
6
12 ÷
(
8
27
) 1
3
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Me´todos Determin´ısticos I AP1 4
b) (1.5 pt)
1
(4− 2b)2
[
16− b4
4− b2 − 4b
]
. Assuma que b 6= 2,−2.
Soluc¸a˜o:
a)
7
2
−
√
5
(
9
5
)
−
6
12 ÷
(
8
27
) 1
3
=
7
2
−
√
5
(
9
5
)
−
1
2 ÷
3
√
8
3
√
27
=
7
2
−
√
5
(
5
9
) 1
2 ÷
3
√
8
3
√
27
=
7
2
−
√
5
(√
5√
9
)
÷ 2
3
=
7
2
−
√
5
(√
5
3
)
· 3
2
=
7
2
− 5
2
= 1.
b)
1
(4− 2b)2
[(
16− b4
4− b2
)
− 4b
]
=
1
(4− 2b)2
[(
(4− b2)(4 + b2)
4− b2
)
− 4b
]
=
1
(4− 2b)2
[
4 + b2 − 4b]
=
1
(4− 2b)2 (b− 2)
2
=
1(
2 (2− b))2 (2− b)2
=
1
4 (2− b)2 (2− b)
2
=
1
4
.
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