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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP3 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-1 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (2.5 pt) : Determine o valor de: a) (0.5 pt) √ x−√2 x− 2 − 1√ x+ √ 2 b) (1.0 pt) f(x)− f(2) x− 2 − f(x) x onde f(x) = x2. c) (1.0 pt) (27)−1/3 − 2 [(0.5)2 −√9] Soluc¸a˜o: a) √ x−√2 x− 2 − 1√ x+ √ 2 = √ x−√2 x− 2 − 1√ x+ √ 2 √ x−√2√ x−√2 = √ x−√2 x− 2 − (√ x−√2) x− 2 = √ x−√2−√x+√2 x− 2 = 0 b) f(x)− f(2) x− 2 − f(x) x = x2 − 4 x− 2 − x2 x = (x− 2)(x + 2) x− 2 − x = x+ 2− x = 2. Me´todos Determin´ısticos I AP3 2 c) (27)−1/3 − 2 [ (0.5)2 − √ 9 ] = 1 (27)1/3 − 2 [( 5 10 )2 − 3 ] = 1 (33)1/3 − 2 [( 1 2 )2 − 3 ] = 1 33/3 − 2 [ 1 4 − 3 ] = 1 3 − 2 [ 1− 12 4 ] = 1 3 − 2 [ −11 4 ] = 1 3 + 22 4 = 1 3 + 11 2 = 2 + 33 6 = 35 6 . Questa˜o 2 (1.5 pts) : O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de ape- nas 5%. Devido a` intervenc¸a˜o do seu sindicato, esta mesma categoria conseguiu, ale´m dos 5%, um aumento de mais 120% sobre o percentual original de 5%. Determine o percentual de reajuste conseguido. Soluc¸a˜o: Como a categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 5%, temos que calcular 120% de 5%, isto e´, 120% · 5% = 120 100 · 5% = 6 5 · 5% = 6%. Como os trabalhadores ja´ tinham conseguido 5%, somando-se agora os 6%, obte´m-se o percentual de reajuste conseguido que foi de 11%. Questa˜o 3 (2.0 pt) : Determine o dom´ınio da func¸a˜o f(x) = √ x2 − 6x+ 9+√2x− 1 na forma de intervalo. Soluc¸a˜o: Para que possamos extrair a raiz quadrada de um nu´mero real, esse nu´mero deve ser maior ou igual a zero. Logo, o dom´ınio da func¸a˜o e´ formado pelos nu´meros reais x tais que x2−6x+9 ≥ 0 e 2x− 1 ≥ 0. Vamos seguir o seguinte procedimento: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 3 • primeiro, vamos determinar o conjunto S1 dos nu´meros que satisfazem x2 − 6x+ 9 ≥ 0; • em seguida, determinamos o conjunto S2 dos nu´meros que satisfazem 2x− 1 ≥ 0; • e, finalmente fazemos a intersec¸a˜o de S1 e S2, obtendo os nu´meros reais que satisfazem x2 − 6x+ 9 ≥ 0 e 2x− 1 ≥ 0. Ou seja, determinamos o dom´ınio. i) ii) + + 3 x y + - 1 2 x y iii) S1 S2 S1 Ý S2 1 2 Figura 1: Questa˜o 3 Determinac¸a˜o de S1 = {x ∈ R : x2 − 6x+ 9 ≥ 0} . Por Bhaskara, temos que a soluc¸a˜o de x2 − 6x + 9 = 0, com a = 1, b = −6 e c = 9 e´ dada por ∆ = b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(9) = 0, assim, x = −b±√∆ 2a = 6±√0 2(1) = 6 2 = 3. Assim, x2 − 6x+ 9 = 0 quando x = 3. Na Figura 1-i). plotamos a para´bola y = x2 − 6x+ 9. Notamos que o y da para´bola e´ maior do que zero para qualquer valor de x 6= 3. Dessa forma, y = x2 − 6x+ 9 ≥ 0, quando x ∈ R. Da´ı, S1 = R. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 4 Uma outra soluc¸a˜o para a determinac¸a˜o de S1 e´ observar que x 2 − 6x + 9 = (x − 3)2 e que (x− 3)2 ≥ 0, para qualquer x ∈ R. Desta forma, S1 = R. Determinac¸a˜o de S2 = {x ∈ R : 2x− 1 ≥ 0} . O valor de x em que 2x− 1 = 0 e´ x = 1 2 . A reta y = 2x− 1 esta´ plotada na Figura 1-ii). Notamos que o y da reta e´ maior do que zero quando x > 1 2 . E, que y = 2x− 1 ≥ 0, quando x ∈ [ 1 2 ,∞ ) . Da´ı, S2 = [ 1 2 ,∞ ) . Fazendo a intersec¸a˜o de S1 com S2, obtemos o conjunto soluc¸a˜o S, dado pela Figura 1-iii). Ou seja, S = S1 ∩ S2 = [ 1 2 ,∞ ) . Questa˜o 4 (4.0 pts) : Para a comercializac¸a˜o de um certo produto, um lojista nota que a receita e´ dada por R(x) = −x2 + 5x e o custo e´ dado por C(x) = x2 + 2, com x ∈ [0, 5], indicando a quantidade do produto. a) (1.0 pt) Determine a(s) quantidade(s) x em que a receita e´ igual ao custo. b) (2.0 pt) Esboce os gra´ficos da receita R e do custo C no mesmo plano cartesiano, marcando os pontos (x, y) em que a receita e´ igual ao custo. c) (0.5 pt) Determine o valor de x para que a receita R seja ma´xima. d) (0.5 pt) Determine o custo C m´ınimo do produto. Soluc¸a˜o: a) Temos que R(x) = C(x) ⇐⇒ −x2 + 5x = x2 + 2 ⇐⇒ −x2 − x2 + 5x− 2 = 0 ⇐⇒ −2x2 + 5x− 2 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −2, b = 5 e c = −2, segue que ∆ = b2 − 4ac = (5)2 − 4(−2)(−2) = 9, x = −b±√∆ 2a = −5±√9 2(−2) = −5± 3 −4 ⇐⇒ x1 = −5 + 3 −4 = 1 2 , x2 = −5− 3 −4 = 2. Logo, os valores de x que satisfazem R(x) = C(x), isto e´, a receita e´ igual ao custo, sa˜o: x1 = 1 2 , x2 = 2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 5 b) Os gra´ficos de R(x) e de C(x) sa˜o representados por para´bolas. Para desenha´-las, vamos deter- minar onde cada uma delas intercepta os eixos coordenados, a concavidade e o ve´rtice. Para R(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para baixo pois o coefi- ciente de x2 e´ negativo. Temos tambe´m que • x = 0⇐⇒ R(0) = −(0)2 + 5(0) = 0. Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 0). • R(x) = 0⇐⇒ −x2 + 5x = 0⇐⇒ −x(x− 5) = 0⇐⇒ x = 0 ou x− 5 = 0. Logo, os valores que satisfazem −x2 + 5x = 0, sa˜o x1 = 0, x2 = 5. E, portanto a para´bola intercepta o eixo x nos pontos (0, 0) e (5, 0). • (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 5 2(−1) ,− 25 4(−1) ) = ( 5 2 , 25 4 ) . Para C(x) , temos o gra´fico de uma para´bola com concavidade voltada para cima pois o coefi- ciente de x2 e´ positivo. Temos tambe´m que • x = 0 ⇐⇒ R(0) = (0)2 + 2 = 2. Portanto a para´bola intercepta o eixo y no ponto (0, 2). • C(x) = 0⇐⇒ x2 + 2 = 0. Note que x2+2 e´ um nu´mero maior do que zero para qualquer valor de x real, logo na˜o existe x que satisfaz a equac¸a˜o x2 + 2 = 0, ou seja, a pa´rabola na˜o intercepta o eixo x. Um outro modo para verificar esse fato,e´ observando que ∆ = 02− 4(1)(2) = −8 e´ negativo. O que significa que na˜o existe x real que satisfaz a equac¸a˜o. • (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 0 2(1) ,−(−8) 4(1) ) = (0, 2) Determinemos, agora, a segunda coordenada dos pontos (x, y) da intersec¸a˜o da receita com o custo. No item a), determinamos os nu´meros x1 = 1 2 , x2 = 2 em que R(x) = C(x). Para marcar o ponto (x, y) em que isso ocorre, usando y = C(x) = x2 + 2 (podemos tambe´m usar a func¸a˜o R(x)) temos • para x1 = 1 2 que y1 = ( 1 2 )2 + 2 = 1 4 + 2 = 1 + 8 4 = 9 4 Logo, ( 1 2 , 9 4 ) sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 6 • para x1 = 2 que y2 = (2) 2 + 2 = 4 + 2 = 6. Logo, (2, 6) sa˜o as coordenadas em que R(x) = C(x). Na Figura 2 plotamos os gra´ficos de R(x), de C(x) e dos pontos em que R(x) = C(x). VR H52, 254L VC H0,2L R C 1 2 2 5 2 5 x 94 6 27 y Figura 2: Questa˜o 4 c) Como o gra´fico de R e´ uma para´bola, com concavidade voltada para baixo pois o coeficiente de x2 e´ negativo, segue que o valor de x em que a receita e´ ma´xima ocorre emx = xv onde xv e´ a primeira coordenada do ve´rtice VR da para´bola. Assim, x = xv = − b 2a = − 5 2(−1) = 5 2 . d) Como o gra´fico de C e´ uma para´bola, com concavidade voltada para cima pois o coeficiente de x2 e´ positivo, segue que o valor do custo m´ınimo ocorre em y = yv onde yv e´ a segunda coordenada do ve´rtice VC da para´bola. Assim, y = yv = −∆ 4a = − [0 2 − 4(1)(2)] 4(1) = −(−8) 4 = 8 4 = 2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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