CÁLCULO 4- Listas e provas

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CAL 4 Lista 1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Um
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questo˜es marcadas com ? sa˜o complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questo˜es marcadas com ∗ sa˜o questo˜es com grau de dificuldade maior.
(1) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e em seguida calcule a integral dupla.
(a)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
sen(x2 + y2) dydx.
(b)
∫ 1
0
∫ √2−y2
y
(x+ y) dxdy.
(c)
∫ 1
0
∫ 1
√
y
yex
2
x3
dxdy.
(d)
∫∫
R
arctg
( y
x
)
dA, onde R =
{
(x, y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.
(e)
∫ ∫
R
ex
2
dA, onde R e´ a regia˜o delimitada pelas curvas x− 3y = 0, y = 0 e x = 3.
(f)
∫∫
D
y
1 + x2
dA onde D e´ regia˜o delimitada pelas curvas y =
√
x, y = 0 e x = 1.
(g)
∫∫
D
1
1 + x2
dA onde D e´ regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1) e (0, 1).
(h)
∫∫
D
y dA onde D e´ regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas para´bolas x = y2 e x = 8− y2.
∗(2) Se [[ · ]] denota a func¸a˜o maior inteiro, calcule a integral∫∫
R
[[x+ y]] dA
onde R = [0, 1]× [0, 2].
?(3) O valor me´dio de uma func¸a˜o f de n varia´veis em um conjunto limitado D ⊂ Rn e´
fmed =
1
area(D)
∫∫
D
f(x, y) dA, se n = 2.
fmed =
1
volume(D)
∫∫∫
D
f(x, y, z) dV, se n = 3.
Determine o valor me´dio de cada uma das func¸o˜es a seguir.
(a) f(x, y) =
x
x2 + y2
, D = {(x, y)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1} .
(b) f(x, y) = x2tgx+ y3 + 4, D =
{
(x, y)| x2 + y2 ≤ 2} .
(c) f(x, y, z) = xyz, D e´ o cubo de lado de comprimento L que esta´ no primeiro octante e cujos lados
sa˜o paralelos aos eixos coordenados.
(d) f(x, y, z) = x2z + y2z, D e´ a regia˜o delimitada pelo parabolo´ide z = 1 − x2 − y2 e pelo plano
z = 0.
(4) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e em seguida calcule a integral tripla.
(a)
∫ 1
0
∫ 1
−2
∫ 3
1
2z dzdydx.
(b)
∫ 1
0
∫ 2x
x
∫ y
0
2xyz dzdydx.
(c)
∫ 1
0
∫ 1
−2x
∫ x+y
0
2x dzdydx.
(d)
∫ pi/2
0
∫ y
0
∫ x
0
cos(x+ y + z) dzdydx.
?(5) Suponha que uma laˆmina ocupe uma regia˜o D no plano xy e que a func¸a˜o ρ : D → R+ represente sua
densidade. A massa de D e´ definida por
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA,
enquanto que o centro de massa de D e´ o ponto (x¯, y¯) ∈ D cujas coordenadas sa˜o
x¯ =
1
m
∫∫
xρ(x, y) dA e y¯ =
1
m
∫∫
yρ(x, y) dA.
(a) Encontre o centro de massa da laˆmina que ocupa a regia˜o D = {(x, y); 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 4} e
cuja func¸a˜o densidade e´ ρ(x, y) = 2y2.
(b) Encontre o centro de massa da laˆmina cuja func¸a˜o densidade e´ ρ(x, y) =
√
x onde, D e´ a regia˜o
do plano delimitada pelas para´bolas y = x2 e x = y2.
(c) Generalize a definic¸a˜o de centro de massa para regio˜es D ⊂ R3.
(6) Decida se e´ melhor utilizar coordenadas cilindricas ou esfe´ricas para calcular a integral em cada um
casos abaixo.
(a)
∫∫∫
E
1
(x2 + y2 + z2)1/2
dV , onde E e´ a regia˜o delimitada pelas eferas centradas na origem e de
. raios r e R, com 0 < r < R.
(b)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2 + y2 dzdydx.
(c)
∫ a
−a
∫ √a2−y2
−
√
a2−y2
∫ √a2−x2−y2
−
√
a2−x2−y2
x2z + y2z + z3 dzdxdy.
(d)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
0
∫ √4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
x2
√
x2 + y2 + z2 dzdydx.
(e)
∫ √3
−√3
∫ √3−x2
−
√
3−x2
∫ 3
√
3x2+3y2
x2 + y2 dzdydx.
(f)
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
∫ √2−x2−y2
√
x2+y2
xy dzdydx.
∗(7) Determine a regia˜o E para a qual a integral tripla∫∫∫
1− x2 − y2 − z2 dV
e´ ma´xima. Calcule o valor desta da integral.
(8) Calcule o volume do so´lido E em cada um dos casos a sequir.
(a) E e´ limitado pelos parabolo´ides z = 3x2 + 3y2 e z = 4− x2 − y2.
(b) E e´ limitado pelos planos z = x, y = x x+ y = 2 e z = 0.
(c) E e´ limitado pelo cilindro y2 + z2 = 4 e pelos planos x = 2y, x = 0, z = 0 no primeiro octante.
(d) E e´ limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 2.
(e) E e´ a regia˜o exterior a` esfera x2+y2+z2 = r2 e interior a` esfera x2+y2+z2 = R2 onde 0 < r < R.
3
(9) Determine a imagem do conjunto S pela transformac¸a˜o T : R2 → R2 em cada um dos casos abaixo.
(a) S = {(u, v); 0 ≤ u ≤ 3, 0 ≤ v ≤ 2}, T (u, v) = (2u+ 3v, u− v).
(b) S e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 1) e (0, 1), T (u, v) = (u2, v).
(c) S =
{
(u, v);u2 + v2 ≤ 1}, T (u, v) = (au, bv).
(10) Utilize a mudanc¸a de coordenadas T : R2 → R2 para calcular a integral.
(a)
∫∫
R
x− 3y dA onde R e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (2, 1) e (1, 2),
. T (u, v) = (2u+ v, u+ 2v).
(b)
∫∫
R
x2 dA onde R e´ a regia˜o limitada pela el´ıpse 9x2 + 4y2 = 36, T (u, v) = (2u, 3v).
(c)
∫∫
R
x2 − xy + y2 dA onde R e´ a regia˜o limitada pela el´ıpse x2 − xy + y2 = 2,
. T (u, v) = (
√
2u−√2/3v,√2u+√2/3v).
(d)
∫∫
R
xy dA onde R e´ a regia˜o do primeiro quadrante limitada pelas retas y = x e y = 3x e pelas
. hipe´rboles xy = 1 e xy = 3, T (u, v) = (u/v, v).
∗(11) Seja f : [0, 1]→ R uma func¸a˜o cont´ınua e R a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1). Mostre
que ∫∫
R
f(x+ y) dA =
∫ 1
0
uf(u) du.
(Dica: Utilize uma mudanc¸a de coordendas tal que x + y = u.)
CAL4 2015.2 AV1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Avaliac¸a˜o 1
Data: 18/02/2016 In´ıcio: 17:10hs/ Te´rmino: 18:50hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
1
2
3
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (6,0 pts) Calcule as integrais a seguir.
(a)
∫ 1
0
∫ 1
−2x
∫ x+y
0
2x dzdydx.
(b)
∫∫
R
arctg
( y
x
)
dA, onde R =
{
(x, y); 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}.
(c)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
0
∫ √4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
x2
√
x2 + y2 + z2 dzdydx.
(2) (2,0 pts) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o correspondente a integral∫ √3
−√3
∫ √3−x2
−
√
3−x2
∫ 3
√
3x2+3y2
x2 + y2 dzdydx.
Em seguida, calcule a integral.
(3) (2,0 pt) Determine o volume do so´lido limitado pelas superf´ıcies
z =
√
x2 + y2 e 3x2 + 3y2 + z = 4.
CAL4 2015.2 AV2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Avaliac¸a˜o 2
Data: 17/03/2016 In´ıcio: 17:10hs/ Te´rmino: 18:50hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
1
2
3
4
5
Nota
Aluno(a): Curso:
ATENC¸A˜O: Assinale QUATRO questo˜es para serem corrigidas:
( )Q1 ( )Q2 ( )Q3 ( )Q4 ( )Q5
(1) (3,0 pts) Sejam R ⊂ R2 o triaˆngulo no plano xy de ve´rtices (0, 0), (2, 1) e (1, 2) e T : R2 → R2 a aplicac¸a˜o
T (u, v) = (x(u, v), x(u, v)) = (2u+ v, u+ 2v).
(a) Determine e esboce o conjunto S, do plano uv, que e´ levado pela aplicac¸a˜o T no conjunto R.
(b) Obtenha a matriz Jacobiana de T .
(c) Calcule
∫∫
R
x− 3y dA utilizando a mudanc¸a de varia´veis T .
(2) (2,0 pts) Calcule.
(a)
∫
C
y2 dx+ x xdy, onde C e´ o segmento de reta ligando os pontos (−5, 3) a (0, 2).
(b)
∫
C
F · dα, onde F (x, y, z) = (x, y,−xy) e α(t) = (cos t, sent, t), 0 ≤ t ≤ pi.
(3) (2,0 pt) Considere o campo F (x, y, z) = (y2, 2xy + e3z, 3ye3z).
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Encontre a func¸a˜o potencial de F .
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (etsent, t , t+ 3pi cos t), 0 ≤ t ≤ 3pi.
(4) (3,0 pt) Considere o campo F (x, y) =
( −y
x2
+ y2
,
x
x2 + y2
)
. Mostre que
∮
C
F · dα = 2pi para todo caminho
fechado e simples que circunde a origem.
(5) (1,0 pt) Existe algum campo vetorial G em R3 tal que rot G = (xy2, yz2, zx2)?
CAL4 2015.2 AV3.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Avaliac¸a˜o 3
Data: 30/04/2016 In´ıcio: 08:00hs/ Te´rmino: 11:00hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
1
2
3
4
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (3,0 pts) Determine uma representac¸a˜o parame´trica para cada uma das superf´ıcies descritas a seguir.
(a) Plano que passa pelo ponto (1, 2,−3) e conte´m os vetores (1, 1,−1) e (1,−1, 1).
(b) Parte do parabolo´ide x = y2 + z2 que esta´ dentro do cicindro y2 + z2 = 9.
(2) (2,0 pts) Obtenha os itens abaixo.
(a) Calcule a a´rea da superf´ıcie descrita na questa˜o 1, letra b.
(b) Suponha que f(x, y, z) = g
(√
x2 + y2 + z2
)
, onde g e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel tal que g(2) = −5.
Calcule
∫∫
S
f(x, y, z) dS, onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 4.
(3) (2,5 pt) Uma part´ıcula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1, 0, 0), (1, 2, 1), (0, 2, 1) e
volta para a origem sob a influeˆncia do campo
F (x, y, z) = (z2, 2xy, 4y2).
Utilize o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado.
(4) (2,5 pt) Utilize o teorema do divergente para calcular o fluxo de F (x, y, z) = (x4,−x3z2, 4xy2z) atrave´s da
superf´ıcie do so´lidido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos planos z = x + 2 e z = 0.
CAL4 2015.2 FINAL.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Final
Data: 18/12/2015 In´ıcio: 7:30hs/ Te´rmino: 10:00hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
1
2
3
4
5
6
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (2,0 pts)
(a) Calcule
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
sen(x2 + y2) dydx.
(b) Determine o volume da porc¸a˜o do so´lido que se encontra no primeiro octante e e´ limitado pelo paraboloide
y = x2 + z2 e pelo plano y = 9.
(2) (2,0 pts) Considere o campo F (x, y, z) = (2xy, x2 + zeyz, 1 + yeyz).
(a) Obtenha o rotF .
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo F para mover uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (2t− 1, cos(2pit), tsen(pit)), −1 ≤ t ≤ 1.
(3) (1,0 pt) Determine uma representac¸a˜o parame´trica para o plano que passa pelo ponto A = (0,−1, 5) e e´ paralelo
aos vetores v1 = (2, 1, 4) e v2 = (−3, 2, 5).
(4) (2,0 pts) Use o Teorema de Stokes para calcular
∫
C
F · dα, onde F = (x, y, z) = (1, x+yz, xy−√z) e C e´ o limte
da parte do plano 3x+ 2y + z = 1 no primeiro quadrante.
(5) (2,0 pts) Use o Teorema do Divergente para calcular o fluxo do campo
F (x, y, z) = (xy, xy2z3,−yez)
atrave´s da superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 3, y = 2 e z = 1.
(6) (1,0 pt) Resolva o problema de valor inicial.
9y′′ + y = 3x+ e−x y(0) = 1, y′(0) = 2.
CAL4 2015.2 REAV AB1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Reavaliac¸a˜o AB1
Data: 19/05/2016 In´ıcio: 17:10hs/ Te´rmino: 18:50hs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
1
2
3
4
Nota
Aluno(a): Curso:
(1) (3,0 pts) Calcule as integrais a seguir.
(a)
∫ 1
0
∫ 1
√
y
yex
2
x3
dxdy. (Dica: Inverta a ordem de integrac¸a˜o)
(b)
∫∫∫
E
1
(x2 + y2 + z2)1/2
dV , onde E e´ a regia˜o delimitada pelas eferas centradas na origem e de
. raios r e R, com 0 < r < R.
(2) (2,0 pts) Determine a a´rea da regia˜o delimitada pela curva
√
x+
√
y = 1 e pelos eixos coordenados, utilizando a
mudanc¸a de varia´veis
T (u, v) = (x(u, v), x(u, v)) = (u2, v2).
(3) (2,5 pts) Considere o campo F (x, y) = (4x3y2 − 2xy3, 2x4y − 3x2y2 + 4y3).
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Determine o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (t+ sen(pit), 2t+ cos(pit)), 0 ≤ t ≤ 1.
(4) (2,5 pts) Obtenha os itens a seguir.
(a) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
√
1 + x3 dx+ 2xy dy,
onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 3).
(b) Determine o rotacional e a divergeˆncia do campo F (x, y, z) =
(
cos(1− y2), xz, ln
(
x√
1 + z2
))
.
Cronograma de Cálculo 4 2016.1.pdf
Cronograma de Cálculo 4 - 2016.1
Prof. Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Data ATIVIDADE
01/jul Integrais Duplas
08/jul idem
15/jul Integrais Triplas
22/jul Integrais Triplas em coordenadas cilíndricas e eféricas
29/jul Mudança de Variáveis
06/ago AVALIAÇÃO 1 (SÁBADO das 08:00 às 11:00)
Data ATIVIDADE
05/ago Campus Vetoriais / Integrais de Linha (primeira parte)
12/ago Integrais de Linha (2ª parte) / Teo. Fund. das Int. de Linha
19/ago Teorema de Green / Rotacional e Divergente 
26/ago idem
02/set AVALIAÇÃO 2
Data ATIVIDADE
09/set Superfícies Parametrizadas / Integrais de Superfícies (1ª parte)
16/set Dia da Emancipação Política de Alagoas (FERIADO TOTAL / Sexta-feira)
23/set Integrais de Superfícies (2ª parte) 
30/set Teorema de Stokes / O Teorema do Divergente
07/out AVALIAÇÃO 3
Data ATIVIDADE
07/out
Disponibilização da Lista de exercícios. 
Assunto: 
Equações Lineares de Segunda Ordem; 
Equações Lineares não Homogêneas.
12/out Prazo final para entrega das equipes (QUARTA-FEIRA)
14/out Seminário
Data ATIVIDADE
21/out REAVALIAÇÃO
28/out Dia do Funcionário Público (FERIADO TOTAL / Sexta-feira).
04/out FINAL
Livro Texto: STEWART, J.; Calculo Vol. 2, Cengage Learning
CAL 4 Lista 2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Dois
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questo˜es marcadas com ? sa˜o complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questo˜es marcadas com ∗ sa˜o questo˜es com grau de dificuldade maior.
(1) Determine o campo vetorial gradiente ∇f e esboce-o.
(a) f(x, y) = x2 − y.
(b) f(x, y) =
√
x2 + y2.
(2) Responda.
(a) Existe algum campo vetorial G em R3 tal que rot G = (xy2, yz2, zx2)?
(b) Existe algum campo vetorial G em R3 tal que rot G = (x, y, z)?
(c) Se F e G sa˜o campos vetoriais, rot(F +G) = rot(F ) + rot(G)?
(d) Se F e´ um campo vetorial enta˜o rotF e´ um campo vetorial?
(e) Se F e´ um campo vetorial enta˜o divF e´ um campo vetorial?
∗(3) Demonstre as seguintes identidades.
(a) ∇(F ·G) = (F · ∇)G+ (G · ∇)F + F × rot G+G× rot F .
(b) rot (F ×G) = F div G−G div F + (G · ∇)F − (F · ∇)G.
.
(
Notac¸a˜o: Sendo F = P~i+Q~j +R~k, F · ∇ = P ∂
∂x
+Q ∂
∂y
+R ∂
∂z
)
(4) Calcule.
(a)
∫
C
y2 dx+ x xdy, onde C e´ o segmento de reta ligando os pontos (−5, 3) a (0, 2).
(b)
∫
C
F · dα, onde F (x, y, z) = (x, y,−xy) e α(t) = (cos t, sent, t), 0 ≤ t ≤ pi.
(5) Considerando o campo F : R3 → R3, F (x, y, z) = (yz, xz, xy + 2z), obtenha os itens a seguir.
(a) O campo rotacional de F .
(b) A func¸a˜o potencial de F .
(c) A integral de linha de F ao longo da he´lice α(t) = (cos t, sen t, t), −pi ≤ t ≤ pi.
(6) Considere o campo F (x, y, z) = (y2, 2xy + e3z, 3ye3z).
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Encontre a func¸a˜o potencial de F .
(c) Calcule o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (etsent, t , t+ 3pi cos t), 0 ≤ t ≤ 3pi.
(7) Considere o campo F (x, y) = (4x3y2 − 2xy3, 2x4y − 3x2y2 + 4y3).
(a) Mostre que o campo e´ conservativo.
(b) Encontre a func¸a˜o potencial de F .
(c) Determine o trabalho realizado pelo campo F para deslocar uma part´ıcula ao longo da curva
α(t) = (t+ sen(pit), 2t+ cos(pit)), 0 ≤ t ≤ 1.
(8) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
√
1 + x3 dx+ 2xy dy,
onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 3).
(9) Utilize o teorema de Green para calcular∫
C
x2y dx− xy2 dy,
onde C e´ o circulo x2 + y2 = 4 orientado no sentido anti-hora´rio.
∗(10) Considere o campo F (x, y) =
( −y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
. Mostre que
∮
C
F · dα = 2pi para todo caminho
fechado e simples que circunde a origem.
?(11) Suponha que a func¸a˜o ρ(x, y) represente a densidade linear em um ponto (x, y) de um fio fino com
forma de curva C ⊂ R2. A massa do fio e´ definida por
m =
∫
C
ρ(x, y) ds,
enquanto que o centro de massa do fio e´ o ponto (x¯, y¯) cujas coordenadas sa˜o
x¯ =
1
m
∫
C
xρ(x, y) ds e y¯ =
1
m
∫
C
yρ(x, y) ds.
(a) Um arame fino e´ entortado no formato da semicircunfereˆncia x2 + y2 = 4, x ≥ 0. Se a densidade
linear for uma constante k, determine o centro de massa do arame.
(b) Um arame fino tem a forma da parte que esta´ no primeiro quadrante de uma circunfereˆncia
centrada na origem e raio a. Determine o centro de massa do arame sabendo que sua densidade
linear e´ ρ(x, y) = kxyuma
(c) Generalize a definic¸a˜o de centro de massa para uma curva C localizada no espac¸o e com func¸a˜o
densidade linear ρ(x, y, z).
(d) Determine o centro de massa de um arame com formato da he´lice α(t) = (2 cos t, 2sen t, 3t),
0 ≤ t ≤ 2pi, sabendo que a densidadde em qualquer ponto e´ o quadrado da distaˆncia deste ponto
a` origem.
∗(12) Encontre uma curva fechada simples C para a qual o valor da integral de linha∫
C
(y3 − y) dx − 2x3 dy
e´ ma´xima.
CAL 4 Lista 3.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
Ca´lculo 4: Lista de Exerc´ıcios Treˆs
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
Questo˜es marcadas com ? sa˜o complementares ao assunto visto em sala de aula.
Questo˜es marcadas com ∗ sa˜o questo˜es com grau de dificuldade maior.
(1) Determine uma representac¸a˜o parame´trica para cada uma das superf´ıcies descritas abaixo.
(a) Parte do plano z = x+ 3 que esta´ dentro do cilindro x2 + y2 = 1.
(b) Parte do cilindro y2 + z2 = 16 que se encontra entre os planos x = 0 e x = 5.
(c) Plano que passa pelo ponto (1, 2,−3) e conte´m os vetores (1, 1,−1) e (1,−1, 1).
(d) Parte do parabolo´ide x = y2 + z2 que esta´ dentro do cilindro y2 + z2 = 9.
(e) Gra´fico da func¸a˜o f : D ⊂ R2 → R, f(x, y) = y3 + lnx, onde D e´ o triaˆngulo delimitado pela reta
2x+ y = 3 e pelos eixos coordenados.
(f) Superf´ıcie obtida ao rotacionarmos a curva y = 2 + cosx, x ∈ [−pi, pi], ao redor do eixo-x.
(g) Parte da superf´ıcie do item anterior que esta´ contida na regia˜o E =
{
(x, y, z) ∈ R3, 0 ≤ y, y ≤ z ≤ √3y
}
.
(2) Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie parametrizada dada no ponto especificado.
(a) α(u, v) = (u2 + 1, v3 + 1, u+ v), (2, 3, 0).
(b) α(u, v) = (v2,−uv, u2), 0 ≤ u ≤ 3, −3 ≤ v ≤ 3, (4,−2, 1).
(c) A superf´ıcie e´ a Faixa de Mo¨bius (veja questa˜o 3c) e o ponto e´
(
−2, 0,−1
4
)
.
(3) (a) Determine a a´rea da superf´ıcie z = x2 + 2y que esta´ acima do triaˆngulo com ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (1, 2).
?(b) A superf´ıcie com parametrizac¸a˜o
α(u, v) = (u cos v, usenv, v) , (u, v) ∈ [0, 1]× [0, pi]
e´ chamada de helicoide. Esboce a superf´ıcie e, em seguida, calcule sua a´rea.
?(c) A superf´ıcie com parametrizac¸a˜o
α(r, θ) =
(
2 cos θ + r cos
(
θ
2
)
, 2senθ + r cos
(
θ
2
)
, rsen
(
θ
2
))
,
onde −1
2
≤ r ≤ 1
2
, 0 ≤ θ ≤ 2pi, e´ chamada de Faixa de Mo¨bius. Calcule sua a´rea.
∗(d) Determine a a´rea da superf´ıcie obtida da intersec¸a˜o dos cilindros y2 + z2 = 1 e x2 + z2 = 1.
∗(e) Se a equac¸a˜o de uma superf´ıcie S e´ z = f(x, y), onde x2 + y2 ≤ R2, e sabemos que |fx| ≤ 1 e |fy | ≤ 1 o
que podemos dizer sobre a a´rea de S?
(4) Sem usar o teorema de Stokes, obtenha o que se pede em cada um dos itens a seguir.
(a)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
− x,−y, z3
)
, S e´ a parte do cone z =
√
x2 + y2 que esta´ entre os planos
z = 1 e z = 3 com orientac¸a˜o descendente.
(b)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
zexy ,−3zexy , xy
)
, S e´ o paralelogramo com parametrizac¸a˜o
α(u, v) = (u+ v, u− v, 1 + 2u+ v), 0 ≤ u ≤ 2, 0 ≤ v ≤ 1.
(c) Calcule
∫∫
S
√
1 + x2 + y2 dS, onde S e´ o helico´ide (veja questa˜o 3b).
(5) Sem usar o teorema do divergente, obtenha o que se pede em cada um dos itens a seguir. Considere a orientac¸a˜o
positiva (para fora).
(a) Calcule o fluxo do campo F (x, y, z) = (x3 + y3, y3 + z3, z3 + x3) atrave´s da esfera centrada na origem e de
raio 2.
(b) Calcule
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) = (x2yz, xy2z, xyz2) e S e´ a superf´ıcie da caixa delimitada pelos planos
x = 0, x = a, y = 0, y = b, z = 0, z = c, onde a, b e c sa˜o nu´meros positivos.
(c) Suponha que f(x, y, z) = g
(√
x2 + y2 + z2
)
, onde g e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel tal que g(2) = −5.
Calcule
∫∫
S
f(x, y, z) dS, onde S e´ a esfera x2 + y2 + z2 = 4.
(d)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
0, y,−z
)
, S e´ formada pelo parabolo´ide y = x2 + z2, 0 ≤ y ≤ 1, e pelo
disco x2 + z2 ≤ 1, y = 1.
(e)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
x2, y2, z2
)
, S e´ o limite do semicilindro so´lido 0 ≤ z ≤
√
1− y2, 0 ≤ x ≤ 2.
(f)
∫∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) =
(
y, z−y, x
)
, S e´ a superf´ıcie do tetraedro com ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)
e (0, 0, 1).
(6) Use o teorema de Stokes para resolver as questo˜es a seguir.
(a)
∫∫
S
rotF · dS onde F (x, y, z) = (2y cos z, exsen z, xey) e S e´ o hemisfe´rio x2+y2+z2, z ≥ 0, com orientac¸a˜o
para cima.
(b)
∫∫
S
rotF · dS, onde F = (x, y, z) = (x2yz, yz2, z3exy), S e´ parte da esfera x2 + y2 + z2 = 5 que esta´ acima
do plano z = 1 e S tem orientac¸a˜o ascendente.
(c)
∫
C
F · dα, onde F = (yz, 2xz, exy) e C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 16, z = 5, orientado no sentido anti-hora´rio,
quando visto de cima.
(d)
∫
C
F · dα, onde F = (x, y, z) = (1, x + yz, xy − √z) e C e´ o limte da parte do plano 3x + 2y + z = 1 no
primeiro octante.
∗(e)
∫
C
F · dα, onde F = (x, y, z) = (y+senx, z2+cos y, x3) e C e´ a curva α(t) = (sen t, cos t, sen2t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
(7) Use o teorema do divergente para resolver as questo˜es a seguir.
(a) O fluxo de F (x, y, z) = (x4,−x3z2, 4xy2z) atrave´s da superf´ıcie do so´lidido delimitado pelo cilindro x2 +
y2 = 1 e pelos planos z = x+ 2 e z = 0.
(b) O fluxo do campo
F (x, y, z) =
x i+ y j+ z k
(x2 + y2 + z2)
3
2
atrave´s do elipso´ide 4x2 + 9y2 + 6z2 = 36, orientado positivamente.
(c)
∫
S
F · dS, onde F (x, y, z) = (z2x, 1
3
y3 + tgz, x2z+ y2) e S e´ a metade superior da esfera x2 + y2 + z2 = 1.(
Dica: S na˜o e´ fechada. Chame de S0 o disco x
2 + y2 ≤ 1 e aplique o teorema a` S ∪ S0.
)