ondas electromagneticas

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Ondas Eletromagnéticas 
Física Geral F-428 
1 
2 
Radiação Eletromagnética 
& 
Ondas Eletromagnéticas 
 
3 
Veremos: 
• Radiação eletromagnética é uma forma de energia que se 
propaga no espaço, em meios materiais ou mesmo no 
vácuo; 
• No vácuo, ela se propaga na forma de ondas 
eletromagnéticas com uma velocidade bem definida, 
designada c , a velocidade da luz no vácuo; 
• Ela é emitida e absorvida por partículas com carga 
elétrica aceleradas; 
• Numa onda eletromagnética, temos o campo elétrico 
e o campo magnético que oscilam, e guardam uma 
relação fixa entre si; 
• e são perpendiculares entre si, e também 
perpendiculares à direção em que a onda se propaga. 
Ondas Eletromagnéticas: 
E

B

E

B

4 
• As duas últimas equações mostram que variações espaciais ou temporais do 
campo elétrico (magnético) implicam em variações espaciais ou temporais do 
campo magnético (elétrico). 5 
No vácuo!!!! 
Um pouco da história..... 
• Oersted mostrou que corrente elétrica produz 
campo magnético. 
• Faraday mostrou que campos magnéticos 
variáveis no tempo produzem campos elétricos. 
• Maxwell mostrou que campos elétricos variáveis 
no tempo produzem campos magnéticos 
variáveis no tempo (lei da indução de Maxwell). 
 
6 
trBtrE ,,

(reciprocidade) 
A equação de onda 
Utilizando as quatro equações de Maxwell e um pouco de álgebra 
vetorial, podemos obter as seguintes equações de onda com fontes 
 : 
0),(e0),( trJtr
7 
A equação de onda 
8 
Aqui u pode ser qualquer uma das componentes de E ou B: Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz. 
A equação de onda 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 = 8,85418 10
-12 C2/ N. m2 
 
 
0 = 4 10
-7 T.m/A 
 
Hoje: 
c = 299792458 m/s 
James Clerk Maxwell 1862 
“A velocidade das ondas transversais em nosso 
meio hipotético, calculada a partir dos 
experimentos eletromagnéticos dos Srs. 
Kolhrausch e Weber, concorda tão exatamente 
com a velocidade da luz, calculada pelos 
experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil 
evitar a inferência de que a luz consiste nas 
ondulações transversais do mesmo meio que é 
a causa dos fenômenos elétricos e magnéticos”. 
10 
O experimento de Hertz 
(1885-1889) 
11 
(Descoberta das ondas de rádio) 
A confirmação experimental veio 
com Heinrich Hertz 
12 
Ondas podem ser... 
• Unidimensionais; 
• Bidimensionais; 
• Tridimensionais; 
 
 Vamos começar simples.... 
com as unidimensionais 
13 
Uma brincadeira... peguemos uma função ... 
x 
14 
y=x2 y=(x-a)
2 
y 
y=(x-a)2= (x-vt)2 
x=0 x=a 
No caso de uma função oscilante... 
Podemos fazer a função se deslocar no sentido 
positivo ou negativo de x: 
 sen(kx - t) ou sen(kx + t) 
 
No nosso caso: 
15 
tkxsenBB
tkxsenEE
z
y
max
max
A equação de onda 
2
k
16 
(onda se propaga na direção x) 
Período: 
Freqüência: 
Comprimento 
de onda: 
Velocidade de 
uma onda: 
T
1
f
T
v f
k
Freqüência 
angular: 2 f
Número de 
onda: 2k
Ondas eletromagnéticas 
17 
Ondas eletromagnéticas 
(3ª Eq. de Maxwell) 
• Sejam: 
)sen(),(e)sen(),( tkxBtxBtkxEtxE mzmy
c
B
E
c
kB
E
z
y
m
m
Bz transverso à direção 
de propagação da onda: 
00
1
c
xˆ
zˆ
yˆ
18 
Usando a forma integral... 
19 
t
B
x
E
t
B
dx
dt
dB
dx
dt
dΦ
dx
x
E
tx,Etdx,xEd.
dt
dΦ
d.
B
B




xconst
sE
sE
E ainda... 
20 
t
E
x
B
t
E
dx
dt
dE
dx
dt
dΦ
dx
x
B
tdx,xBtx,Bd.
dt
dΦ
d.
E
E
00
00




xconst
sB
sB
cktkxEctxkEtxE 00y ;)sin()(sin),( 
Ondas eletromagnéticas planas 
21 
Os campos em um ponto distante P.... 
22 
Os campos no ponto distante P: 
23 
Ondas planas... 
• As expressões para Ey e Bz nos dão as 
componentes respectivas para cada x e cada t. 
• Agora os valores de Ey e Bz dependem apenas de x 
e não dependem das coordenadas y e z do ponto no 
espaço. Isso significa que todos os pontos com o 
mesmo x terão as mesmas componentes dos 
campos. 
• Portanto, em todos os pontos do plano que 
corresponde a um dado x, os campos serão iguais. 
24 
tkxsenBB
tkxsenEE
z
y
max
max
Para ajudar você a imaginar uma onda plana... 
25 
Uma pergunta.... 
• E se a propagação da onda fosse na 
direção y? 
• Se a propagação fosse na direção z? 
• Se a propagação fosse numa direção 
qualquer ? 
 
 
26 
Outra pergunta... 
• Por quê escolhemos a função seno? 
• Não poderíamos escolher a função 
cosseno? 
• E se a onda seguisse uma função mais 
complicada? 
27 
• Em geral, qualquer função periódica pode ser escrita como uma 
série (soma) possivelmente infinita de funções seno e cosseno: 
uma série de Fourier: 
Ex.: Onda quadrada 
28 
Outro exemplo: 
29 
Por essa razão... 
• Já que as equações de onda são lineares 
nos campos (implicando que somas de 
soluções são solução), 
• E qualquer função periódica pode ser 
escrita como uma soma de funções senos 
e cossenos, 
• Então podemos simplificar e estudar 
apenas as soluções senoidais.. 
30 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia 
As densidades de energia elétrica e magnética 
2
0
0
2
2
2
1
2
),(como E
c
E
tru
c
E
B
B

0
2
2
0
2
),(e
2
1
),(
B
truEtru
BE

A densidade total de energia armazenada no campo de radiação 
2
0
),(),(),( Etrutrutru
BE

00
1
c
31 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia 
x
z
y
k

0
E

0
B

danad ˆ

tc
U
Definindo 
BES

0
1
0
E

0
B

S

|| SI

S
 (vetor de Poynting) : 
A
danS
dt
dU
P ˆ

IBE 0||
 ta
U
I
Potência transmitida: 
32 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia 
Como )(sin),( 22
0
2 trkEtrE

A média temporal da densidade de energia é dada por 
2
00
2
1
0
22
00
2
0
2
1
)(sin
1
Edttrk
T
EEu
T
  

Intensidade da radiação: definida pela média 
2
00
2
1
Eccuc
V
U
ta
U
ta
U
I


x
z
y
kˆ
0
E

0
B

ad

tc
U
33 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia 
x
z
y
k

0
E

0
B

ad

tc
U
Como: 
ktrk
c
E
BE ˆ)(sin2
2
0 
2
000
2
0
2
1
2
|| Ec
c
E
BE

2
00
2
1
Ec
ta
U
I
IBE 0||

)sin(),( 0 trkEtrE

34 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de energia 
Se a potência fornecida pela fonte é Pf temos 
A
f
danSP ˆ

Emissão isotrópica: 
SrSnS ˆˆ

24 R
P
SI
f
Ondas eletromagnéticas esféricas 
SRPf
24
35 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear: Pressão de radiação 
x
z
y
k

0
E

0
B

dansd ˆ

tc
U
0
E

0
B

S

O mesmo elemento que transporta 
a energia também transporta o 
momento linear 
U
k
c
U
p ˆ

Densidade de momento linear ( ): 
k
c
S
k
c
u
V
p ˆ||ˆ
2

BE
c
S 


02p
cuIS

BES

0
1
p

36 
Momento linear transferido para um 
objeto em que incidea radiação 
k
c
U
p
a
ˆ
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear: Pressão de radiação 
k
c
U
p
r
ˆ2

no caso de absorção 
total da radiação 
no caso de reflexão 
total da radiação 
(colisão elástica) 
p

p

p

kˆ
Obs.: 
 ppppp otransferidrefletido

2)()(
k
c
U
p ˆ

37 
Ondas eletromagnéticas 
Transporte de momento linear : Pressão de radiação 
tIAU
c
I
A
F
essãoPr
c
IA
t
p
F aabs
a
a
Pressão de radiação 
na absorção total 
p

c
I
A
F
ressãoP
c
IA
t
p
F rref
r
r
22
Pressão de radiação 
na reflexão total 
p

p

k
c
U
p
a
ˆ k
c
U
p
r
ˆ2

38 
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação 
Polarização linear: 
Direção do campo elétrico ),( trE 
39 
Onda linearmente polarizada 
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação 
)sin(),(
0
trkEtrE

ytkzE
xtkzEtrE
ˆ)cos(
ˆ)sin(),(
0
0

Polarização linear Polarização circular 
2
0
22 ),(),( EtrEtrE yx

40 
41 
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação 
42 
Em uma onda não polarizada a 
direção instantânea do vetor 
polarização varia com o tempo. 
Pode-se produzir uma onda não-
polarizada superpondo duas 
ondas linearmente polarizadas em 
direções perpendiculares e com 
amplitudes variando 
aleatoriamente (ao acaso). 
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
ondas com E em diferentes direções, 
mas todas elas saindo do papel 
com a mesma amplitude; ou superpondo 
duas ondas polarizadas . 
43 
Polarização circular 
Ondas eletromagnéticas 
Polarização da radiação 
Polarização elíptica 
ytkzExtkzEtrE
yx ˆ)cos(ˆ)sin(),( 00

1
),(),(
2
0
2
2
0
2
y
y
x
x
E
trE
E
trE

x
E
y
E
44 
fios metálicos 
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores 
A luz polarizada em uma dada direção é absorvida pelo material 
usado na fabricação do polarizador. A intensidade da luz 
polarizada perpendicularmente a esta direção fica inalterada. 
Exemplo: 
http://www.colorado.edu/physics/2000/polarization/ 
 
eixo de polarização 
45 
46 
Você quer testar seus óculos de sol? 
 
As lentes contêm cristais longos, alinhados em uma direção, 
que absorvem luz que neles incide // à direção do 
alinhamento e deixa passar luz polarizada ao alinhamento. 
47 
Uma analogia mecânica 
48 
Ondas eletromagnéticas 
Ao invés de examinar o que está acontecendo 
microscopicamente com as moléculas do filtro 
ou material polarizador, vamos definir: 
 
eixo de polarização direção de 
polarização 
 
de modo que a componente do E // a essa 
direção é transmitida e a componente do E 
a essa direção é absorvida! 
49 
Exemplo: 
luz não-polarizada fica polarizada ao passar pelo polarizador: 
Apenas a componente da luz na direção de 
polarização do filtro consegue atravessá-lo: 
 I = ½ I0 
(regra da metade) 
Ondas eletromagnéticas não polarizadas 
Polarizadores 
ANTES: Intensidade da radiação incidente não-polarizada 
(ex.: luz natural) 
DEPOIS: Intensidade da 
radiação polarizada ao 
longo de : yˆ
2
0
0202
0
2
cos
2
cos
I
d
I
II
 
 
50 
51 
Outro exemplo: 
se a luz que incide 
no filtro já for polarizada: 
apenas a componente na direção de polarização (y) é transmitida! 
 
Considerando que Ey= E cos , a intensidade da luz transmitida será 
 
I = I0 cos
2 
(lei de Malus, ou do cosseno ao quadrado) 
z 
y 
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores 
Intensidade de uma componente 
da radiação incidente: 
)(
2
1
2
1 2
0
2
||00
2
000
EEcEcI
sin
cos
00
0||0
EE
EE
Intensidade da radiação 
polarizada ao longo de : 
2
0
cosII
yˆ
yExEE ˆˆ 0//00

eixo de 
polarização 
2
||00
2
1
EcI
52 
Visualização através de um polarizador: 
Ondas eletromagnéticas 
Polarizadores 
53 
54 
Resumo da aula 
• Ondas eletromagnéticas consistem de campos 
elétricos e magnéticos oscilantes; 
• Os campos variáveis criam um ao outro 
reciprocamente, mantendo a propagação da onda 
autossustentável: um E variável cria B e um B 
variável cria um E; 
• E e B são perpendiculares à direção de 
propagação da onda (ondas transversais) e E é 
perpendicular a B; 
• Ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo 
com velocidade c. 
55 c = 299 792 458 m/s (exato)! 
Resumo da aula 
• A direção de E B dá a direção de propagação 
da onda (lembre da regra da mão direita!); 
• Ondas eletromagnéticas transportam energia (S) 
e momento p (e, portanto, exercem pressão P); 
• Ondas eletromagnéticas podem ser polarizadas 
(linear, circular, elíptica) ou não-polarizadas; 
• Certos materiais polarizadores deixam passar 
apenas a componente do campo elétrico 
paralela ao eixo de polarização. 
56 
Ondas eletromagnéticas 
Problema 1 (Cap.33; Ex.4) 
 
Um certo laser de hélio-neônio emite luz 
vermelha em uma faixa estreita de comprimentos 
de onda em torno de 632,8 nm, com uma 
“largura”de 0,0100 nm. Qual é a “largura”, em 
unidades de frequência, da luz emitida? 
57 
Um certo laser de hélio-neônio emite luz vermelha em uma faixa estreita de 
comprimentos de onda em torno de 632,8 nm, com uma “largura”de 0,0100 
nm. Qual é a “largura”, em unidades de frequência, da luz emitida? 
nm)0050,08,632(
2
HzGHzm
m
sm
f 5,71075,01010
)108,632(
/103 1092
229
8
222
1 cf
c
f
c
d
df
c
c
f
!1074083,4
)108,632(
103 14
9
8
Hzfmas: 
Note que: 
f
ff
f
z
f
ff H10)004,0083,474(
2
12
58 
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma 
potência média de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção 
de 65,0 cm de comprimento está a 4,00 km do transmissor. 
Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal entre as 
extremidades da antena receptora. 
Ondas eletromagnéticas 
Problema 2 
59 
Uma estação de rádio AM transmite isotropicamente com uma potência média 
de 4,00 kW. Uma antena de dipolo de recepção de 65,0 cm de comprimento está 
a 4,00 km do transmissor. Calcule a amplitude da f.e.m. induzida por esse sinal 
entre as extremidades da antena receptora. 
kWP
d
P
ItkxEE
f
f
m
4
4
;)(sen
2
f 
d = 4 km 
E 
B 
x 
y 
L = 
0,65 m 
2/1
00
2
)()(...
c
P
d
L
LdEdydEmef
f
m
L
mL
mVV
mFsm
W
m
m
L 80080,0
)/1085,8()/103(2
104
104
65,0
2/1
128
3
3
;
2
)(
2
1
2/1
2
0
2
0
dc
P
dEEcI
f
mm mF /1085,8 120
60 
Problema 3 (Cap.33; Ex.16) 
Uma fonte pontual isotrópica emite luz com um comprimento de 
onda de 500 nm e uma potência de 200 W. Um detector de luz é 
posicionado a 400 m da fonte. Qual é a máxima taxa dB/dt com a 
qual a componente magnética da luz varia com o tempo na posição 
do detector? 
sT
t
B
max
/1044,3 6
c = 2,998 108 m/s 
Ondas eletromagnéticas 
Problema 4 (Cap.33; Ex.27) 
 
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg 
(incluindo um astronauta), está perdida no espaço, longe de 
qualquer campo gravitacional. Se o astronauta ligar um 
laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá 
após transcorrer um dia, por causa do momento linear 
associado à luz do laser? 
62 
Uma pequena espaçonave, cuja massa é 1,5 x 103 kg (incluindoum astronauta), 
está perdida no espaço, longe de qualquer campo gravitacional. Se o astronauta 
ligar um laser de 10 kW de potência, que velocidade a nave atingirá após 
transcorrer um dia, por causa do momento linear associado à luz do laser? 
m 
xvv ˆ

luzn pp

dt
dp
F
dt
pd
F luzn
n
n

mc
P
ama
c
P
Fn
x
c
U
pluz ˆ

c
P
dt
dU
dt
dpluz
c
1
attvvatvtv )(0se;)( 00
skgmkWP 86400606024dia1;1500;10
!/109,1
/1031500
8640010 3
8
4
sm
smkg
sW
t
mc
P
v
63 
Problema 5 (Cap.33; Ex.30) 
Pretende-se levitar uma pequena esfera, totalmente absorvente, 
0,500 m acima de uma fonte luminosa pontual e isotrópica fazendo 
com que a força para cima exercida pela radiação seja igual ao peso 
da esfera. A esfera tem 2,00 mm de raio e uma massa específica de 
19,0 g/cm3. (a) Qual deve ser a potência da fonte luminosa? (b) 
Mesmo que fosse possível construir uma fonte com essa potência, por 
que o equilíbrio da esfera seria instável? 
Ondas eletromagnéticas 
Problema 6 (Cap.33; Ex.37) 
 
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois 
filtros polarizadores. Em relação à direção de polarização 
da luz incidente, as direções de polarização dos filtros são 
 para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da 
intensidade incidente é transmitida pelo conjunto, quanto 
vale ? 
65 
Um feixe de luz polarizada passa por um conjunto de dois filtros polarizadores. Em 
relação à direção de polarização da luz incidente, as direções de polarização dos 
filtros são para o primeiro filtro e 90º para o segundo. Se 10% da intensidade 
incidente é transmitida pelo conjunto, quanto vale ? 
 90
0 I2 
I0 
I1 
E 
1,0
0
2
I
I
dado: 
1,0sencossen90sencos90coscos 22
22
0
2
I
I
)90(coscos)90(cos;cos 220
2
12
2
01 IIIII
2224 cos;01,001,0coscos xxx
2
775,01
2
4,011
x
4,703354,0cos1125,0
6,199421,0cos8875,0
22
11
66