Leis de Kirchhoff e Teorema da Superposição

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SÃO PAULO 
 
 
DANIEL RONEI DE SÁ – 1575031 
LEONARDO BAGGIO – 1572083 
MATHEUS BATISTA – 1575058 
 
 
 
 
LEIS DE KIRCHHOFF E TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO PAULO 
2° SEMESTRE 2016 
 
 
 
 
Relatório técnico apresentado como 
requisitoparcial para obtenção de aprovação na 
disciplinaT3LE1 – Laboratório de Eletricidade 1, 
no Curso de Engenharia Eletrônica, no Instituto 
Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de 
São Paulo. 
Prof. Me. Fulvio Bianco Prevot 
 
1. OBJETIVO 
 - Verificar experimentalmente as leis de Kirchhoff. 
 - Verificar experimentalmente o teorema da Superposição. 
2. INTRODUÇÃO TEÓRICA 
 Um circuito elétrico pode ser composto por várias malhas, constituídas por elementos 
que geram ou absorvem energia elétrica. Para calcular as tensões e correntes nesses elementos, 
necessitamos utilizar as leis de Kirchhoff, devido à complexidade do circuito. 
 Um circuito é composto por malhas, nós e ramos, definimos malha como sendo todo 
circuito fechado constituído por elementos elétricos. Denominamos nó um ponto de 
interligação de três ou mais componentes, e ramo, o trecho compreendido entre dois nós 
consecutivos. 
 
Figura 1 – Circuito elétrico 
 
 Percebe-se que o circuito é composto por três malhas, ABEF, BCDE e ABCDEF, sendo 
esta última denominada malha externa. Os pontos B e E formam dois nós, em que se interligam 
geradores e resistores, constituindo três ramos distintos: o ramo à esquerda composto por E6, 
R1, E1 e E2, o ramo central composto por E3 e R2 e o ramo à direita, composto por R5, E5, 
R4, E4 e R3. Sabendo disso, podemos enunciar as leis de Kirchhoff. 
 1ª Lei: Em um nó, a soma algébrica das correntes é nula. 
 
Figura 2 – Lei dos Nós 
 Para o nó A, consideraremos as correntes que chegam como positivas e as que saem 
como negativas, portanto podemos escrever: 
I1 + I2 – I3 + I4 – I5 – I6 = 0 ou I1 + I2 + I4 = I3 + I5 + I6 
 
 2ª Lei: Em uma malha, a soma algébrica das tensões é nula. 
 
Figura 3 – Lei das Malhas 
 Para a malha ABCD, partindo do ponto A no sentindo horário adotado, podemos 
escrever: 
- VR1 + E2 – VR2 – VR3 + E1 = 0 ou E1 +E2 = VR1 + VR2 + VR3 
Em que o sinal positivo representa um aumento de potencial e o sinal negativo uma perda de 
potencial, isto é, os resistores, ao serem percorridos pela corrente do circuito, imposta pelas 
baterias, apresentam queda de tensão contrária em relação ao sentido da corrente. 
 Já o teorema da superposição enuncia que a corrente que circula por um ramo de um 
circuito com várias fontes é igual à soma algébrica das correntes, considerando uma fonte de 
cada vez, curto-circuitando as demais. 
 Utilizando esta definição, podemos usar o teorema da superposição para calcular a 
corrente num ramo de um circuito qualquer, considerando os efeitos parciais produzidos por 
cada fonte nesse ramo. A vantagem mais evidente deste método é dispensar o uso de 
ferramentas matemáticas, como os determinantes, para calcular as tensões e correntes 
solicitadas. Em vez disso, o efeito de cada fonte é levado em conta separadamente e o valor da 
incógnita é obtido efetuando a soma algébrica desses efeitos individuais. O enunciado do 
teorema da superposição é o seguinte: 
 A corrente através de um elemento, ou a tensão entre seus terminais, em um circuito 
linear bilateral é igual á soma algébrica das correntes ou das tensões produzidas 
independentemente por cada uma das fontes. Quando se aplica o teorema, é possível considerar 
os efeitos de duas fontes ao mesmo tempo e reduzir o número de circuitos que têm de ser 
analisados. Para considerar os efeitos de cada fonte independentemente, é necessário que estas 
sejam removidas e substituídas sem afetar o resultado final. Para remover uma fonte de tensão 
quando aplicamos este teorema, a diferença de potencial entre os terminais da fonte de tensão 
tem de ser estabelecida em zero (curto-circuito); a remoção de uma fonte de corrente requer 
que os seus terminais sejam abertos (circuito aberto). Qualquer resistência ou condutância 
interna associada a essas fontes tem de ser mantida no circuito. 
 
Figura 4 – Remoção dos efeitos de fontes ideais 
 
 Temos também que a corrente total em qualquer parte do circuito é igual à soma 
algébrica das correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes. Ou seja, 
para um circuito com duas fontes, se a corrente produzida por uma fonte estiver num sentindo, 
enquanto a produzida pela outra fonte estiver sem sentido contrário no mesmo resistor, a 
intensidade da corrente resultante é dada pela diferença das correntes e seu sentido é o da 
corrente de maior intensidade. Se as correntes produzidas individualmente pelas duas fontes 
têm o mesmo sentido, a intensidade da corrente resultante é a soma da intensidade das duas 
correntes, sendo o sentido o mesmo das duas correntes. Essa regra também é válida para a 
tensão entre dois pontos de acordo com a polaridade e pode ser aplicada em circuitos com 
qualquer número de fontes. 
 Por último, é importante salientar que o princípio da superposição não pode ser usado 
para calcular a potência dissipada em um circuito, já que a dissipação de potência em um resistor 
varia com o quadrado da corrente ou da tensão, sendo, portanto, um efeito não-linear. 
 
 
 
 
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
3.1. Material Utilizado 
 01 Resistor 330Ω. 
 01 Resistor 470Ω. 
 01 Resistor 1kΩ. 
 Multímetro Digital. 
 Protoboard. 
 Fonte de Tensão CC Variável. 
 Cabos de Ligação. 
 
3.2. Procedimentos Experimentais 
O experimento foi dividido em duas partes, sendo a primeira utilizada para verificar as 
leis de Kirchhoff e a segunda para verificar o teorema da Superposição. 
A primeira etapa do experimento deu-se com a medição da resistência dos resistores que 
seriam utilizados durante o experimento. Utilizando os códigos de cores do fabricante dos 
resistores, foi possível identificar o valor da resistência nominal de cada um dos componentes, 
ambos resistores com tolerância de 5%, o valor foi preenchido na Tabela 1, em seguida foi 
medido o valor experimental das resistências, para essa etapa foi utilizado o ohmímetro, 
atentando-se a escala do equipamento para uma maior precisão do valor que estava sendo 
medido, o valor experimental foi preenchido na Tabela 1. 
Tabela 1 – Valores Nominais e Medidos da resistência dos Resistores. 
Resistores 𝐑𝟏 𝐑𝟐 𝐑𝟑 
Nominal [Ω] 330 470 1000 
Medido [Ω] 326,0 465,1 978,7 
 
 Com as medições realizadas, deu-se início a montagem do circuito que seria utilizado 
no experimento, vide figura 5, para a montagem foi utilizado duas fontes, sendo uma variável 
que foi ajustada para 10V com a ajuda de um voltímetro, e a outra de 6V montada a partir da 
ligação de 4 baterias de 1,5V em série. 
 
Figura 5 – Circuito utilizado no experimento. 
 Com a montagem realizada, foi verificado se todas as conexões e então o circuito foi 
ligado as fontes e então foi medido a tensão (d.d.p.) em cada resistor, conforme Tabela 2. Para 
encontrar os valores teóricos foi utilizado leis de Kirchhoff: 
−6 + 330I1 + 1000I3 = 0 → 330I1 + 0I2 + 1000I3 = 6 
−10 + 470I2 + 1000I3 = 0 → 0I1 + 470I2 + 1000I3 = 10 
I3 = I2 + I1 → 1I1 + 1I2 − 1I3 = 0 
 Resolvendo o sistema através de matriz 3x3 temos: 
Δ = 
330 0 1000
0 470 1000
1 1 −1
= −955100 
Δ1 = 
6 0 1000
10 470 1000
0 1 −1
= 1180 I1 =
Δ1
Δ
=
1180
−955100→ I1 = −1,235mA 
Δ2 = 
330 6 1000
0 10 1000
1 0 −1
= −7300 I2 =
Δ2
Δ
=
−7300
−955100
→ I2 = 7,643mA 
Δ3 = 
330 0 6
0 470 10
1 1 0
= −6120 I3 =
Δ3
Δ
=
−6120
−955100
→ I3 = 6,408mA 
 O sinal negativo encontrado representa que o sentido real da corrente é oposto ao 
representado na figura 5. Com os valores das correntes encontrado, foi possível calcular os 
valores das tensões nos resistores e a potência no R3: 
VR1 = R1 x I1 = 330 x 1,235m → VR1 = 0,407V 
VR2 = R2 x I2 = 470 x 7,643m → VR2 = 3,592V 
VR3 = R3 x I3 = 1000 x 6,408m → VR3 = 6,408V 
PR3 = V3 x I3 = 6,408 x 6,408m → PR3 = 41,057mW 
E1
6V 
E2
10V 
R1
330Ω
R2
470Ω
R3
1kΩ
A
B
I1 I2
I3
 Todos os resultados podem ser vistos na Tabela 2. 
Tabela 2 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência nos Resistores. 
 𝐕𝐑𝟏 (V) 𝐕𝐑𝟐 (V) 𝐕𝐑𝟑 (V) 𝐈𝟏 (mA) 𝐈𝟐 (mA) 𝐈𝟑 (mA) 𝐏𝐑𝟑 (mW) 
Valor 
Prático 
0,395 3,263 6,464 1,215 7,016 6,605 42,693 
Valor 
Teórico 
0,407 3,592 6,408 1,235 7,643 6,408 41,057 
 
 Para verificar o teorema da Superposição foi utilizado o mesmo circuito da figura 5, 
portanto os valores de encontrados para d.d.p, corrente e potência dissipada em R3 são os 
mesmo da primeira parte do experimento, conforme Tabela 3 
Tabela 3 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência no R3. 
Com as 2 fontes. 𝐕𝐑𝟑 (V) 𝐈𝟑 (mA) 𝐏𝐑𝟑 (mW) 
Valor Prático 6,464 6,605 42,693 
Valor Teórico 6,408 6,408 41,057 
 
 Obtido os valores sobre R3 com influência das duas fontes foi substituído a fonte E2 por 
um fio, conforme figura 6, de forma que possível obter os valores de d.d.p., corrente e potência 
sofrida apenas pela influência de E1 
 
Figura 6 – Circuito utilizando apenas E1. 
 Sabendo que R2 e R3 estão em paralelo, temos que: 
R2// R3 =
1000 x 470
1000+470
= 319,73Ω, logo para encontrar VR3, basta calcular: 
 VR3 =
R3//R2
R3//R2 +R1 
V =
319,73
319,73+330
6 VR3 = 2,952V, logo I3 =
VR3
R3
=
2,952
1000
 I3 = 2,952mA 
PR3 = VR3 x I3 = 2,952 x 2,952m PR3 = 8,714mW 
E1
6V 
R1
330Ω
R2
470Ω
R3
1kΩ
Todos os resultados teóricos e práticos sem a influência de E2 podem ser vistos na 
Tabela 4. 
Tabela 4 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência no R3 sem influência de E2. 
Somente com E1 𝐕𝐑𝟑 (V) 𝐈𝟑 (mA) 𝐏𝐑𝟑 (mW) 
Valor Prático 2,957 2,957 8,743 
Valor Teórico 2,952 2,952 8,714 
 
Com a Tabela 4 preenchida, foi reconectado a fonte E2 e substituído a fonte E1 por um fio, 
conforme figura 7, de forma que possível obter os valores de d.d.p., corrente e potência sofrida 
apenas pela influência de E2 
 
Figura 7 – Circuito utilizando apenas E2. 
 Sabendo que R1 e R3 estão em paralelo, temos que: 
R1// R3 =
1000 x 330
1000+330
= 248,12Ω, logo para encontrar VR3, basta calcular: 
 VR3 =
R3//R1
R3//R1 +R2 
V =
248,12
248,12+470
10 VR3 = 3,455V, logo I3 =
VR3
R3
=
3,455
1000
 I3 = 3,455mA 
PR3 = VR3 x I3 = 3,455 x 3,455m PR3 = 11,937mW 
Todos os resultados teóricos e práticos sem a influência de E2 podem ser vistos na 
Tabela 5. 
Tabela 5 – Valores teóricos e experimentais de d.d.p., corrente e potência no R3 sem influência de E1. 
Somente com E2 𝐕𝐑𝟑 (V) 𝐈𝟑 (mA) 𝐏𝐑𝟑 (mW) 
Valor Prático 3,488 3,488 12,166 
Valor Teórico 3,455 3,455 11,937 
 
 
R1
330Ω
R2
470Ω
R3
1kΩ
E2
10V 
4. RESULTADOS E CONCLUSÃO 
 Observando os resultados calculados e medidos referente à tensão e corrente no resistor 
𝑅3, confirmamos que tanto as leis de Kirchhoff quanto o teorema da superposição são 
verdadeiros, pois, os valores teóricos utilizando as leis de Kirchhoff corresponderam aos valores 
medidos para tensão e corrente, assim como os valores teóricos utilizando o teorema da 
superposição corresponderam aos valores medidos. Somados os valores considerando somente 
a fonte 𝐸1 com os valores obtidos considerando somente a fonte 𝐸2, obtemos os valores quando 
conectado ambas as fontes de tensão. 
 É admissível afirmar que os valores obtidos teoricamente correspondem aos valores 
experimentais por conta da margem de erro nos valores da resistência, equipamento de medição, 
ajuste da fonte de tensão variável e desgaste das baterias utilizadas no experimento. 
 O teorema da superposição não pode ser usado para calcular a potência dissipada em 
um circuito, pois a dissipação de potência em um resistor varia com o quadrado da corrente ou 
da tensão, sendo, portanto, um efeito não-linear. 
 As leis de Kirchhoff e o teorema da superposição são dois métodos essenciais para a 
análise de circuitos elétricos, pois proporcionam a compreensão do funcionamento de um 
determinado circuito elétrico e como determinar se o circuito está funcionando corretamente. 
 
 
 
5. BIBLIOGRAFIA 
ALBUQUERQUE, R. O. Análise de Circuitos em Corrente Contínua. 21.a Edição. São 
Paulo: Érica, 2009. 
CAPUANO, F.G; MARINO, M. A. A. Laboratório de Eletricidade e Eletrônica: Teoria e 
Prática. 17.a Edição. São Paulo: Érica, 2002. 
O’MALLEY, J. Análise de Circuitos. São Paulo: McGraw-Hill, 1983.