DISTÂNCIA FOCAL DE LENTE CONVERGENTE MÉTODO DOS PONTOS CONJUGADOS

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE FÍSICA 
LICENCIATURA EM FÍSICA 
ÓTICA 
 
 
 
 
 
CAMILA FERREIRA AGUIAR 
 
 
 
 
 
DISTÂNCIA FOCAL DE LENTE CONVERGENTE 
MÉTODO DOS PONTOS CONJUGADOS 
 
Trabalho apresentado à disciplina 
de Ótica, do 7º período do curso de 
licenciatura em física da 
Universidade Tecnológica Federal 
do Paraná. 
Prof: José Luis Fabris 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba 
2014 
 
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Sumário 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 3 
2. OBJETIVOS .................................................................................................................................... 4 
3. MATERIAIS .................................................................................................................................... 5 
4. MÉTODOS ..................................................................................................................................... 5 
5. TRATAMENTO DOS DADOS ........................................................................................................... 7 
5.1. TRATAMENTO ESTATÍSTICO ............................................................................................................... 7 
6. ANÁLISE DE DADOS ...................................................................................................................... 9 
6.1. MEDIDAS DE I E O ........................................................................................................................... 9 
6.2. INVERSO DE I E O, SUAS DERIVADAS, E GRÁFICO SEM BARRA DE ERROS ....................................................... 9 
6.3. INCERTEZAS ASSOCIADAS A I E O E GRÁFICOS COM BARRA DE ERROS ........................................................ 10 
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................................. 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. INTRODUÇÃO 
Dentre todas as aplicações da óptica geométrica, a que mais se destaca 
pelo seu uso no cotidiano é o estudo das lentes esféricas, seja em sofisticados 
equipamentos de pesquisa astronômica, ou em câmeras digitais comuns, seja 
em lentes de óculos ou lupas. 
Chamamos lente esférica o sistema óptico constituído de três meios 
homogêneos e transparentes, sendo que as fronteiras entre cada par sejam 
duas superfícies esféricas ou uma superfície esférica e uma superfície plana, 
as quais chamamos faces da lente. 
Para um estudo simples consideraremos que o segundo meio é a lente 
propriamente dita, e que o primeiro e terceiro meios são exatamente iguais, 
normalmente a lente de vidro imersa em ar. 
As lentes esféricas podem ser classificadas em: Lentes de bordos 
delgados, convexas ou convergentes, nas quais a luz sofrerá uma 
convergência de seus raios, e Lentes de bordos espessos, côncavas ou 
divergentes, nas quais a luz sofre um fenômeno de divergência. A Figura 1 traz 
as representações para cada tipo de lente. 
 
4 
 
 Figura 1: Lentes e suas especificações 
As lentes delgadas obedecem à Equação dos Pontos Conjugados (1). 
A distância focal (f) é positiva para lente convergente e negativa para lente 
divergente, à distância do objeto (o) é positiva para objetos à esquerda e 
negativa para objetos à direita da lente, já a distância da imagem (i) é positiva 
para imagens formadas à direita e negativa para imagens formadas à esquerda 
da lente. Diz-se de um valor positivo real, e de um valor negativo virtual. Além 
disso, a ampliação (m) da imagem é descrita pelas Equações (2) e (3), onde 
um valor positivo significa imagem direita e negativo uma imagem invertida. 
 
 
Figura 2: Distância focal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. OBJETIVOS 
Determinação da distância focal de uma lente convergente utilizando o 
método dos pontos conjugados. 
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3. MATERIAIS 
 Lanterna 3 fachos Santana 
 Banco ótico linear 
 Painel ótico 
 Tripé universal 
 Lente plano convexa f=250 mm 
 Conjunto multi diafragmas 
 Folha de papel 
 Trena 
4. MÉTODOS 
O banco ótico foi posicionado sobre a bancada, em cima dele foi 
disposta a Lanterna 3 fachos, um conjunto multi diafragmas com apoio, e a 
lente plano convexa. A folha de papel foi colocada na lanterna para que 
houvesse um feixe de luz difuso e não precisasse calcular a distância de focal 
de duas lentes. A montagem segue abaixo: 
 
 
Figura 3: Montagem do banco ótico 
O tripé universal foi utilizado como anteparo da imagem, foi colocada 
uma folha para que ajudasse na visualização do foco. Foi disposto ao final do 
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banco óptico (fig. 4). 
 
Figura 4: Montagem do experimento 
Dispostos nessa ordem o experimento foi realizado. Para cada posição 
do diafragma manipulamos a lente e o anteparo para focalizar a imagem. 
Foram um total de cinco distâncias de i e o, e cada uma dessas distâncias foi 
medida dez vezes para o tratamento de erros. A fonte foi mantida fixa. 
As primeiras medições das distâncias para focalizar a imagem foram 
feitas por tentativa e erro, afastava ou aproximava a lente e o anteparo para 
conseguir a focalização. 
A seguir começamos a usar a Equação dos Pontos Conjugados para 
determinar uma das distâncias, i ou o. Tendo o valo do foco como 250mm 
(25cm), arbitramos um valor para o para definir o valor de i e a partir do 
resultado focalizar a imagem. 
Os valores obtidos para i e o foram colocados em uma planilha para 
análise posterior. 
 
7 
 
5. Tratamento dos dados 
5.1. Tratamento estatístico 
 
Com os valores de cada distância da fonte a lente, chamado de distância (o), e 
a distância da lente ao anteparo, distância (i), foram medidas 10 vezes, assim 
há a necessidade de fazer a média. 
 ̅ 
 
 
∑ 
 
 
 
“O valor médio e diferente do valor verdadeiro porem a incerteza associada 
com o valor médio e menor que a incerteza para cada um dos valores 
yi.”(Muller, 2012, p. 12). 
 
Para o desvio padrão que segue, o valor das médias é necessário: 
 √
 
 
∑ ̅ 
 
 
 
Em seguida e calculada a dispersão em torno do valor médio, levando em 
conta que cada medida foi realizada mais de uma vez, esse valor e dado pelo 
desvio padrão médio: 
 
 
√ 
 
Devido ao numero pequeno de medidas, e necessário aplicar o coeficiente T-
student para ajuste: 
 
 
√ 
 
 
O T-student utilizado foi 2,262, para 97,5%. 
O próximo passo e então estimar o erro sistemático que segundo Muller: 
 
O desvio associado aos erros sistemáticos e bem mais difícil de ser 
avaliado e não existe nenhum método padrão bem estabelecido para fazer 
isto. Portanto neste caso o bom senso do operador e fundamental uma vez 
que, por mais bem elaborada que seja a experiência, sempre haverá um 
erro sistemático residual. Geralmente o limite de erro Lr e estimado 
8 
 
verificando o manual fornecido pelo fabricante dos equipamentos 
empregados. (Muller, 2012, p. 13) 
 
O erro sistemático residual é dado pela seguinte equação: 
 
 
 √ 
 
Utilizaremos o desvio padrão residual e o desvio padrão médio para calcular a 
incerteza padrão associada a esses dois valores: 
 
 
 
 
Portanto temos a incerteza padrão tanto para i quanto para o. 
Chamando 
 
 
 e 
 
 
 teremos a incerteza propagada para x e para y, 
assim:Com 
 
 
 e 
 
 
 foi plotado o gráfico de x por y, sem a barra de erros 
para obter a inclinação (slope) . O slope (
 
 
) foi usado para rebater o erro de x 
para y. 
 
 
 
 
Agora é possível determinar o erro total em y, para plotar no gráfico, com a 
seguinte equação: 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
Plotado o gráfico com o erro acima obtém-se o gráfico com a barra de erros e o 
valor onde a reta intercepta o eixo y. 
A distância focal é obtida a partir desse valor da reta, que é dado por c: 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Esse valor de c dado pelo gráfico vem juntamente com o seu erro, que 
chamaremos de (desvio padrão do ponto c), então para propagar esse erro 
para utilizaremos a seguinte equação: 
 
 
 
 
Teremos Assim o erro associado à distância focal. 
6. Análise de dados 
6.1. Medidas de i e o 
A tabela a seguir, apresenta as medidas para as distâncias entre a fonte e a 
lente, chamado de o, e as distâncias da lente até o anteparo, chamado de i, 
bem como seu valor médio e seu valor inverso. 
 
o1(m) i1(m) o2(m) i2(mm) o3 (m) i3(m) o4 (m) i4 (m) o5 (m) i5 (m) 
 
0,42 0,617 0,339 0,944 0,378 0,744 0,446 0,563 0,502 0,497 
 
0,419 0,623 0,34 0,943 0,376 0,745 0,446 0,562 0,503 0,496 
 
0,419 0,62 0,34 0,943 0,377 0,743 0,445 0,562 0,502 0,497 
 
0,418 0,621 0,339 0,945 0,377 0,743 0,446 0,564 0,504 0,497 
 
0,418 0,622 0,339 0,946 0,378 0,744 0,445 0,563 0,503 0,498 
 
0,417 0,623 0,342 0,944 0,376 0,744 0,444 0,561 0,502 0,494 
 
0,416 0,62 0,341 0,945 0,375 0,743 0,449 0,562 0,503 0,495 
 
0,417 0,622 0,341 0,943 0,377 0,742 0,445 0,562 0,503 0,494 
 
0,417 0,619 0,342 0,943 0,375 0,744 0,446 0,563 0,502 0,496 
 
0,417 0,621 0,341 0,944 0,376 0,744 0,445 0,561 0,502 0,493 
média 0,4178 0,6208 0,3404 0,944 0,3765 0,7436 0,4457 0,5623 0,5026 0,4957 
1/média 2,393489708 1,610824742 2,93772 1,059322 2,656042 1,344809 2,243662 1,77841 1,989654 2,017349 
Tabela 1: Valores de o e i, média e valor inverso da média. 
 
 
6.2. Inverso de i e o, suas derivadas, e gráfico sem barra de erros 
A tabela 2 mostra o inverso das distâncias i e o, que será plotada no gráfico 1. 
 
 
 (x) Derivada 
 
 
 
 
 
 (y) Derivada 
 
 
 
2,937720329 8,63020073 1,059322034 1,12216317 
2,656042497 7,05456174 1,344809037 1,80851135 
10 
 
2,393489708 5,72879298 1,610824742 2,59475635 
2,243661656 5,03401763 1,778410101 3,16274249 
1,9896538 3,95872224 2,017349203 4,06969781 
Tabela 2: inverso e derivada de i e o 
 
Gráfico 1: Gráfico do inverso de i e o sem erros 
From x = 1,9896538 to x = 2,937720329 
B (y-intercept) = 4,04763162875665 +/- 0,028428802087809 
A (slope) = -1,01692843057316 +/- 0,0115282081018555 
-------------------------------------------------------------------------------------- 
Chi^2/doF = 7,14785690559439e-05 
R^2 = 0,999614613330941 
 
O valor do slope -1,01692843057316 será substituído no de 
acordo com a equação (12), que será visto na tabela 4. 
6.3. Incertezas associadas a i e o e gráficos com barra de erros 
A tabela 3 mostra as incertezas associadas a i e o , 
 (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) 
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0,000289 0,001229273 0,001873796 0,000879308 0,00134034 0,000925481 0,001371074 
0,000289 0,001173788 0,001054093 0,000839619 0,000754 0,000887859 0,000807372 
0,000289 0,001080123 0,000843274 0,00077262 0,0006032 0,000824788 0,000668718 
0,000289 0,001337494 0,000948683 0,000956719 0,0006786 0,000999322 0,000737449 
0,000289 0,000699206 0,001636392 0,000500147 0,001170523 0,000577478 0,001205594 
Tabela 3: Desvio residual, desvio padrão, desvio padrão médio e desvio padrão total de i e o 
 
A tabela 4 mostra a incerteza rebatida de x, o desvio de y e o desvio 
total, o último foi obtido pela equação (13). 
 (m) (m) (m) 
0,008122296 0,001538569 0,008266733 
0,006369485 0,001460141 0,006534704 
0,004805027 0,00173516 0,005108724 
0,005115764 0,002332362 0,005622362 
0,002324773 0,004906403 0,005429306 
Tabela 4: Desvio rebatido de x, desvio de y e desvio total 
 
From x = 1,9896538 to x = 2,937720329 
B (y-intercept) = 4,04763162875665 +/- 0,028428802087809 
A (slope) = -1,01692843057316 +/- 0,0115282081018555 
-------------------------------------------------------------------------------------- 
Chi^2/doF = 7,14785690559439e-05 
R^2 = 0,999614613330941 
 
A terceira coluna da tabela 4 é o erro associado em y que será plotada 
no gráfico 1. 
12 
 
 
 
Y standard errors: Associated dataset (Table1_3) 
From x = 1,9896538 to x = 2,937720329 
B (y-intercept) = 4,05395786114769 +/- 0,0222070699602181 
A (slope) = -1,01945604015259 +/- 0,00876396429986082 
-------------------------------------------------------------------------------------- 
Chi^2/doF = 1,55531849110537 
R^2 = 0,999655289072429 
O valor grifado em amarelo é o ponto onde a reta intercepta o eixo y, é c, 
e o seu erro definido pela equação 14, então temos a tabela 5: 
c 
 
 
 
Derivada 
 
 
 
 
4,053958 0,2467 0,060847332 0,02220707 0,001351241 
Tabela 5: Coeficiente linear, foco, derivada do foco, desvio padrão e desvio padrão final. 
 
Assim temos a distância focal: 
 
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7. Considerações finais 
O erro ao final não cobriu o valor da distância focal, embora tenha 
chegado bem próximo do valor do equipamento. 
O maior valor do T-student para N-1 ainda não cobre o erro. As 
medições podem carregar o erro pois era difícil de medir com a trena a 
distância da lente ao diafragma pelo modo que foi montado o experimento, pois 
para fazer uma medida exata teríamos que encostar na lente, o mesmo 
problema ocorreu da lente para o anteparo, pois como o centro da lente estava 
distante o erro de paralaxe deve ter sido grande, de modo que se o suporte da 
lente estivesse virado, as medições teriam valores melhores. 
O fato de orientarmos se está ou não focado há um erro também, pois 
poderia haver posições melhores para o foco e talvez não tenhamos 
conseguido chegar ao valor, esse erro não foi associado no tratamento de 
dados. 
O terceiro provável problema é a lanterna, mesmo que tenhamos usado 
a folha de papel para transformar numa fonte difusa, ainda poderia ter 
problemas nesse sentido. A folha que ficava na lanterna, por exemplo, por 
vezes ficava encurvada que, se em algum momento não foi percebido,, pode 
ter alterado a focalização no anteparo.