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Física C ( Eletromagnetismo ) . AULA 07 FLUXO ELÉTRICO Vimos anteriormente o conceito básico de campo elétrico e como cientistas vislumbraram este conceito, imaginando o campo elétrico como algo que emana radialmente da carga positiva e converge radialmente em direção à carga negativa. Agora, por analogia, podemos pensar sobre este algo como um “vento” que está atravessando uma janela. A quantidade de “ar” através desta janela depende da velocidade do ar (neste caso, análoga ao campo elétrico), da direção do “vento” e, também, da área da janela, que indicaremos por A . Observando essas quantidades é possível, então, definir o “fluxo de ar” que passa pela janela. No caso do campo elétrico, esse “vento” ou “fluxo de ar” recebe o nome de fluxo elétrico. Fluxo elétrico através de uma superfície. Pensando novamente sobre o “fluxo de ar”, quando este atravessa a janela o faz com um ângulo θ em relação à perpendicular. Dessa forma, a “área efetiva da janela” por onde passa o vento é dada por A cosθ . Analogamente, para o campo elétrico, é possível definir o fluxo elétrico Φ através de uma área como: Φ=E A cosθ (2.1) em que θ é o ângulo entre a direção do vetor campo elétrico e à reta normal a área. A Figura acima representa o fluxo elétrico passando por uma superfície com área A. Lembrando-se do conceito de produto escalar, podemos reescrever a Equação 2.1 como: Φ=E⃗ ∙ A⃗ (2.2) onde E⃗ é o campo elétrico e A⃗ é um vetor com módulo igual à área A e com direção perpendicular àquela área, ou seja, A⃗=A n^ , sendo que n^ é o vetor normal à superfície. ***Recorde-se de que falamos, na unidade anterior, que a intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade das linhas de campo. Agora você pode pensar no fluxo elétrico como o número de linhas de campo elétrico que cruzam a superfície. Quanto mais “Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 1 linhas, maior a intensidade do campo elétrico, maior o fluxo elétrico através de superfície em questão e vice-versa. Mas, de forma geral, nem sempre a superfície através da qual queremos estimar o fluxo elétrico é plana, como uma janela. Na maior parte das vezes nossa superfície é curva. Podemos imaginar, então, uma pequena área (infinitesimal) dessa superfície Δ A que será, por sua vez, plana. Assim, o elemento infinitesimal de fluxo elétrico através desta pequena área será: ΔΦ=E⃗ ∙ Δ A⃗ (2.2) e o fluxo elétrico total através da superfície será a soma de todas as contribuições de ΔΦ ’s ao longo da superfície curva. Ou seja, Φ≡ lim ΔA i→0 ∑ i E⃗∙ Δ A⃗ i=∮ E⃗ ∙ d A⃗ (2.3) Consideraremos o fluxo elétrico como positivo quando o campo elétrico aponta de dentro para fora da superfície e negativo quando o campo elétrico aponta de fora para dentro. CARGAS EM SUPERFÍCIES FECHADAS Podemos facilmente considerar uma situação em que a superfíce é fechada como, por exemplo, uma bola. Nesse caso, as linhas de campo elétrico entrariam e sairiam da superfície, dependendo do arranjo de cargas nas proximidades da superfície. Assim, teríamos que considerar um campo elétrico líquido E⃗n que representaria a diferença de linhas de campo saindo e entrando na superfície. Isto depende de como as cargas se localizam em relação à superfície considerada. Superfície esférica com carga positiva em seu interior. Considere o fluxo elétrico devido ao campo elétrico de uma carga positiva q no centro de uma superfície esférica de raio r , como mostrado na Figura acima. Das Equações 1.5 (Lei de Coulomb) e 1.7 (Campo Elétrico) sabemos que a magnitude do campo elétrico é: E=k q r2 . (2.4) Uma vez que a carga encontra-se no centro e as linhas de campo emanam radialmente dela, a magnitude do campo elétrico é constante para cada valor de r . Nesse caso, o fluxo devido à carga encerrada (interna) na superfície esférica é: “Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 2 Φe=∮ E⃗ ∙ d A⃗=En∮dA (2.5) onde En é a magnitude do campo elétrico perpendicular à superfície. Sendo a área da esfera 4 π r2 e combinando-se as Equações 2.4 e 2.5 chegamos a: Φe=E (4 π r 2 )=4 π r2k q r2 =4 πkq (2.6) Obs: A contante eletrostática é muitas vezes escrita como k=1/4 π ε0 , sendo ε0 a constante de permissividade do vácuo, que indica “quão permeável” é o meio (vácuo) ao campo elétrico. No SI, ε0=8.85×10 −12C2N−1m−2 ·, de acordo com o CODATA 2008. Isto significa que a Equação 2.6 pode ser escrita como: Φe=∮ E⃗ ∙ d A⃗= qe ε 0 (2.7) Que representa o fluxo elétrico através da superfície esférica devido à carga encerrada dentro da mesma. Uma generalização da Equação 2.7 é a chamada Lei de Gauss. LEI DE GAUSS A Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico líquido através de qualquer superfície fechada é igual à carga encerrada dentro da superfície dividida pela constante ε0 , ou seja, ∮ E⃗ ∙ d A⃗=qeε0 (2.8) Considere várias superficies diferentes S1 , S2 , S3 ,… envolvendo uma carga pontual, como mostra a Figura 2.3a. Lembre-se, nós podemos também pensar no fluxo elétrico como o número de linhas de campo elétrico atravessando a superfície. Fica claro, pela Figura 2.3a, que o número total de linhas que atravessa as superfícies é o mesmo. Ou seja, o fluxo através dessas superficies diferentes deve ser o mesmo, e tem que ser, uma vez que a carga encerrada em cada uma delas é a mesma. “Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 3 (a) (b) (a) Fluxo elétrico através de superfícies gaussianas. (b) Superfície gaussiana sem carga interna. Agora, considere o caso em que nenhuma carga é interna à superfície, como mostra a Figura b. O fluxo líquido, nesse caso, será nulo, ou seja, Φe=0 , pois as linhas de campo simplesmente atravessam a superfície (o mesmo número de linhas entra e sai da superfície). A Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para calcular o campo elétrico En . Às vezes, a parte complicada é escolher a superfície em que En pode ser fatorizado fora da integral, como na Equação 2.5. Também facilita se o campo elétrico é uniforme sobre toda ou parte da superfície. Apesar do conceito de campo elétrico parecer abstrato, ele é extremamente útil no entendimento de como as cargas elétricas interagem entre si. A importância do campo elétrico ficará mais clara na próxima subunidade, na qual falaremos do potencial elétrico. O campo elétrico em si é essencial no entendimento das ondas eletromagnéticas tão presentes no nosso dia a dia. “Nossa Missão é formar cidadãos compromissados com o avanço do conhecimento em benefício do desenvolvimento da realidade em que vivem e de futuras gerações.” Página 4
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