Aula 2 Conceitos Fundamentais

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Aula 2:
Conceitos Fundamentais
PROF. MSC. RAFAEL ARAÚJO GUILLOU
Traçado do Diagrama de Esforços
◦ Encontrando as Reações:
◦ Equilíbrio - Em qualquer ponto da barra:
◦ 𝐹𝑉 = 0;
◦ 𝐹𝐻 = 0 (Neste caso não se aplica);
◦ 𝑀𝑓 = 0
Traçado do Diagrama de Esforços
◦ Esforços normais e 
cortantes:
◦ Método Direto: Percorrendo de 
uma extremidade à outra.
◦ Por equações:
◦ A cada mudança de geometria ou 
carga, encontrar equações para os 
esforços. 
Traçado do Diagrama de Esforços
◦ Momento Fletor:
◦ Traçado do lado da fibra mais 
tracionada;
◦ Superposição de efeitos;
◦ Método Direto: Percorrendo de 
uma extremidade à outra.
◦ Por equações:
◦ A cada mudança de geometria ou 
carga, encontrar equações para os 
esforços. 
Traçado do Diagrama de Esforços
◦ Para pórticos segue o 
mesmo Raciocínio.
Graus de Liberdade por Tipo de Estrutura
Viga:
• Momento Fletor;
• Esforço Cortante.
Pórtico Plano:
• Momento Fletor;
• Esforço Cortante;
• Esforço axial.
Pórtico Espacial:
• Momento Fletor (x2);
• Momento Torçor;
• Esforço Cortante(x2);
• Esforço axial.
Grelha:
• Momento Fletor;
• Momento Torçor;
• Esforço Cortante.
Energia de Deformação
◦ Trabalho:
◦ 𝑊 = 𝐹. 𝑑
◦ Energia de Deformação Normal num Ponto:
◦ 𝑈0 =
1
2
𝜎𝑥 . ε𝑥 (Elemento Infinitesimal);
◦ Energia de Deformação em Pórticos Planos:
◦ 𝑈0 = 𝑈0
𝑎 + 𝑈0
𝑓 + 𝑈0
𝑐 (Elemento Infinitesimal)
Em que:
◦ 𝑈0
𝑎 =
1
2
𝜎𝑥
𝑎 . ε𝑥
𝑎 -> Energia de deformação por unidade de 
volume para efeito axial;
◦ 𝑈0
𝑓 =
1
2
𝜎𝑥
𝑓 . ε𝑥
𝑓
-> Energia de deformação por unidade de 
volume para efeito de flexão;
◦ 𝑈0
𝑐 =
1
2
𝜏𝑦
𝑐 . 𝛾𝑥𝑦
𝑐 -> Energia de deformação por unidade de 
volume para efeito cortante.
Energia de Deformação
◦ Energia de Deformação em Pórticos Planos:
◦ 𝑈 = 𝑉𝑈0 ∙ 𝑑𝑉 = 𝑉𝑈0
𝑎 ∙ 𝑑𝑉 + 𝑉𝑈0
𝑓
∙ 𝑑𝑉 + 𝑉𝑈0
𝑐 ∙ 𝑑𝑉 (Elemento de Volume)
◦ 𝑉𝑈0
𝑎 ∙ 𝑑𝑉 = 𝑙( 𝐴𝑈0
𝑎 ∙ 𝑑𝐴) ∙ 𝑑𝑥 =
1
2
 𝑁 ∙ 𝑑𝑢 =
1
2
 0
𝑙 𝑁2
𝐸𝐴
∙ 𝑑𝑥
◦ 𝑉𝑈0
𝑓
∙ 𝑑𝑉 = 𝑙( 𝐴𝑈0
𝑓
∙ 𝑑𝐴) ∙ 𝑑𝑥 =
1
2
 𝑀 ∙ 𝑑𝜃 =
1
2
 0
𝑙 𝑀2
𝐸𝐼
∙ 𝑑𝑥
◦ 𝑉𝑈0
𝑐 ∙ 𝑑𝑉 = 𝑙( 𝐴𝑈0
𝑐 ∙ 𝑑𝐴) ∙ 𝑑𝑥 =
1
2
 𝑄 ∙ 𝑑ℎ =
1
2
 0
𝑙
χ ∙
𝑄2
𝐺𝐴
∙ 𝑑𝑥
𝑈 =
1
2
 
0
𝑙𝑁2
𝐸𝐴
∙ 𝑑𝑥 +
1
2
 
0
𝑙𝑀2
𝐸𝐼
∙ 𝑑𝑥 +
1
2
 
0
𝑙
χ ∙
𝑄2
𝐺𝐴
∙ 𝑑𝑥
Princípio dos Deslocamentos Virtuais
RELEMBRANDO!!!
𝑑𝜃 =
𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝑑𝑢 =
𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 𝑑ℎ = χ
𝑄
𝐺𝐴
𝑑𝑥
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Princípio da Conservação da Energia
𝑊𝐸 = 𝑈
◦ Em que:
◦ 𝑊𝐸 - Trabalho externo;
◦ U- Energia de deformação interna.
◦ Premissas:
◦ O carregamento é aplicado lentamente, de tal forma que não provoca vibrações na estrutura (não existe energia 
cinética).
◦ O único tipo de energia armazenada pela estrutura é a energia de deformação elástica, não existindo perda de energia 
na forma de calor, ruído, etc.
◦ A estrutura tem um comportamento linear-elástico, isto é, o material da estrutura trabalha em um regime elástico e 
linear (não existe plastificação em nenhum ponto) e os deslocamentos da estrutura são pequenos o suficiente para se 
escrever as equações de equilíbrio na configuração indeformada da estrutura.
◦ A energia de deformação por efeito cortante é desprezada, pois é muito menor que a energia de deformação por flexão 
pura das barras usuais (Com comprimento bem maior que a altura da seção transversal)
EXEMPLO
𝑊𝐸 =
1
2
𝑃1 ∙ 𝐷1 𝑈 =
1
2
 0
𝑙 𝑀2
𝐸𝐼
∙ 𝑑𝑥 = 
1
2
 0
𝑙
𝑃1
2
∙𝑥
2
𝐸𝐼
∙ 𝑑𝑥 =
𝑃1
2
96𝐸𝐼
∙ 𝑙3
Não há esforço normal e 
cortante foi desprezado
𝑊𝐸 = 𝑈 ⇒
1
2
𝑃1 ∙ 𝐷1 =
𝑃1
2
96𝐸𝐼
∙ 𝑙3 ⇒ 𝐷1 =
𝑃1
48𝐸𝐼
∙ 𝑙3
Apesar de obtermos o deslocamento por meio do 
principio da conservação da energia para este caso, não 
é possível obter para casos mais genéricos. E mesmo 
neste exemplo, se quisermos saber o deslocamento em 
outro ponto que não seja o da carga aplicada, não 
conseguiremos por meio deste princípio.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
𝑊𝐸 = 𝑈
◦ Em que:
◦𝑊𝐸- Trabalho externo virtual;
◦ 𝑈 - Energia de deformação 
interna virtual.
◦ Generalização do princípio da 
conservação de energia;
◦ Não existe relação causa-
efeito entre um sistema de 
forças A e uma configuração 
deformada B.
◦ Sistema de Forças A, com campo de forças externas 
(FA) e esforços internos (fA) em equilíbrio entre si;
◦ Configuração deformada B, com campo de 
deslocamentos externos (DB) e deslocamentos 
relativos internos (dB), compatíveis entre si.
Princípio dos Trabalhos Virtuais
◦ PRINCÍPIO DAS FORÇAS VIRTUAIS:
◦ Escolha arbitrária de qualquer sistema de forças (F, f ) em 
equilíbrio, denominadas virtuais;
◦ Obtenção de uma configuração deformada qualquer (D, d) 
compatíveis entre si.
◦ PRINCÍPIO DOS DESLOCAMENTOS VIRTUAIS:
◦ Escolha arbitrária de qualquer sistema de deslocamentos (D, d) 
compatíveis entre si, denominadas virtuais;
◦ Obtenção de um sistema de forças (F, f ) em equilíbrio.
Princípio das Forças Virtuais
𝑊𝐸 = 𝑈
𝑊𝐸 = 𝐹 ∙ 𝐷 𝑈 = 𝑓 ∙ 𝑑
◦𝑊𝐸 : Trabalho virtual causado por:
◦ 𝐹: Forças externas virtuais;
◦ 𝐷 : Deslocamentos reais
◦ 𝑈: Energia de deformação interna:
◦ 𝑓: Esforços internos virtuais (M, N, Q);
◦ 𝑑 : Deslocamentos relativos reais (dθ, du, 
dv)
Princípio das Forças Virtuais - Exemplo
Princípio dos Deslocamentos Virtuais
𝑊𝐸 = 𝑈
𝑊𝐸 = 𝐹 ∙ 𝐷 𝑈 = 𝑓 ∙ 𝑑
◦𝑊𝐸 : Trabalho virtual causado por:
◦ 𝐹: Forças externas reais;
◦ 𝐷: Deslocamentos virtuais
◦ 𝑈: Energia de deformação interna:
◦ 𝑓: Esforços internos reais (M, N, Q);
◦ 𝑑: Deslocamentos relativos virtuais (dθ, du, 
dv)
Princípio dos Deslocamentos Virtuais –
Exemplo 1
◦ Forças externas reais: VA, VB e P1
◦ Esforços Internos reais (M, N, Q): ??? 
◦ Deslocamentos virtuais: DA, DB, D1
◦ Deslocamentos relativos virtuais (dθ, du, 
dv) = 0 (Comportamento de barra rígida) 
Princípio dos Deslocamentos Virtuais –
Exemplo 1
𝑊𝐸 = 𝐹 ∙ 𝐷 = 𝑉𝐴 ∙ 𝐷𝐴 + 𝑉𝐵 ∙ 𝐷𝐵 − 𝑃1 ∙ 𝐷1
= 𝑉𝐴 − 𝑃1 ∙ 𝐷1
 𝑈 = 𝑀 ∙ 𝑑𝜃 = 0
Não há esforço normal e 
cortante foi desprezado
Princípio dos Deslocamentos Virtuais –
Exemplo 1
𝑉𝐴 = 𝑃1 ∙
𝑏
𝑙
𝑊𝐸 = 𝑈 𝑉𝐴 − 𝑃1 ∙ 𝐷1 = 0 𝑉𝐴 = 𝑃1 ∙ 𝐷1
Princípio dos Deslocamentos Virtuais –
Exemplo 2
◦ Forças externas reais: VA, VB e P1
◦ Esforços Internos reais (M, N, Q): ??? 
◦ Deslocamentos virtuais: DA, DB, D1
◦ Deslocamentos relativos virtuais (dθ) = θS
Princípio dos Deslocamentos Virtuais –
Exemplo 2
𝑊𝐸 = 𝐹 ∙ 𝐷 = −𝑉𝐴 ∙ 𝐷𝐴 − 𝑉𝐵 ∙ 𝐷𝐵 + 𝑃1 ∙ 𝐷1
= 𝑃1 ∙ 𝐷1
 𝑈 = 𝑀 ∙ 𝑑𝜃 = 𝑀𝑆 ∙ 𝜃𝑆
Princípio dos Deslocamentos Virtuais –
Exemplo 2
𝑊𝐸 = 𝑈 𝑃1 ∙ 𝐷1 = 𝑀𝑆 ∙ 𝜃𝑆 𝑀𝑆 = 𝑃1 ∙ 𝐷1 𝑀𝑆 =
𝑃1 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥
𝑙
Princípio dos Deslocamentos Virtuais
COM O PDV É POSSÍVEL CALCULAR AS REAÇÕES E OS 
ESFORÇOS INTERNOS EM QUALQUER PONTO DAS 
BARRAS DE QUALQUER ESTRUTURA, INDEPENDENTE 
DOS APOIOS E DO CARREGAMENTO !!!
DIFICULDADE:
DETERMINAR UM SISTEMA VIRTUAL PARA CADA 
ESTRUTURA REAL.
Princípio dos Deslocamentos Virtuais
◦ Desenvolvidas a partir do PDV;
◦ Valores padronizados/tabelados para 
barras isoladas:
◦ Reações de apoio para qualquer tipo 
de carregamento;
◦ Coeficientes de rigidez para 
deslocamentos virtuais unitários.
SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS
SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS