calculo 2

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Ensino Superior
3- Volume de Sólidos
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).
Introdução: 
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Volume de Sólidos
	Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal. 
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	 Exemplo 1:
	Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide – é 
Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:
Para cada corte transversal na altura h - y, temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2.
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
             e daí            
Volume de Sólidos
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Volume de Sólidos
Exemplo 1:
Logo, o volume da pirâmide é dado por:
             e daí            
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	 Exemplo 2:
	Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:                                         
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é r2.
Logo, o volume do cilindro é dado por:
Volume de Sólidos
h
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 3: Considere a região delimitada por , o eixo x e as retas x = -a e x = a, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio a. Mostre que seu volume é . 
O volume da esfera gerada é:
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Sólidos de Revolução
Exemplo 3:
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	 Exemplo 4:
	Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é V = r2h/3.
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:                                         
Volume de Sólidos
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Exemplo 4:
Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é y2.
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
Volume de Sólidos
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Sólidos de Revolução
Exemplo 5: Seja o triângulo R, dado na figura abaixo. Calcular o volume do cone gerado pela rotação de R em torno do eixo OY.
Para cada y  [0,1] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do cone é igual a:
Usando semelhança de triângulos temos:
Portanto:
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Sólidos de Revolução
Exemplo 6: Seja a região R do plano limitada pela curva y = -x2 + 1 e o eixo OX. Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.
A intersecção da curva com o eixo OX é dada por: -x2 + 1 = 0.: x2 = 1.: x = ± 1.
Para cada x  [-1, 1] a seção transversal ao eixo OX é um círculo gerado pela rotação do segmento vertical de comprimento y. Logo, possui área A = y2 e o volume do sólido é igual a:
Portanto:
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Sólidos de Revolução
Exemplo 7: Seja a região R do plano limitada pelo eixo OY e pelas curvas
Determinar o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OY. 
Na figura temos representada a região R. Como R é simétrica em relação OY, uma das duas regiões R1 ou R2 girando em torno de OY gera todo o sólido. Vamos considerar a região R1.
Para cada y  [1/4, 4] a seção transversal ao eixo OY é um círculo gerado pela rotação do segmento horizontal de comprimento x. Logo, possui área A = x2 e o volume do sólido é igual a:
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Sólidos de Revolução
Exemplo 7:
Portanto:
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Sólidos de Revolução
Exemplo 8: Seja a ciclóide de equações paramétricas
8.1. Esboce a curva.
Usando as derivadas 
obteremos a curva abaixo. 
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Sólidos de Revolução
8.2. Seja R a região do plano limitada pela ciclóide e pela reta y = -1. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno do eixo de OX.
Seja a função y = f(x) tal que seu gráfico é a ciclóide. Para cada x  [-4, 0] a seção transversal ao eixo OX é um anel circular de raio interno igual a 1 e raio externo igual a y. Logo possui área igual a: 
A = y2 - .12 = y2 -  e o volume do sólido é igual a:
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Sólidos de Revolução
Substituindo x em função de t na integral anterior temos:
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Sólidos de Revolução
8.3. Determinar uma expressão em integrais que represente o volume do sólido obtido com a rotação de R em torno da reta x = 1. Sejam as funções x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente os arcos da ciclóide obtidos para t  [ , 2 ] e para t  [0,  ]. Para cada y  [-5 , -1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raio externo respectivamente é 1 - x1 e 1 – x2 .
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Sólidos de Revolução
Logo, a seção transversal tem área A = (1- x1)2 - (1- x2 )2 e o volume do sólido é igual a:
Substituindo y em função de t nas integrais acima temos:
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Sólidos de Revolução
Exemplo 9: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo OY, do círculo de raio 1 e centro em (4,0).
Tomemos as equações paramétricas do círculo:
Sejam x1 = x1(y) e x2 = x2(y), funções cujos gráfico são respectivamente os semi–círculos obtidos para t  [-/2, /2] e para t  [/2, 3/2]. Para cada y  [-1 , 1] a seção transversal ao eixo OY é um anel circular de raios externo e interno respectivamente iguais a x1(y) e x2(y). Logo, a seção transversal tem área A =  .x12 -  x2 2 e o volume do sólido é igual a: 
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Volume de Sólidos
ou usando simetria
Substituindo por t temos:
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	Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por 
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:
conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente. 
Volume de Sólidos
Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.
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Volume de Sólidos
	Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A. 
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x)  0 para todo x, tal que a  x  b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
	Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Considerando uma partição P do intervalo [a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:
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Sólidos de Revolução
 Cálculo do volume
- Seja ainda xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].
- Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci.
- Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi e altura f(ci).
- Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:
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Sólidos de Revolução
 Cálculo do volume
	A soma dos volumes dos n cilindros, que representaremos por Vn, é dada por:
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Sólidos de Revolução
 Cálculo do volume
A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B.
 Definição
Seja
y = f(x) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido B, gerado pela revolução de R em torno do eixo x, é definido por:
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Sólidos de Revolução
 Cálculo do volume
A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:
Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos 
	em certas situações especiais.
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
 Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].
- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.
	O sólido gerado pela rotação da figura (a) 
	é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).
(b)
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Sólidos de Revolução
	Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].
 	De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
	Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1].
 - De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
	Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = . 
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Integral Indefinida
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Sólidos de Revolução
 	Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.
 - Neste caso, temos:
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
	Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.
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Sólidos de Revolução
	Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x, para 0  x  2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados. 
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Sólidos de Revolução
	Exercício 5:
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Sólidos de Revolução
	Exercício 5:
O volume do sólido é dado por:
                                          
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y. 
a)
1
1
1/2
3
S1
S2
V1
V2
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Sólidos de Revolução
	 Logo, o volume do sólido é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
	 Exemplo 6:	
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Sólidos de Revolução
	 Exemplo 6:	
b)
1
1
1/2
3
S1
S2
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Sólidos de Revolução
	Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é: 
Efetuando os últimos cálculos, temos:
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Sólidos de Revolução
 	Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:
	Supondo f(x)  g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:
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Volume de Sólidos
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
	Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.
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Sólidos de Revolução
	Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola 
	e pela reta 
	De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
Exercício 7:
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Sólidos de Revolução
Exercício 7:
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Sólidos de Revolução
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Sólidos de Revolução
	Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:
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Sólidos de Revolução
 	Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução 
for a reta y = L, temos:
L
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Sólidos de Revolução
 	Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
Se o eixo de revolução 
for a reta x = M, temos:
M
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Sólidos de Revolução
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Volume de Sólidos
	Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos. 
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas. 
	O volume de cada uma das cascas é dado por: 
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Sólidos de Revolução
		 Cálculo do volume
	Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a  x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
	Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular. 
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Sólidos de Revolução
	Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0  x  2, ao redor do eixo y. 
Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos: 
                   
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0  x  1, ao redor do eixo y. 
As duas funções se encontram 
nos pontos (0,0) e (1,1). 
O volume do sólido pode ser 
calculado pelo método das 
cascas e, portanto, é igual a:
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0  x  y e x2 + y2  2. 
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Sólidos de Revolução
	Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x  0: 
	Logo, x = 1:
Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:
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Sólidos de Revolução
	Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2)  1. 
Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.
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Sólidos de Revolução
	Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções: 
Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:
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Sólidos de Revolução
	Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos: 
Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral:
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