Apostila Algebra Vetores

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4.1 Análise Geométrica da Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar 
A adição de dois vetores 
→
v e 
→
u é analisada, geometricamente, a partir dos segmentos que 
contém os vetores. Este movimento se caracteriza por decomposição de vetores no plano. 
 
ecomposição de vetores no plano: Dados dois vetores v1 e v2 não 
colineares, qualquer vetor v (coplanar com v1 e v2) pode ser decomposto 
segundo as direções de v1 e v2. O problema consiste em determinar dois 
vetores cujas direções sejam as de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, 
buscam-se determinar dois números reais a1 e a2 tais que: 
2211 vavav += 
1º caso A ADIÇÃO DOS DOIS VETORES 
→
v e 
→
u representados pelos segmentos 
orientados AB e BC se definem pelo vetor resultante 
→
s representado pelo segmento 
AC . 
Regra do polígono ou triangulação: Ligam-se os vetores, origem com extremidade 
por deslocamento. O vetor soma (ou vetor resultante) é aquele que tem origem, na 
origem do 1º vetor e extremidade, na extremidade do último vetor. 
Assim, os pontos A e C determinam um vetor que é a soma dos vetores 
→
u e 
→
v onde: 
 B 
 
→
v 
→
u 
 
→
s 
 
 A C 
Exemplo 1: 
→
s = 
→
u + 
→
v ou 
→
u + 
→
v = AC ou 
AB + BC = AC 
 
Exemplo 2: 
→
s = 
→
u + 
→
v 
 
Exemplo 3: 
→
s = 
→
u + 
→
v ou 
→
u + 
→
v = AC ou 
AB + BC = AC 
Na SUBTRAÇÃO DE VETORES, adicionamos um deles ao oposto do outro: 
→
s = 
→
u - 
→
v . 
Vetores u e v Adição de vetores u+v Subtração u+(-v) 
D 
 
4 Operações com Vetores 
 
 
 
 
 
2º caso A adição dos dois vetores 
→
v e 
→
u paralelos (
→
v ⁄ ⁄ 
→
u): 
 
 A adição de vetores representados por segmentos paralelos10 orientados AB e BC se 
define da mesma forma anterior, pelo vetor resultante 
→
s, representado pelo segmento 
AC . 
Assim, os pontos A e C determinam um vetor que é, por definição, a soma dos vetores 
→
u e 
→
v onde, para 
→
s = 
→
u + 
→
v . 
 
Exemplo 1: Na figura (a), temos a resultante 
→
s de vetores 
→
u e 
→
v com o mesmo 
sentido e na figura (b), temos a resultante 
→
s de vetores 
→
u e 
→
v com o sentido 
contrário (equivale a s = u - v). 
 
Vetores 
→
u e 
→
v Adição de vetores 
→
s = 
→
u + 
→
v Subtração 
→
s = 
→
u + (- 
→
v ) 
 
 
 Fig.(a) Fig.(b) 
3º caso A adição dos dois vetores 
→
v e 
→
u não paralelos pode ocorrer a partir do 
deslocamento dos vetores para uma mesma origem A. Assim, representa-se o vetor 
→
v 
= AB e o vetor 
→
u = AD . 
 
Regra do paralelogramo: A partir da origem A, projetamos um vetor no extremo do 
outro (mesma direção e mesmo sentido). Assim, construímos o paralelogramo ABCD. 
 
Exemplo 1: (Figuras c, d) O segmento orientado de origem em A que equivale à 
diagonal do paralelogramo, é o vetor resultante 
→
s= 
→
u +
→
v . A diagonal secundária do 
paralelogramo equivale a resultante da diferença entre os vetores, ou seja, 
→
s=
→
u -
→
v . 
 
Adição de vetores 
→
s = 
→
u + 
→
v Subtração 
→
s = 
→
u + (- 
→
v ) 
 
10
 Quando os segmentos têm a mesma direção – sobre as mesmas retas ou paralelas 
 
 
 
Fig (c) 
u+v é a diagonal principal do 
paralelogramo ABCD. 
Fig (d) 
u+v →diagonal principal do paralelogramo 
u-v →diagonal secundária 
 
 
Exemplo 2 
 
Vetores 
→
u e 
→
v Adição 
→
s = 
→
u + 
→
v Subtração 
→
s = 
→
u -
→
v 
 
 
4º caso A adição dos três vetores ou mais ocorre de forma análoga aos casos 
anteriores. No caso particular da extremidade do representante do último vetor 
coincidir com a origem do representante do primeiro a soma deles será o vetor zero 
ou nulo. 
 
Exemplo de adição de três ou mais vetores livres 
 
 
 
Exemplo 1 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w 
 
 
 
Exemplo 2 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w 
 
 
Exemplo 3 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w +
→
t =
→
0 
 
Exemplo de adição de vetores que partem de uma origem: Situação comparativa de 
soma com dois e com três vetores 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
→
s = 
→
u + 
→
v 
 
 
Exemplo 2 
 
→
s = 
→
u + 
→
v + 
→
w 
 
 
eometricamente, o PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR, é 
representado por um novo vetor que se expande, contrai ou inverte o sentido, 
conforme o valor de k. O produto de um número real k por um vetor v, resulta em 
um vetor s com sentido igual ao de v se k for positivo ou sentido oposto ao de v se k for 
negativo. O módulo do vetor s é igual a k x |v|. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º caso Se k = 0 ou v = 0, então o vetor kv = 0. 
Exemplo: Para u = (1,2) e k = 0 temos ku = 0.u= (0.1,0.2) = (0,0). 
 
2º caso Se k= -1, o vetor (-1)v é o oposto de v. 
 Exemplo: Para u=(1,2) e k=-1 temos ku=(-1).u=(-1.1, -1.2) 
= (-1, -2) 
 
3º caso Se k > 0, então (k.v) permanece com o mesmo sentido de v, se 
k < 0, kv tem sentido contrário de v. 
 
Exemplos: 
Para u = (1,2) e k = 2 temos 
ku = 2u = (2.1, 2.2) = (2, 4) 
Para u = (1,2) e k = -2 temos 
ku = -2u= (-2,-4). 
 
 
 
Exemplos Complementares 
Exemplo 1: Dados os vetores u=(4,1) e v = (2, 3). Determinar geometricamente e 
algebricamente as resultantes de u+v e 2u. 
 
G 
 
Resolvendo: 
• u+v = (4,1) + (2,3) = (6, 4) e • 2 u = 2 (4,1) = (8,2). 
 
Representação geométrica de u+v Representação geométrica de 2u 
 
Exemplo 2: Consideremos os vetores de R2 definidos em u = (1,2) e v = (3,-3). Determine, 
algébrica e geometricamente, as resultantes: 
(a) 
→
s = 
→
u + 
→
v ; (b) 
→
s = 
→
u - 
→
v ; (c) 
→
s = 
→
v - 
→
u 
 
Resolução: Algebricamente 
(a) 
→
s = 
→
u + 
→
v 
= (1,2) + (3,-3) 
= (1+3, 2-3) 
= (4, -1). 
(b) 
→
s = 
→
u - 
→
v 
= (1,2) - (3,-3) 
= (1-3, 2+3) 
= (-2, 5) 
 
(c) 
→
s = 
→
v - 
→
u 
= (3,-3) - (1,2) 
= (3-1,-3-2) 
= (2, -5) 
 
Geometricamente (a) 
 
Geometricamente (b) 
 
Geometricamente (c) 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Dados os vetores u, v e w, de acordo com a figura, construir graficamente o vetor 
→
s = 2u - 3v+ 1/2w 
 
Resolução: Vetores Resultante s = 2u - 3v+ 1/2w 
 
 
 
 
Exemplo 4: Efetuar as operações com os vetores sabendo que u = (
5
3
,
3
1
− ) e v= (
5
2
,
3
1
). 
� u+v = (
5
2
5
3
,
3
1
3
1
+−+ ) = (
5
1
,
3
2
− ) 
� 15u = 15 (
5
3
,
3
1
− ) = (5, -9) 
� 
4
3
− v - 
3
1
 u = 
4
3
− (
5
2
,
3
1
) - 
3
1
(
5
3
,
3
1
− ) =(
10
3
,
4
1
−− ) + (
5
1
,
9
1
− ) =(
10
1
,
36
13
−− ) 
 
 
Exemplo 5: Para u = (-2,2) e v = (3,2) represente no plano u+v, 2u e u + (-v). 
 
 
 
u + v = (-2,2) + (3,2) = (-2+3, 2+2) = (1,4) 2u = 2(-2,2) = (-4,4) 
 
 
 
 
 
 
u +(-v) = (-2,2) – (3,2) = (-5,0) 
 
Exemplo 6: Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u=
2
1
v+w, sendo u=(3,-1)e v=(-2,4). 
 Resolvendo: 3w+2(3,-1)=
2
1
(-2,4)+w ⇔ 3w + (6,-2) = (-1,2) + w 
3w –w = (-1,2) - (6,-2) ⇔ 2w = (-7, 4) ⇔ w = ( 2,
2
7−
). 
Exemplo 7: Encontrar os números a1 e a2 tais que VaUaW 21 += sendo 
)2,4(...)..2,1(),8,1( −==−= VeUW 
)22,4()8,1(
)2,4()2,()8,1(
)2,4()2,1()8,1(
2121
2211
21
aaaa
aaaa
aa
−+=−
−+=−
−+=−
 
 
822
14
21
21
=−
−=+
aa
aa
 
1
3
2
1
21
−=
=
a
a
⇒ logo VUW −= 3 
 
Note que: Ao trabalharmos geometricamente com a soma de vetores e a 
multiplicação de escalar por vetores, operamos pela decomposição de vetores. 
Em outras palavras, buscam-se determinar dois números reais a1 e a2 tais que: 
2211 vavav += 
Exemplo 1: Dados dois vetores v1 e v2 não colineares e v (arbitrário), a figura 
mostra como é possível formar um paralelogramo em que os lados são 
determinados pelos vetores 11va e 22va e, portanto, a soma deles é o vetor v, que 
corresponde à diagonal desse paralelogramo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2: Na figura seguinte os vetores v1 e v2 são 22va mantidos e 
consideramos um outro vetor v. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u u u
v1 
-a1v1 a2v2 v 
v2 
v = - a1 v1 + a2v2 
 
2211 vavav += 
v1 
v2 
11va
22va
2v
1v
v (arbitrário) 
v 
V1 
V2 
Nesta figura 
a2 > 0 e a1 < 0 
A N B
 D M C 
AD
(b) u – v (c) v - u (d) 3u– 3v 
 
AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvooocccêêê!!! Resolva as atividades 
Lista 3 de Atividades11 
 
1. A Figura é constituída de nove quadrados congruentes (do mesmo tamanho). Determine os 
vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A. 
 
 
a) AC + CN 
b) AB + BD 
c) AC + DC 
d) AC + AK 
e) AC + EO 
f) AM + BL 
 
 
g) AK + AN 
h) AO - OE 
i) MO - NP 
j) BC - CB 
k) LP + PN 
l) LP + PN + NF 
m) BL + BN + PB 
 
2. Considere dois vetores quaisquer, u e v, não paralelos. Construa num plano as resultantes, 
s=u+v, w=u-v, t=v-u, m=(-u) e n=–v. 
3. Determine, algébrica e geometricamente o vetor resultante w, para u = (-1,2) e v = (2,-1): 
(a) u + v 
 
(e) u – 2v (f) 2u + v g) 0,5 u + 3v h) 0,5 u – 0,5 v 
4. Dados os vetores 
→
v , 
→
u e 
→
w , de acordo com a figura, construir graficamente o vetor 
→
s = 
3
→
u - 2
→
v + 1/2
→
w 
 
 
 
 
5. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
→
AB e 
→
, sendo M e N pontos médios 
dos lados DC e AB, respectivamente. Completar convenientemente e fazer a representação 
geométrica. 
 
a) 
→
AD + 
→
AB = 
b) 
→
BA + 
→
DA = 
 
c) 
→
AC - 
→
BC = 
d) 
→
AN + 
→
BC = 
e) 
→
MD+ 
→
MB = 
f) 
→
BM - 
2
1 →DC = 
 
 
11
 
(WINTERLE, 2000, p.6)
 
→
w 
→
v 
→
u 
 
 
 A N B 
6 Dados os vetores 
→
u e 
→
v da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor: 
 
→
u 
 
→
v 
7 Dados os vetores 
→
a , 
→
b e 
→
c , como na figura, apresentar um representante de cada um dos 
vetores: 
 
→
a 
 
→
b 
 
 
→
c 
8) Dados os vetores 
→
u e 
→
v determinar: u
→
 
(a) 
→
u + 
→
v (b) 
→
u - 
→
v v
→
 
9. Considere os vetores livres definidos por dois pontos A e B. Em cada caso, determine o 
vetor equivalente v (não livre). 
(a) A(1,3) e B(2,-1); (b) A(-1,5) e B = (-4,-2); (c) A(8,-15) e B (-2,0) 
10. Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u= 4v -w, sendo u=(1,-1) e v=(-3,2). 
 
11) Dados u=(1,-2), v=(2,4) efetuar (a) u+v; (b) u-v; (c) 3u+2v. 
12) Dados A=(-1,2), B=(1,-2) e C=(3,3) determinar: (a) ABAB −= ; (b) ACAC −= ; 
(c) BCBC −= ; (d) ACAB + ; (e) ACAB − . 
13) Dados )1,
3
1(),..1,
2
1( −−= VU , calcular: (a) VU 32 + ; (b) VU 64 − . 
14) Dados A = (1,-2), B = (-2,3) e C = (-1,-2), determinar x = (a,b), de forma que: 
a) ABCx = b) ABCx
3
2
−= c) AxBC = 
15. Dados os vetores u = (1,3,0,-1) e v = (3,0,2,1) encontre: 
a) u+v b) u-v c) 3u 
d) 
2
1
u - v 
e) x se x+u=0 f) 2u + 2v 
a) 
→
u - 
→
v 
b) 
→
v - 
→
u 
c) -
→
v -2
→
u 
d) 2
→
u - 3
→
v 
a) 4
→
a - 2
→
b - 
→
c 
b) 
→
a + 
→
b + 
→
c 
c) 2
→
b - (
→
a +
→
c ) 
AN; AD; AB; AO; AM; Ak; AH; AI; AC; AC; AC; AE; ; 
 
Respostas: 1) 
2) 
 
3) Resultado 
algébrico
 
4) 
 
 
5) 
 
 
6) 
 
 
7c) 
 
9) 
 
10) w=(-7/2,5/2); 11ª) (3,2); b) (-1,-6); c) (7,2); 12ª) (2,-4); b) (4,1); © (2,5); (d) (6,-3); (e) (-2,-5). 13) (a) (2,-
1); (b) (-4,10); 14a) (-4,3); b) (1, -16/3); c) (2,-7); 15ª) (4,3,2,0); b) (-2,3,-2,-2); c) (3,9,0,-3); d) (-5/2,3/2,-2,-
3/2); e) (-1,-3,0,1); f) (8,6,4,0); 16) w=-u/7+13v/7; 17) Sim, para x = 1, y = 5 e z = 7; 18) Sim para x = 5, y=-7/2 
e z=-1/4; b) Sim para x = 4/3, y = 7/3 e z = -10/9; 19) a) LI; B) LD por os vetores de B combinados com o vetor 
nulo resulta em solução indeterminada.; c) A é base porque é LI e B não é base porque é LD; 20) S não é base porque 
é LD. 
0