Eletromag Aula 3 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 3a Aula- “Diferença de potencial “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Campos Eletrostáticos 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
16/10/2015 - 3a Aula 
 
 Nós vivemos imersos em toda sorte de campos elétricos. O domínio dos 
conceitos de campo elétrico permitiu o desenvolvimento da tecnologia moderna. Os 
primeiros conceitos relativos aos fenômenos elétricos tem origem na Grécia antiga, e é 
apresentado aos estudantes desde as séries iniciais do ciclo secundário com o objetivo 
de dar uma formação básica em ciência. Estes conteúdos são repetidos no segundo grau, 
e nas disciplinas de formação básicas dos cursos superiores da área de exatas. Por esta 
razão, para alunos de áreas correlatas das ciências exatas parecem intuitivo conceitos 
como carga, força, campo e potencial elétricos. No entanto, mesmo nos cursos básicos 
de física ou engenharia não há ferramentas matemáticas para a expressão corretas das 
leis física da eletricidade e do magnetismo. Na disciplina de eletromagnetismo é a 
primeira vez que se faz a definição das leis com uso rigoroso e elegante das ferramentas 
matemáticas. 
 Entre a descoberta das cargas elétrica, na Grécia antiga, e as primeiras 
formulações matemáticas das leis da eletricidade e magnetismo decorreram mais de dois 
mil anos. Naquela época não se tinha o domínio dos fenômenos eletrostáticos e 
magnéticos e nem da metodologia para o estudo experimental; ainda não existia o 
método científico. Três eventos próximos entre os anos de 1879 e 1820 foram 
determinantes para a evolução do eletromagnetismo: a invenção da pilha, a experiência 
de Oersted e a descoberta da Lei de Coulomb. O primeiro, a invenção da pilha, foi que 
permitiu criar correntes elétricas constantes e duradouras e com isso foi possível 
correlacionar com a eletricidade com o magnetismo. Esta relação foi descoberta a 
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primeira vez por Oersted iniciando o eletromagnetismo. Já a lei de Coulomb estabelece 
a base fundamental de todo o eletromagnetismo, a constatação de que cargas elétricas se 
repelem ou atraem proporcionalmente ao módulo das cargas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre elas. Pode-se afirmar que todo e qualquer 
efeito do eletromagnetismo tem origem nesta lei e por ela é governado. No entanto, para 
facilitar a descrição dos fenômenos outros conceitos são elaborados, como o de campo 
elétrico, o de potencial elétrico e também divisões são estabelecidas, como a 
eletrostática e a eletrodinâmica. Ressalte-se, a base de todo o eletromagnetismo e a lei 
de coulomb 
Lei de Coulomb 
 
F =
�����
��
 em módulo 
k =
�
�πε�
 
ε� = 8,85x10
��� �
�
 
F�⃗ ��→ �� =
kq�q�
|r⃗��|
�
		r��� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
q� 
q� 
r⃗��
r��� F
�⃗
��	→ 	��
 
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		r��� =? 
 
		r⃗�� = r⃗� − r⃗� 
		r��� =
r⃗��
|r⃗��|
=	
(r⃗� − 	r⃗�)
|(r⃗� − r⃗�)|
 
Assim 
F�⃗ ��→ �� =
1
4πε�
q�q�
|r⃗��|
�
		�⃗�� 
 
Exemplo. 
Considere que uma carga q1=3x10
-4C está no ponto M(1,2,3) e outra carga q2=-1x10
-4C 
está no ponto N(2,0,5) no vácuo. Calcule a força exercida em q2 por q1. 
Resolução 
		r⃗�� = r⃗� − r⃗� 
		r⃗� = ı̂ + 2ȷ̂ + 3k� 
		r⃗� = 2ı̂ + 5k� 
Logo 
		r⃗�� = (2 − 1)ı̂ + (0 − 2)ȷ̂ + (5 − 3)k� 
		r⃗�� = ı̂ − 2ȷ̂ + 2k� 
[i1] Comentário: Colocar mais um 
exemplo! 
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		|r⃗��|= �(1
� + (− 2)� + 2�)	= √1+ 4+ 4 = 3 
		r��� =
r⃗��
|r⃗��|
=
ı̂ − 2ȷ̂ + 2k�
3
=	
1
3
�ı̂ − 2ȷ̂ + 2k�� 
F�⃗ ��→ �� =
1
4πε�
q�q�
|r⃗��|
�
		r��� 
F�⃗ ��→ �� =
1
4πε�
q�q�
3�
		
1
3
�ı̂ − 2ȷ̂ + 2k��		 
F�⃗ ��→ �� ≅ 9x10
� ∙
3x10��(− 1)x10��
3�
∙		
1
3
�ı̂ − 2ȷ̂ + 2k��		 
F�⃗ ��→ �� ≅ −10�ı̂ − 2ȷ̂ + 2k
��		 
Sistema de cargas pontuais 
 
Descrevendo o sistema 
Carga Força Vetor distância Vetor unitário 
q� F�⃗ ��→ � 		R
��⃗
� = r⃗− r⃗� 
	R�� =
R��⃗ �
�R��⃗ ��
 
q� F�⃗ ��→ � 		R
��⃗
� = r⃗− r⃗� 
	R�� =
R��⃗ �
�R��⃗ ��
 
q� F�⃗ ��→ � 		R
��⃗
� = r⃗− r⃗� 
	R�� =
R��⃗ �
�R��⃗ ��
 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
q� F�⃗ ��→ � 		R
��⃗
� = r⃗− r⃗� 
	R�� =
R��⃗ �
�R��⃗ ��
 
 
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F�⃗ � = F�⃗ ��→ � + F
�⃗
��→ � + F
�⃗
��→ �
+ ⋯+	F�⃗ ��→ � 
F�⃗ � = �F�⃗ ��→ � = �
1
4πε�
q�q	
R��
�R��⃗ ��
�
�
���
�
���
 
F�⃗ � =
q
4πε�
	�q�	
R��
�R��⃗ ��
�
�
���
 
Ou 
F�⃗ � =
�
�πε�
	∑ q�	
���⃗ �
����⃗ ��
�
�
��� onde R�� =
���⃗ �
����⃗ ��
 
 
Distribuição de Cargas 
 
dF�⃗ ��′→ � =
1
4πε�
qdq′
�R��⃗ �
� 	R
�	 
F�⃗ � = �dF�⃗ ��′→ � 
F�⃗ � =
q
4πε�
�
dq′
�R��⃗ �
�	R
�	 
 
Distribuição no volume 
Seja 
ρ = lim∆�→ �
∆�
∆�
 ρ �r′��⃗ � =
��′
��
 
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dq′ = ρ �r′��⃗ � dV 
Lembre que estamos escrevendo a equação para o ponto definido por r′��⃗ . 
Então 
F�⃗ � =
q
4πε�
�
ρ�r′��⃗ �dV	
�R��⃗ �
� 	R
�
�
 
 
Distribuição Superficial 
σ = lim
∆�→ �
∆q
∆A
	=	
dq
dA
 
 
σ �r′��⃗ � =	
dq′
dA
 
dq′ = 	σ �r′��⃗ � dA 
 
F�⃗ � =
q
4πε�
�
σ �r′��⃗ � dA	
�R��⃗ �
� 	R
�
�
 
 
Distribuição Linear 
λ = lim
∆�→ �
∆q
∆l
	=	
dq
dl
 
λ �r′��⃗ � =
dq′
dl
 
dq′ = 	λ �r′��⃗ � dl 
F�⃗ � =
q
4πε�
� λ �r′��⃗ �
dl	
�R��⃗ �
�	R
�
�
 
Se todas as possibilidades estão presentes 
 
[i2] Comentário: Arrumar as figuras 
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F�⃗ � = F�⃗ �	���	������
��������
+ F�⃗ �	��	���������çã�
������	��	������
+ F�⃗ �	��	���������çã�	
�����������	��	������
+ F�⃗ �	��	���������çã�
���������	��	������
 
Campo Elétrico 
 
E��⃗ (r⃗)= lim
�→ �
F�⃗ �
q
	 
Para uma distribuição de n cargas pontuais 
E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
	�q�	
R��
�R��⃗ ��
�
�
���
 
Para uma distribuição linear de cargas, contínua. 
 
E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
� λ�r′��⃗ �
dl
�R��⃗ �
�	
�
R�	 
Para uma distribuição superficial contínua de cargas, 
E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
�
σ �r′��⃗ � dA	
�R��⃗ �
� 	R
�
�
 
 
Para uma distribuição volumétrica contínua de cargas, 
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E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
�
ρ �r′��⃗ � dV′	
�R��⃗ �
� 	R
�
�
 
Principio da superposição 
Cada carga produz no ponto P o seu próprio campo e o campo resultante é 
simplesmente a soma vetorial de todos E��⃗ individuais. 
E��⃗ = E��⃗ � + E��⃗ � + E��⃗ � + ⋯+ E��⃗ � + ⋯+	E��⃗ � 
 
Linhas de força (Michael Faraday – 1791 -1867) 
Linha curva imaginária traçada de tal forma que sua direção e sentido em qualquer 
ponto sejam os mesmo do campo elétrico naquele ponto. 
 
Potencial Elétrico 
Primeiramente vamos reescrever o modulo do vetor R��⃗ usado anteriormente. 
r⃗= x	ı̂ + y	ȷ̂ + z	k� 
r′��⃗ = x′	ı̂ + y′	ȷ̂ + z′	k� 
R��⃗ = r⃗− r′��⃗ 
então 
R = �R��⃗ � = [(x− x′)� + (y − y′)� + (z − z′)�]
�
� 
Assim podemos provar que 
∇�R��⃗ � =
���⃗
����⃗ �
= R� 
e que 
∇
1
�R��⃗�
= −
R�
�R��⃗ �
� 
 
Usando notação simplificada. 
∇	R =
R��⃗
R
= R� 
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∇
1
R
= −
R�
R�
 
Considere que 
∇(u + v)= ∇u + ∇v 
Seja 
E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
	�q�	
R��
�R��⃗ ��
�
�
���
 
Então 
E��⃗ (r⃗)= −
1
4πε�
	�q�	∇�
1
�R��⃗ ��
�
�
���
 
E��⃗ (r⃗)= −∇ �
1
4πε�
	��
q	�
�R��⃗ ��
�
�
���
� 
Onde 
�R��⃗ �� = |r⃗− r⃗�| 
 
Fazendo 
φ(r⃗)=
1
4πε�
	�	�
q�
�R��⃗ ��
�
�
���
 
Temos 
E��⃗ (r⃗)= −∇φ(r⃗) 
Então 
∇ × E��⃗ = 0 
 
 
 
 
 
∇ × ∇� = 0 
Se o rotacional de um vetor se anula o vetor pode ser 
expresso como a gradiente de um escalar. 
Se ∇ × A��⃗ = 0 A��⃗ = ∇� 
e 
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Mas se 
 
∇ × E��⃗ = 0 
 
� E��⃗ ∙ d�⃗ =
�
0 
 
 
 
 
 
 
Como consequência do teorema de Stokes temos que o campo elétrico é conservativo. 
Vamos mostrar que 
∇ × E��⃗ = 0 
Seja o campo produzido por uma distribuição volumétrica de cargas num ponto P fora 
do volume. 
E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
� ρ �r′��⃗ �
R�
�R��⃗ �
�	
�
	dV′ 
É conveniente reescrever a expressão como 
E��⃗ �r′��⃗ � =
1
4πε�
� ρ �r′��⃗ �
�r⃗− r′��⃗ �
��r⃗− r′��⃗ ��
�	
�
	dV′ 
Onde 
R� =
R��⃗
�R��⃗ �
=
�r⃗− r′��⃗ �
��r⃗− r′��⃗ ��
 
 
Assim 
� A��⃗ ∙ d�⃗ =
⬚
�
� ∇ ×
⬚
�
A��⃗ ∙ ���� 
Pois o teorema de Stokes diz que 
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∇ × E��⃗ �r′��⃗ � =
1
4πε�
∇ × �� ρ �r′��⃗ �
�r⃗− r′��⃗ �
��r⃗− r′��⃗ ��
�	
�
	dV′� 
 
A aplicação do rotacional implica na diferenciação no ponto dado pelo vetor r⃗. Então, 
basta provar que ∇ ×
���⃗ ��′��⃗ �
����⃗ ��′��⃗ ��
� = 0. Veja que nesta expressão o numerador é um vetor e 
mas p denominador não é vetor. 
Lembrando que 
 
 
 
∇ ×
�r⃗− r′��⃗ �
��r⃗− r′��⃗ ��
� = �∇�
1
��r⃗− r′��⃗ ��
��� × �r⃗− r′
��⃗ � +
1
��r⃗− r′��⃗ ��
�	�∇ × �r⃗− r′
��⃗ �� 
Primeira parte 
∇ × �r⃗− r′��⃗ � = 0 ∇ × r⃗= 0 e como r⃗ e 	r′��⃗ são independentes ∇ × �r⃗− r′��⃗ � = 0 
 
 
Segunda parte 
 
�∇�
1
��r⃗− r′��⃗ ��
��� × �r⃗− r′
��⃗ � =? 
 
 
∇ �
1
��r⃗− r′��⃗ ��
�� =? 
 
∇ × ��A��⃗ � = (∇�)× A��⃗ + ��∇ × A��⃗ �	 
Inserção 
 
 
Fim da inserção 
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Lembrem-se que está é uma função que só depende da distância r⃗= |r⃗|=		r⃗�� =
[x− y + z]
�
� e para uma função que só depende da posição temos 
∇�(�)= �̂	
��(�)
��
 
Então 
∇ �
1
��r⃗− r′��⃗ ��
�� =
�r⃗− r′��⃗ �
��r⃗− r′��⃗ ��
3
��r⃗− r′��⃗ ��
� =
3�r⃗− r′��⃗ �
��r⃗− r′��⃗ ��
�
 
 
Mas queremos 
�∇ �
�
����⃗ ��′��⃗ ��
��� × �r⃗− r′��⃗ � =
����⃗ ��′��⃗ �
����⃗ ��′��⃗ ��
� × �r⃗− r′��⃗ �	= 0 
Esta expressão é igual a zero, pois 3�r⃗− r′��⃗ �	e �r⃗− r′��⃗ � são vetores paralelos. 
Finalmente mostramos que ∇ ×
���⃗ ��′��⃗ �
����⃗ ��′��⃗ ��
� = 0 e consequentemente 
 
 
 
Uma vez que todas as distribuições de campo apresenta uma dependência semelhante, 
com o termo 
���⃗ ��′��⃗ �
����⃗ ��′��⃗ ��
� podeos generalizar e considerar que ∇ × E��⃗ = 0 em qualquer 
condição. 
Então pode categoricamente afirmar que 
E��⃗ (r⃗)= −∇φ(r⃗) onde φ é o potencial elétrico 
 
O potencial gerado por uma carga pontual Q. 
φ(r⃗)=
1
4πε�
	
Q
R
 
onde 
R = �R��⃗ � = ��r⃗− r′��⃗ �� 
∇ × E��⃗ = 0 
Primeira lei de Maxwel da eletrostática 
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E��⃗ (r⃗)= −∇φ(r⃗) 
E��⃗ (r⃗)= −∇�
1
4πε�
	
Q
R
� 
E��⃗ (r⃗)= −
1
4πε�
Q∇ �	
1
R
� 
 
∇�	
1
R
� = −
R�
R�
= −
R��⃗
�R��⃗ �
�	 
 
E��⃗ (r⃗)=
1
4πε�
Q
R��⃗
�R��⃗ �
� 
Que é o campo de uma carga pontual. 
 
Exercícios 
1) Ache a força F�⃗ entre duas cargas q e Q =1C separadas por r=1m. Discuta 
apropriadamente sobre o valor encontrado. 
2) Duas pequenas esferas condutoras, idênticas possuem cargas de 2,0 x 10-9C e -
0,5x10-9C respectivamente. Quando estiverem separadas por 4cm, qual será a 
força entre elas? Se forem postas em contato e então separadas por 4 cm, qual será 
a força entre elas? 
3) Suponha que há três cargas localizadas como descrito a seguir: uma carga de 1μC 
que está localizada na origem; uma carga -2 μC que está localizada no eixo dos x 
em x=4cm e uma carga de 3 μC localizada no eixo dos y em y=5cm. A) Ache a 
força na carga de 3 μC; b) Ache o campo na posição onde está localizada a carga 
de 3μC. 
4) Duas partículas, cada uma de massa m e com carga q, estão suspensas de um 
ponto comum, por cordas de comprimento l. Determine o ângulo θ que a corda 
forma com a vertical. 
5) (a)Ache o campo elétrico (magnitude e direção) 
a uma distância z, acima do ponto médio entre 
duas cargas iguais, conforme mostra a figura. 
Confira se os resultados levam ao valor esperado 
quando z>>d. (b) Ache o campo elétrico a uma 
distância z, acima do ponto médio entre duas 
cargas iguais, considerando agora que a carga q 
do lado direito foi trocada por uma carga –q. 
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6) Cargas pontuais de 3x10-9C estão situadas em três vértices de um quadrado de 
15 cm de lado. Determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico no 
vértice vazio do quadrado. 
7) Mostre que ∇�R��⃗ � =
���⃗
����⃗ �
= R� . 
8) Mostre que ∇
�
����⃗ �
= −
��
����⃗ �
�. 
9) Mostre que dr
)r(Fd
r
r
)r(F


. 
10) É dada uma linha de carga infinitamente longa, com densidade uniforme de carga 
λ por unidade de comprimento. Por integração direta, determine o campo elétrico 
a uma distância r da linha. 
11) Uma linha de carga com densidade uniforme de carga λ por unidade de 
comprimento se estende ao longo do eixo dos x positivos. Por integração direta, 
determine o campo elétrico a numa posição a no eixo positivo. 
12) O campo elétrico, )r(E

, de uma distribuição de carga )'r(

 , é proporcional a 
'dv
'rr
)'rr)('r(
V



3


. Usando a(s) relação(ões) adequada(s) de operadores 
demonstrar que 0 E

, onde V é o volume ocupado pelas cargas. 
13) Uma linha de carga de densidade linear de carga, constante, λ, (coulombs/metros) 
se estende ao longo do eixo dos y de 0 até L. Ache o campo na posição ao longo 
do eixo de x positivo. 
14) Uma linha semi-infinita com densidade linear de carga λ se estende ao longo do 
eixo y positivo. Ache o campo elétrico na posição ao longo do eixo x. 
15) Repita o calculo do problema anterior para o caso em que a linha de carga se 
estende de -∞ até +∞ no eixo y.