Eletromag Aula 4 2014

Prévia do material em texto

Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 1 
Neri Alves 
Diferença de potencial 
Eletromagnetismo 2014 
Neri Alves 
05/12/2014 - 4a Aula 
 
 
O Campo elétrico 
Diferença de Potencial 
 
 
Onde pode ser escrito como , então 
 
 
 
 
Note que o sinal de menos foi compensado pela inversão da ordem de e . 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 2 
Neri Alves 
Observação: 
A intensidade do campo elétrico determina apenas a diferença de potencial entre dois 
pontos. Se desejarmos o potencial num dado ponto nos devemos arbitrariamente definir 
o potencial zero em uma região do espaço. Conveniente escolher o potencial igual a 
zero no infinito. Assim tem-se na integral 1 o ponto considerado, o ponto onde deseja 
saber o potencial e o ponto dois está no infinito onde o potencial é zero. 
 
 
Potencial elétrico de uma carga pontual, num ponto P(x,y,z) 
 
 onde , então 
 
Queremos calcular o potencial produzido por esta carga. Como temos 
duas alternativas. 
1) Fazer a integração. 
Seja 
 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 3 
Neri Alves 
 
 
Para uma carga pontual é apropriado o uso de coordenadas esféricas. 
Para coordenadas esféricas pode ser descrito como: 
 
então 
 
�� � �4���	
�
|�|
��
�
�
� �	 �4��� |�|
���	|�� 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 4 
Neri Alves 
 
2.Mostrar que ou satisfaz a equação 
. 
Vejamos 
 
 
 
Usando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 5 
Neri Alves 
 
 
 
Onde 
 , e logo temos que 
 
Potencial de distribuição de cargas. 
Analogamente ao campo elétrico temos. 
• Distribuição de cargas pontuais 
 
 
• Distribuição linear contínua de cargas 
����� � 14���	 ���
�
�� 1|�|
� 
�′�
 
• Distribuição superficial contínua de cargas 
����� � 14���	 ���
�
�� 1|�|
� 
 ′!
 
• Distribuição volumétrica contínua de cargas 
����� � 14���	 "��
�
�� 1|�|
� 
#′!
 
Relação entre Potencial eletrostático e energia potencial 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 6 
Neri Alves 
																												U�r�� � 	�W 
 
Mas 	
 
Logo 
 
 
onde a integral é igual a função potencial , ou seja, podemos escrever 
que 
 
 
Dipolo Elétrico 
 
Cargas +q e –q separadas por uma distância l. 
P � Ponto onde deseja calcular o campo P(x,y,z) ou 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 7 
Neri Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inserção 
 
 
 Para ' ( 0 
 
 
 
Fim da inserção 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 8 
Neri Alves 
 
 
 
 
Reescrevendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a expansão e conservando apenas os termos lineares em l. 
 
 
 onde desprezou-se os termos em , pois a 
distância entre as cargas é muito menor que a distância do dipolo ao ponto P. 
 
Logo 
 
Inserção 
Expansão binomial 
 
 
 
Fim da inserção 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 9 
Neri Alves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se definirmos 
 
 (momento de dipolo elétrico) 
 
 
 
Desenvolvendo o mesmo procedimento pode se mostrar que 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 10 
Neri Alves 
 
 
Energia de um dipolo em um campo externo 
 
Se 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou 
 
Limite do dipolo pontual que é aplicado no caso de uma molécula num campo externo. 
 
Exercícios 
1. Calcule o potencial gerado por uma carga pontual num ponto p. 
2. Qual das expressões a seguir não pode representar um campo elétrico. 
a) *
� � +,-.-/ 0 2.2./ 0 2.2234 
b) *
� � +,.�-/ 0 2-. 0 2�./ 0 2.2234 
Para saber se é um campo possível encontre o potencial usando a origem como 
referencia. Verifique sua resposta calculando o gradiente de V. Para calcular o potencial 
você deve fazer a integral e para isto deve escolher um caminho no qual se faz a 
integral. 
Notas de aulas de eletromagnetismo 4a Aula- “Diferença de potencial “ 11 
Neri Alves 
3. Mostre que r
q
r
o
r
r 1
4
)(
piε
ϕ =
 é o potencial de uma carga pontual. 
4. Duas cargas puntiformes –q e +½q, estão situadas na origem e no ponto (a,0,0), 
respectivamente. Em que ponto ao longo do eixo x, o campo elétrico se anula? 
Faça, no plano x,y, um gráfico da superfície equipotencial que passa através do 
ponto acima referido.é este ponto um verdadeiro mínimo de potencial? 
5. É dado um cilindro circular reto, de raio R e comprimento L, contendo uma 
densidade de carga ρ. Calcule o potencial eletrostático num ponto sobre o eixo 
do cilindro, porém externo à distribuição. 
6. Numa região do espaço, o potencial é dado por 
r
r
1)( =rϕ
, fazer um esboço através de setas de 
comprimentos, direção e sentido adequando, 
de modo a permitir uma representação gráfica 
desse campo vetorial. 
7. Na figura uma carga teste q é deslocada sem 
aceleração do ponto A até o ponto B, ao longo 
da trajetória indicada. Calcular a diferença de 
potencial entre A e B. O campo elétrico na 
região é E, constante. 
8. Demonstre a relação entre Potencial eletrostático )(r
rϕ e a energia potencial. 
9. Calcule o vetor campo elétrico de um dipolo. Calcule o modulo do campo quando as 
cargas estiverem alinhadas com o ponto P. 
10. Considere uma esfera metálica, em equilíbrio eletrostático ( 0=E
r
), de raio R, com uma 
carga q. Determine o campo elétrico em função da densidade de carga e da distância r
r
do centro, dentro e fora da esfera. Integre o resultado para obter uma expressão para o 
potencial eletrostático )(r
rϕ
, sujeito a restrição 0)( =∞ϕ . Faça o gráfico do campo e 
potencial elétrico para todo r
r
 (dentro e fora da esfera) e comente o resultado. 
11. Duas cascas condutoras concêntricas têm raio a e b(a>b), cargas q e Q e espessuras 
insignificantes. Determine o modulo do campo elétrico (a) para r>a; (b) para a<r<b; (c) 
para r<b. Com no infinito, determine o potencial elétrico para (d)r>a; (e) para 
r= a; (f) paraa<r<b; (g) para r= b; (h) para r<b; (i) para r = 0. (j) Plote e .