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Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 1 Neri Alves Campo elétrico em dielétricos Eletromagnetismo 2011 Neri Alves 20/09/2013 - 6a Aula Dielétrico Real • Cargas livres. Responsáveis pelos processos de condução. • Cargas ligadas. Polarização elétrica do meio. Momento de dipolo P��� � q�� O momento de dipolo tem unidades [P���]=Cm 1. Quando se aplica um campo elétrico externo em um dielétrico, o campo polariza o meio, e esta polarização pode variar de ponto para ponto. Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 2 Neri Alves 2. O meio polarizado também produz um campo, pois as cargas se separam. 3. O campo produzido pelo meio polarizado “altera” o campo externo que produziu a polarização. Como exemplos de momento de dipolo podem citar a polarização eletrônica que ocorre no átomo de hidrogênio e a polarização molecular que ocorre na molécula de água. Considere um volume Δv em um meio dielétrico eletricamente neutro. Ao ser polarizado as cargas se separam o que se caracteriza por um momento de dipolo elétrico. ∆P��� � � r�dq′ ∆� Onde P��� � q�� Esta quantidade determina o campo elétrico produzido por um Δv em pontos distantes, comparados com as dimensões deste elemento Δv. No entanto ∆P��� depende do tamanho do elemento de volume. Por esta razão é mais conveniente usar a expressão P��� � ∆P���∆� ou melhor P��� � lim∆�→� ∆P��� ∆� Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 3 Neri Alves E desta forma P��� a polarização elétrica, ou simplesmente polarização do meio é uma função pontual onde P��� � P����x, y, z� Unidades [�P����� � ��� !" � � � #" Dipolo molecular. Uma molécula é uma pequena Unidade eletricamente neutra, para a qual pode se escrever que P���� � � r�dq′�$%&'(%) Esta é a polarização na molecular (microscopia). Para um conjunto de moléculas num volume Δv, temos P��� � 1∆� + P���� , -./ Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 4 Neri Alves Dielétrico Polarizado Um dielétrico é polarizado quando é colocado em um campo elétrico de tal forma que ocorre uma separação das cargas, e cada ponto r�, é caracterizado por uma polarização P����r��. O potencial de um dipolo é φ�r�� � p�� ∙ �r� 3 r�′�4πε�|�r� 3 r�′�|8 no elemento de volume ΔV’ temos ∆P����r��, logo ∆�′ → ∆P����r�� e assim a expressão acima pode ser reescrita como φ�r�� � ∆p�� ∙ �r� 3 r�′�4πε�|�r� 3 r�′�|8 mas, como P��� � ∆9���∆�: temos que ∆P��� � P���∆�′, então reescrevendo φ�r�� � 9����;���∙�;��<;��:�∆=:>?@A|�;��<;��:�|! e no limite em que∆�′ → 0, temos φ�r�� e somando as contribuições de todo o volume temos φ�r�� � 14πε� lim∆�:→� + P����r�� ∙ �r� 3 r�′�∆V′ |�r� 3 r�′�|8 Então Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 5 Neri Alves φ�r�) = 14πε� � P���(r�) ∙ (r� − r�′)dV′ |(r� − r�′)|8 onde |(r� − r�′)| = �(D − D′)E + (G − G′)E + (H − H′)E�I# ∇:= −∇ ∇:→Calculado em r� ∇:→Calculado em r�’ Isto significa que o gradiente operador ∇ calculo em r� é igual ao negativo do mesmo operador calculado em r�’ onde ∇= ı̂ ∂dy + kO ∂ dz ∇ P 1|(r� − r�′)|Q =? ∇|(r� − r�′)|</ = �(D − D′)E + (G − G′)E + (H − H′)E�</E SejaS = (D − D′)E + (G − G′)E + (H − H′)E, então ∂|(r� − r�′)|</ dx = 1 2 �d� <8E 2(x − x:) = −(x − x:)�d�<8E Similarmente ∂|(r� − r�′)|</ dy = −(y − y′)�d� <8E e ∂|(r� − r�′)|</ dz = −(z − z′)�d� <8E Logo Inserção Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 6 Neri Alves ∇ P 1|�r� − r�′)|Q = −U(x − x:)ı̂ + (y − y:)ȷ̂ + (z − z:)kOW�d� <8E Ou ∇ P 1|(r� − r�′)|Q = − (r − r′) |(r − r′)|8 Refazendo os cálculos para r�′ temos o mesmo resultado com o sinal trocado. Veja: X|(;��<;��:)|YI Z[ = − / E �d�< ! # 2(x − x:)(−1) = (x − x:)�d�<!# e assim por diante. Então temos que ∇:= −∇ Ou ∇′ P 1|(r� − r�′)|Q = (r − r′) |(r − r′)|8 Reescrevendo o integrando P��� ∙ (r� − r�′) |(r� − r�′)|8 = P��� ∙ ∇′ P 1 |(r� − r�′)|Q \ ⟹ 1|(r� − r�′)| A��� ⟹ P��� P��� ∙ ∇: P 1|(r� − r�:)|Q = ∇: ∙ P 1 |(r� − r�′)| P���Q − 1 |(r� − r�′)| ∇: ∙ P��� Então Fim da Inserção ∇ ∙ _\A���` = \∇ ∙ A��� + A��� ∙ ∇\ Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 7 Neri Alves P��� ∙ (r� − r�′) |(r� − r�′)|8 = ∇: ∙ P 1 |(r� − r�′)| P���Q − 1 |(r� − r�′)| ∇: ∙ P��� Finalmente φ(r�) = 14πε� � P∇ : ∙ P 1|(r� − r�′)| P���Q − 1 |(r� − r�′)| ∇: ∙ P���Q dV= ou φ(r�) = 14πε� � ∇ : ∙ P���|(r� − r�:)| dV:= − 14πε� � ∇: ∙ P��� |(r� − r�′)| dV′= Aplicando o teorema d divergência, a primeira integral pode ser reescrita como � ∇: ∙ P���|(r� − r�:)| dV:= = a P��� ∙ nc|(r� − r�:)| dA:d Assim φ(r�) = 14πε� a P��� ∙ nc |(r� − r�:)| dA:d + 14πε� � _−∇: ∙ P���` |(r� − r�′)| dV′= Onde P��� ∙ nc é a projeção de P��� na direção de ne , normal à superfície e lembrando que �P���� = ��#, tem unidade de carga por unidade de superfície podemos afirmar que a grandeza P��� ∙ ncrepresenta uma densidade superficial de carga de polarização. Daí σ9 ≡ P��� ∙ nc Onde siga é a densidade superficial de carga de polarização. Como ∇: ∙ P��� é um escalr e tem Unidade ��!, então ρi ≡ −∇: ∙ P��� Observação se P��� for uniforme não teremos ρi. De forma que : Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 8 Neri Alves φ(r�) = 14πε� a σ9dA: |(r� − r�:)|d + 14πε� � ρidV′ |(r� − r�′)|= = 14πε� � dq′ |(r� − r�′)|= No s dielétricos a polarização tem origem nas cargas ligadas (que não se separa). A polarização é produzida por dipolos e portanto Qk$l)% = 0 Qk$l)% = a σ9dA: d + � ρidV: = = a P��� ∙ ncdA: d + �_−∇: ∙ P���`dV: = Onde pelo Teorema da divergência � ∇: ∙ P��� dV: = = a P��� ∙ ncdA: d Então Qk$l)% = a P��� ∙ ncdA: d − a P��� ∙ ncdA: d = 0 ρi e σ9 são grandezas macroscópica (Superfície e volume) e P��� é uma grandeza microscópica relativa à molécula. Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 9 Neri Alves O Campo Elétrico E��� = −∇φ Deve-se usar ∇(sem linha) pois estamos analisando no ponto P. Sabendo que ∇′ P 1|(r� − r�′)|Q = −∇ P 1 |(r� − r�′)|Q e ∇′ P 1|(r� − r�′)|Q = (r − r′) |(r − r′)|8 Temos finalmente que: E���(r�) = a σ9 (r − r′)|(r − r′)|8 dA:d + � ρi (r − r′)|(r − r′)|8 dV:= Lei de Gauss em um dielétrico (Deslocamento Elétrico) Considere um dielétrico com cargas q1, q2 e q3 imersas em seu volume. Sejam q1, q2 e q3 corpos condutores carregados e S1, S2 e S3 as superfícies destes corpos e S uma superfície Gaussiana envolvendo todas as cargas de polarização. Admita-se que QP seja a carga de polarização e as cargas reais (excesso de carga e carga externa) Q= q/ + qE + q8 Lei de Gauss Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 10 Neri Alves a E��� d ∙ ncdA = Qk$l)%ε� Onde nopqrs = Q9 + Q a E��� d ∙ ncdA = Q9 + Qε� Mas Q9 = a σ9dA: dItd#td! + � ρidV: = Ou Q9 = a P��� ∙ nc dA: dItd#td! + � _−∇: ∙ P���`dV: = a E��� d ∙ ncdA = Qε� + a P��� ∙ nc dA : dItd#td! + �_−∇: ∙ P���`dV: = A primeira integral não se aplica a superfície de Gauss (S) pois esta foi escolhida no dielétrico.Usandoo Teorema da divergência Então � ∇: ∙ P��� dV: = = a P��� ∙ nc dt dItd#td! dA Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 11 Neri Alves a E��� d ∙ ncdA = Qε� + 1 ε� a P��� ∙ nc dA : dItd#td! − 1ε� a P��� ∙ ncdt dItd#td! dA Ou a E��� d ∙ ncdA = Qε� + 1 ε� a P��� ∙ nc dA : dItd#td! − 1ε� a P��� ∙ ncdt dItd#td! dA − 1ε� a P��� ∙ ncd dA Então a E��� d ∙ ncdA = Qε� − 1 ε� a P��� ∙ ncd dA Ou a ε�E��� d ∙ ncdA + a P��� ∙ nc d dA = Q O que pode ser escrito como: a (ε�E��� + P���) ∙ ncd dA = Q Se definirmos u��� = v�E��� + P���, sendo u��� o vetor deslocamento elétrico, podemos reescrever a integral como: a u��� ∙ nc d dA = Q Onde Q é a carga Real. Esta é a Lei de Gauss no dielétrico na forma integral. Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 12 Neri Alves Exercícios 1. Mostrar que o ∇´ = ∇´ 2. Partindo da relação do potencial para um dipolo elétrico φ(r�) = i���∙(;��<;´���)>?@Ax(;��<;´���)x! demonstre que a expressão produzido por o potencial num meio polarizado qualquer numa posição r� é dado por φ(r�) = />?@A P∮ z{ Z)´ x(;��<;´���)xd + | }{ Z�´ x(;��<;´���)x= Q. 3. Mostrar que a carga total de polarização em dielétrico é nula. 4. Sabendo o potencial produzido por um meio polarizado na posição r� exercício 2, calcule o campo elétrico nesta posição.Demonstre a lei de Gauss na forma integral para um meio dielétrico. 5. Uma barra de dielétrico de secção reta A estende-se ao longo do eixo de x=0 a x=L. A polarização da barra dá se ao longo de seu comprimento e é dada por baxPx += 2 . Encontre a densidade volumétrica de carga de polarização e a carga superficial de polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula neste caso. 6. Um cubo dielétrico de lado L tem uma polarização radial dada por rAP r r = , onde A é uma constante e kzjyixr ˆˆˆ ++=r . A origem do sistema de coordenadas se situa no centro do cubo. Encontre todas as densidades de carga de polarização (densidade da carga de volume e de cada superfície) e demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula. 7. Uma barra de dielétrico com a forma de um cilindro circular reto de comprimento L e raio R se polariza na direção de seu comprimento. Se a polarização for uniforme e de modulo P, calcule o campo elétrico resultante desta polarização num ponto sobre o eixo da barra. 8. Demonstre a seguinte relação entre a polarização , e as densidades de carga de polarização ρ9 e σ9 para uma amostra de dielétrica de volume V e superfície S. | P���dV= | ρ9r�dV += | σ9r�dad . Onde r� = xı̂ + yȷ̂ + zkO é o vetor p osição a partir de qualquer origem fixa. Sugestão desenvolva ∇ ∙ x′r� conforme a identidade vetorial ∇ ∙ _\A���` = \∇ ∙ A��� + A��� ∙ ∇′\
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