Eletromag Aula 1 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 1a Aula- “Analise vetorial “ 1 
 
Introdução 
Eletromagnetismo 2015 
25/10/2015 - 1a Aula 
 
Apresentação do curso 
Neste curso não se aborda todo o conteúdo de eletromagnetismo, más dá ao 
aluno a capacidade de estudá-lo. Estudar é a palavra mágica. Este é um curso formativo. 
Ajuda a desenvolver habilidades matemáticas, associando à modelagem dos conceitos. 
Ao final do curso o aluno perceberá que ganhou poder de interpretação e análise ao 
mesmo tempo em que domina os cálculos. 
O curso está montado de uma forma coesa, partindo de uma revisão matemática 
e chegando ao ponto de demonstrar as equações de Maxwell, incluindo aplicações em 
ondas planas. O conteúdo é apresentado numa sequência lógica e encadeada, sem faltar 
ou sobrar itens necessários à compreensão do assunto e sem perda de rigor matemático. 
A sequência deste curso, demonstrações e arranjos foram concebidos pelo prof. José 
Alberto Giacometti, que o ministrou para as turmas do curso de Licenciatura em Física, 
Faculdade de Ciência e Tecnologia da Unesp de Presidente Prudente (FCT-UNESP) 
por vários anos. Todo o conteúdo está distribuído em 12 módulos sendo apresentada ao 
final de cada um, uma lista de exercícios. 
Introdução ao Eletromagnetismo: 
O diagrama abaixo ilustra a evolução do eletromagnetismo, através da sequencia 
temporal dos cientistas que fizeram as mais importantes descobertas. A eletricidade e o 
magnetismo têm origem na Grécia antiga e evoluem, independentemente, até que 
Oersted, em 1820, mais de dois mil anos mais tarde, mostra que há uma conexão entre 
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eles. Da mesma forma a óptica evolui independentemente e, só 1875, eu Maxwell 
mostra que a luz é onda eletromagnética. Este é o ápice do eletromagnetismo, ponto até 
onde este curso alcança. O conteúdo e os métodos usados constituem a referência 
mínima para o estudante de física e a base para estudos mais avançados. 
O mais importante neste curso é o domínio dos cálculos, uma vez que o aluno já 
tem os conceitos básicos formulados desde o ensino médio e, principalmente, na física 
III. No entanto, ele perceberá como a sua compreensão se ampliará quando domina a 
capacidade de expressão matemática. 
 
Bibliografia 
1. Fundamentos da Teoria Eletromagnética 
Jonh R. Reitz, Frederick J. Milford e Robert W. Christy. Ed. Campus. 
2. Introduction to electrodynamics. Third edition. David J. Griffiths. Prentice Hall. 
1999, Nova Jersey. 
3. Classical eletromagnetismo. Robert H. Good. Saundeers Golden Sunburst Series. 
California State University, Havard. 
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Analise vetorial 
1a Parte 
Analise Vetorial 
A analise vetorial é uma ferramenta muito importante no curso de 
eletromagnetismo. Sua utilização simplifica a notação e facilita a visualização. Claro 
que para tanto é necessário o domínio das operações matemáticas associado à 
visualização de seu significado físico ou geométrico. 
Escalar 
 Um escalar é uma quantidade completamente determinada pela magnitude. Exemplos: massa, 
volume, densidade pressão, temperatura, tempo, posição. 
Campo Escalar 
Um campo escalar é uma função da posição que está completamente especificada pela sua 
magnitude. Exemplo: A temperatura na barra. 
 
T=T(x,y,z) 
 
Vetor 
O vetor é a representação matemática de uma grandeza que para ser completamente 
caracterizada precisa de um módulo, direção e sentido. Exemplo. deslocamento, 
velocidade, aceleração, força e 
 
 
 
 
 
 
 
Outro exemplo Gradiente de temperatura 
 
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Campo 
O campo é uma função de um vetor ou escalar que relaciona uma origem arbitrária a um ponto 
genérico do espaço. Diversos fenômenos físicos são associados aos conceitos de campo. 
Exemplo Campo gravitacional, campo magnético. O campo pode ser escalar ou vetorial. 
 
Campo Vetorial: função da posição completamente especificada pelo seu módulo direção e 
sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
Operações com vetores 
1. Adição e subtração 
 �⃗ = �⃗ + ��⃗ 
 
Sistema com coordenadas retangulares. 
 
 
Temperatura Gradiente de temperatura 
 
 
 
 
Escalar Vetor 
Se a temperatura é 
função de x, y e z pode 
ser transformada em 
um vetor. 
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Os vetores unitários: �,̂ �̂ e �� são adimensionais tal que	|�|̂ = |�̂| = ���� = 1 e tem a direção dos 
eixos x, y e z. 
Componente de um vetor 
 
Utilizando a regra do paralelogramo para soma de vetores, temos: 
A��⃗ = A�ı̂ + A�ȷ̂ + A�k� 
 
Seja: 
A��⃗ = A�ı̂ + A�ȷ̂ + A�k� 
e 
B��⃗ = B�ı̂ + B�ȷ̂ + B�k� 
Soma 
E o vetor resultante,	C�⃗ dado pela soma de A��⃗ e B��⃗ . 
C�⃗ = A��⃗ + B��⃗ 
 
Assim. 
C� = A� + B� 
C� = A� + B� 
C� = A� + B� 
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Subtração 
A��⃗ − B��⃗ = C�⃗ = A��⃗ + (−B)����⃗ 
À adição e de vetores aplica-se a propriedade comutativa. 
A��⃗ + B��⃗ + C�⃗ = 	A��⃗ + �B��⃗ + C�⃗ � = �A��⃗ + B��⃗ � + C�⃗ = (A��⃗ + C�⃗ ) + B��⃗ 
Obs. Não há a necessidade dos parênteses. 
 
2. Multiplicação 
 Multiplicação de um vetor por um escalar. 
Seja 
c → escalar, 
A��⃗ → vetor, 
Então: 
B��⃗ = cA��⃗ 
É um vetor com componentes, B� = cA� , B� = cA� e B� = cA�. 
 
 Multiplicação de um vetor por outro vetor resultando em escalar (produtor escalar); 
 
A��⃗ ∙ B��⃗ = �A��⃗ �	�B��⃗ �	cosθ= A�	B� + A�	B�+A�	B� 
O produto escalar é comutativo. 
Exemplo de produto escalar. 
� = F�⃗ ∙ d�⃗ = �F�⃗ �	�d�⃗ �	cosθ= F	d	cosθ 
 
Se A��⃗ 	⊥ B��⃗ → A��⃗ ∙ B��⃗ = 0 
Se A��⃗ //	B��⃗ = A��⃗ ∙ B��⃗ = �A��⃗ �	�B��⃗ � = AB 
|A|�����⃗ = 	�A��⃗ 	 ⋅ A��⃗ 
A��⃗ 	 ⋅ A��⃗ = �A��⃗ �
�
= A�	 
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O cálculo da componente de um vetor numa dada direção é uma das aplicações mais 
importantes do produto escalar. Seja um vetor unitário qualquer a� e o vetor B��⃗ . 
 
a� ⋅ a� = 1 
B��⃗ ⋅ a� = �B��⃗ �|a�|	Cos	θ�� = 	 �B��⃗ �	Cos	θ�� = B	Cos	θ�� 
 
 Multiplicação de um vetor por outro vetor resultando num vetor (produto vetorial). 
 
C�⃗ = A��⃗ 	× 	B��⃗ 
 
C�⃗ = �
	�̂ 	�̂ ��
A� A� A�
B� B� B�
�= (A�B� −	A�B�)	�̂ + (A�B� −	A�B�)	�̂ + �A�B� −	A�B��	�� 
 
Módulo de C�⃗ 
�C�⃗ � = �A��⃗ �		�B��⃗ �sen	θ�� 
Direção: O vetor C�⃗ dado pelo produto vetorial do vetor A��⃗ pelo vetor B��⃗ , é perpendicular ao 
plano formado pelos vetores A��⃗ e B��⃗ . 
Sentido: Regra da mão direita (parafuso). 
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A��⃗ 	× 	B��⃗ = −�B��⃗ × A��⃗ �	 
D = 	A��⃗ 	 ⋅ �B��⃗ 	× 	C�⃗ � = −	B��⃗ 	 ⋅ (A��⃗ 	× 	C�⃗ ) 
 
 
 
D��⃗ = 	A��⃗ 	× 	�B��⃗ 	× 	C�⃗ � = 	B��⃗ 	�A��⃗ 	 ⋅ C�⃗ � − C�⃗ 	(A��⃗ 	 ⋅ B��⃗ ) 
 
 
 
4. Derivadas vetoriais 
A��⃗ = A�ı̂ + A�ȷ̂ + A�k� 
d	A��⃗
dt
=
dA�	
dt
ı̂ +
dA�	
dt
ȷ̂ +
dA�	
dt
k� 
Exemplo 
 
Se r⃗ é dado por: 
r⃗ = r�ı̂ + r�ȷ̂ + r�k� 
v�⃗ =
dr⃗
dt
=
dr�	
dt
ı̂ +
dr�	
dt
ȷ̂ +
dr�	
dt
k� 
 
5. Integral de linha 
Um exemplo de integral de linha é o calculo do trabalho de uma força F, quando um 
corpo desloca devida a sua ação de um ponto 1 até um ponto 2. 
 
W = � F�⃗ ⋅ dl⃗
�
�
 
 
 
EscalarNão tem ponto e nem x, pois 
o produto a seguir é um 
escalar. 
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Seja F�⃗ = F�ı̂ + F�ȷ̂ + F�k� 
dl⃗ = d�ı̂ + d�ȷ̂ + d�k� 
F�⃗ ⋅ dl⃗ = F�d� + F�d� + F�d� 
W = � F�d�
�
�
+ � F�d�
�
�
+ � F�d�
�
�
 
 
Quando esta integral é realizada num caminho fecho o resultado é zero. O trabalho de forças 
conservativas não depende do caminho. 
W = �F�⃗ ⋅ dl⃗ = 0 
 
6. Integrais de Superfície 
 
ϕ = � A��⃗ ⋅ n�da
�
 
 
Obs: o vetor normal à superfície (n) é unitário. 
Quando se trata de uma superfície fechada, a integral será da forma: 
ϕ = � A��⃗ ⋅ n�da
�
 
 
Exemplos: Lei de Gaus (fluxo de campo elétrico) 
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 Movimento de fluidos. 
 
6. Gradiente de uma função escalar 
Seja 
φ = φ(x, y, z) 
 
Quando descrevemos os valores desta função para dois pontos muito próximos separados por 
um deslocamento infinitesimal dado por ds⃗ temos 
 
dφ
ds
= lim
��→�
φ(x + ∆x, y + ∆Y, z + ∆z) − φ(x, y, z)
∆s
 
 
dφ
ds
=
∂φ
∂x
dx
ds
+
∂φ
∂y
dy
ds
+
∂φ
∂z
dz
ds
 
 
dφ =
∂φ
∂x
dx +
∂φ
∂y
dy +
∂φ
∂z
dz 
 
ds⃗ = dx	ı̂ + dy	ȷ̂ + dz	k� 
lembrando que 
A��⃗ ∙ B��⃗ = A�	B� + A�	B�+A�	B� 
Temos que 
∂φ
∂x
	ı̂ +
∂φ
∂y
	ȷ̂ +
∂φ
∂z
	k� 	≡ ∇φ 
 
Onde ∇φ é o vetor chamado de gradiente da função φ, tal	que	 
dφ = ∇φ ⋅ ds⃗ 
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Assim: 
dφ =
∂φ
∂x
dx +
∂φ
∂y
dy +
∂φ
∂z
dz 
 
φ =
∂φ
∂x
dx +
∂φ
∂y
dy +
∂φ
∂z
dz 
 
 
1. Considere ds⃗ ao longo de uma curva com φ = cte. 
dφ� = ∇φ ⋅ ds⃗� 
mas dφ� = 0, pois assumimos φ = cte logo ∇φ	 ⊥ ds⃗� 
2. Considere ds⃗ em diferentes direções com o mesmo módulo. 
dφ� = ∇φ ⋅ ds⃗� 
dφ� = ∇φ ⋅ ds⃗� dφ� = |∇φ| ⋅ |ds⃗|	cos∅ 
dφ� = ∇φ ⋅ ds⃗� 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 1a Aula- “Analise vetorial “ 12 
 
 
Onde 
 
Então �φ depende de ∇φ e ds⃗ escolhido. 
Quando é máximo? 
Resp.: Quando ∅ = 0, e isto implica que ∇φ//ds⃗ 
Portanto, o vetor ∇φ aponta para a direção em que φ = φ(x, y, z) tem a maior variação. Em 
outras palavras o gradiente de uma função, ∇φ, é um vetor que nos “aponta” para a direção de 
maior variação da função. 
 
Gradiente 
	∇	= ı̂
∂
∂x
	+	 ȷ̂
∂
∂y
+ 	k� 	
∂
∂z
 
∇	f = ı̂
∂f
∂x
	ı̂ +
∂f
∂y
	ȷ̂ + 	
∂f
∂z
	k� 
|∇	f| = ��
∂f
∂x
�
�
+ �
∂f
∂y
�
�
	+	�
∂f
∂z
�
�
�
�
�
 
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df = 	∇	f ⋅ 	dl⃗ = |∇	f|�	dl⃗� cosθ. 
 
Exercícios 
1. Os vetores que vão desde a origem até os pontos A, B, C, D são 
�⃗ = �̂ + �̂ + �� 
��⃗ = 2�̂ + 3�̂ 
�⃗ = 3�̂ + 5�̂ − 2�� 
���⃗ = �� − �̂ 
Demonstre que as linhas �� e �� são paralelas. 
 
2. Calcule o produto escalar, o produto vetorial e o ângulo entre 
�⃗ = −�̂ + 7�̂ + 6��	 
��⃗ = −�̂ − 6�̂ + 6�� 
3. Demonstre que os vetores são perpendiculares. 
�⃗ = �̂ + 4�̂ + 3�� 
��⃗ = 4�̂ + 2�̂ − 4�� 
4. Demonstre que os vetores formam os lados de um triangulo reto. 
�⃗ = 2�̂ − �̂ + �� 
��⃗ = �̂ − 	3�̂ − 5�� 
�⃗ = 3�̂ − 4�̂ − 4�� 
5. Elevando ao quadrado ambos os lados da equação 
�⃗ = ��⃗ + �⃗ 
e interpretando geometricamente o resultado, prove a “lei dos cossenos”. 
6. Usando o produto escalar, encontre o co-seno do ângulo entre a diagonal principal 
de um cubo e uma das arestas do cubo. 
7. Demonstre que o vetor unitário normal à superfície de �(�⃗) = ��������� é 
�� =
∇�
|∇�|
 
Encontre �� para o elipsóide 
∇�
|∇�|
� = ��� + ��� + ���