Eletromag Aula 8 2015

Prévia do material em texto

Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
14/11/2015 - 8a Aula 
 
A Corrente Elétrica 
 
A corrente elétrica é definida por � =
��
��
 
 
 
Onde dQ é a carga que atravessa a área num intervalo de tempo dt. A corrente é um escalar e tem como 
unidade o ampere 
[�] = ���� =
������� 
���
 
 
Vetor densidade de corrente �⃗ 
Seja N a densidade de portadores de carga (
� 
� �
) ; v a velocidade vetorial dos portadores e q a carga dos 
portadores. A figura mostra cargas com velocidades vetoriais, mas lembra-se que a componente 
perpendicular ao filme, ou seja, paralela à superfície da secção reta, não contribui para a corrente. 
 
 
Considere que a figura anterior corresponda a uma parcela do volume maior, de um fio, como 
demonstrado na próxima figura 
 
Assim, a corrente que flui sobre o elemento de área da 
�� =
��
��
 
Onde 
� � =
�
��
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 2 
Prof. Neri Alves 
 
Vamos considerar vários portadores iguais e com a mesma velocidade. Assim � = �� �� , sendo � � = ��⃗ ∙ �� 
 
 
. 
� = ��⃗ ∙ �� �� 
Assim 
�� = ��∆ � 
 
e ∆ � = ��� 
∆ � = ��⃗ ∙ �� �� �� 
E 
�� = ����⃗ ∙ �� �� �� 
Como 
�� =
��
��
 
�� =
����⃗ ∙ �� �� ��
��
 
E 
 dI= ����⃗ ∙ �� �� 
 
De forma geral para vários tipos de portadores, com várias velocidades 
�� = � �������⃗ �� ∙ �� ��
�
 
O termo �������⃗ �� tem dimensão por corrente por unidade de área (
�
� �
�
�
�
=
�
� � �
=
�
� �
) . Então, define se o 
vetor densidade de corrente por 
�⃗ ≡ � ������⃗ �
�
 
E assim 
�� = �⃗ ∙ �� �� 
Ou seja 
� = � �⃗ ∙ �� ��
�
 
 
Equação da continuidade 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 3 
Prof. Neri Alves 
 
Seja a superfície S, fechada que define um volume V. Vamos supor que as cargas atravessam a superfície 
entrando no volume. 
A corrente que entra no volume é: 
 
 
� = − � �⃗ ∙ �� ��
�
 
O sinal de menos é colocado aqui pelo fato de que norma da superfície é para fora e estamos calculando a 
corrente para dentro. Pelo Teorema da Divergência podemos escrever 
 
� = − � �⃗ ∙ �� ��
�
= � ∇ ∙ �⃗ ��
�
 
Mas 
� =
��
��
 
e 
� =
�
��
∫ �� � �
�
 onde � = ∫ �� � �
�
 
 
Então 
� = �
��
� �
�� �
�
 
Aqui, ao passar para dentro da integral, deverá considerar derivada parcial pois � pode variar com o 
volume. 
e 
� = �
��
��
�� �
�
= � ∇ ∙ �⃗ ��
�
 
Finalmente 
∇ ∙ �⃗ =
��
��
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 4 
Prof. Neri Alves 
 
Esta é a denominada equação continuidade e na verdade se trata de uma equação da conservação da carga 
elétrica. 
 
Lei de ohm 
 
Experimentalmente monstram que a densidade de corrente J⃗ é proporcional ao campo para a maioria dos 
materiais 
�⃗ = ���⃗ 
Onde g é a condutividade. 
O caso mais geral pode ser representado como �⃗ = �(��⃗ )��⃗ . A resitividade é o inverso da condutividade e 
é dado por 
� =
1
�
 
Unidades 
[�] =
[�]
[�]
 
Onde unidades de [�] =
�
� �
 e unidades de [�] =
�
�
 logo 
[�] =
�
��
�
�
=
�
��
�
�
=
�
��
 
 
[� ] =
1
[�]
 
[� ] =
1
�
��
=
��
�
 
Onde 
� ����
��� é ��
=
� �
�
= 1 � ℎ � (Ω ) logo [� ] = Ω m e [�] =
�
� �
 
1
Ω m
= ������� 
 
 
Vamos fazer agora a analise das unidades de resistência. 
� = RI 
 
[� ] = [�][�] 
 
[�] =
[� ]
[�]
 
[�] =
�����
����
= Ω 
Unidade de condutância 
� =
1
�
 
[� ] =
1
[�]
 
 
[� ] =
1
Ω
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 5 
Prof. Neri Alves 
 
[� ] =
�
�
=
�
�
= = mho 
 
Exemplos 
 
Alumínio 2,65x10-8 Ω m 
Ferro 9,71x10-8 Ω m 
Grafite 1,4x10-5 Ω m 
Vidro 1010-1014 Ω m 
 
 
Considere uma amostra de condutor como sendo um fio reto, sob uma diferença de potencial Δ � = ���. 
Seja o fio homogêneo com g constante . 
 
 
O campo elétrico no fio será Δ � = ∫ ��⃗ .��⃗ 
A corrente será ao longo do fio, em todo o fio e longitudinal. Neste caso ��⃗ será constante na direção 
longitudinal, ou seja ao longo do fio. 
Logo 
Δ � = �� 
Mas o campo produz uma corrente I dada por 
I = � �⃗.�� �� 
Sendo que �⃗ é a secção reta do fio. Então temos 
I = �� 
Usando 
J = � � 
I = �� 
e 
Δ � = �� 
Temos 
J = � 
Δ �
�
 
I
�
= � 
Δ �
�
 
I = � 
�
�
Δ � 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 6 
Prof. Neri Alves 
 
Onde 
� = � 
�
�
 
Que é a denominada resistência do fio. Logo temos 
Δ � = �� 
 
Trabalho 
Quando uma carga Δ q se move através de uma diferença de potencial Δ � realiza-se um trabalho Δ W , 
então 
Δ W = Δ � Δ � 
 
lim
� �→ �
Δ W
Δ t
= lim
� �→ �
Δ �
Δ t
 Δ � 
 
P = I Δ � 
Como 
Δ � = �� 
Temos 
P = ��� 
Ou 
P =
Δ �
��
 
 
 
Equilíbrio eletrostático nos metais 
 
 A seguir analisaremos o transiente que ocorre num material condutor quando adiciona uma 
quantidade de carga a ele até que entre em equilíbrio. 
 
∇ ∙ �⃗ +
��
��
= 0 
Mas pela Lei de Ohm 
J⃗ = � ��⃗ 
∇ ∙ � ��⃗ +
��
��
= 0 
� ∇ ∙ ��⃗ +
��
��
= 0 
Como 
∇ ∙ ��⃗ =
�
��
 
� 
�
��
+
��
��
= 0 
Rearranjando 
��
��
+ � 
�
��
= 0 
Que é uma equação diferencial parcial cuja solução para g=cte é 
� (� ,� ,� ,�) = � �(� ,� ,� ,�)�
�
� �
�
 
Onde � ( � ,� ,� ,�) é a densidade volumétrica de carga, e 
�
� �
 tem dimensão de tempo (�
�
� �
� = ��� ), e é 
denominado constante de tempo ou tempo de relaxação tC do meio. 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 7 
Prof. Neri Alves 
 
�� =
�
�
 ou �� = �� 
A maioria dos materiais não metálicos tem que �� < � < 10 �� e para aplicações em que �� < 0 ,1 � é 
suficiente que a resitividade seja menor que 109ou 1010 Ω m . 
�� = 10 .8 ,85 � 10
� �� �
�
.10 � Ω � e assim �� ≅ 0 ,1 � 
Os metais tem um valor de �� < 0 ,1
� �� � . 
 
Campos Magnéticos de Correntes estacionárias 
 
Quando temos carga em repouso, temos a força elétrica 
�⃗� =
1
4 � ��
���
��
� ̂
A direção da força está sob a linha que une as duas cargas. 
Ou 
�⃗� = ���⃗ 
E assim 
��⃗ =
1
4 � ��
�
��
� ̂
Para uma carga em movimento temos a força 
 
Neste caso há uma força magnética, que representaremos por força magnética na carga q, �⃗�
�
 dado por 
�⃗�
� =
��
4 �
���
��
�⃗ × ( �⃗� × �)̂ 
 
Onde �� é a permissividade magnética do vácuo. 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 8 
Prof. Neri Alves 
 
[��] =
�.��
��
��
� �
=
�� �
��
 (�� ) 
 
O valor da permissividade magnética no vácuo é �� = 10
� � � �
�
��
 . Este valor é resultado de observações 
experimentais. A força magnética não está ao longo da linha que une as duas cargas. Para a força elétrica 
vimos que podemos escrever 
�⃗� = ���⃗ onde ��⃗ = lim � → �
�⃗
�
. Analogamente temos 
�⃗�
�
= ��⃗ × ��⃗ 
Onde q é a carga teste, �⃗ a sua velocidade. E assim a indução magnética ��⃗ é definida como 
��⃗ =
��
4 �
 
��
��
(�⃗� × �)̂ 
Observações sobre A força magnética �⃗�
�
: 
1. não é ao longo de �⃗; 
2. está no plano de �⃗� e �;̂ 
3. é perpendicular à velocidade �⃗�
�
⊥ �⃗, pois �⃗�
�
= ��⃗ × ��⃗ ; 
4. como a força �⃗��
é perpendicular à velocidade �⃗ e tangente ao deslocamento, não realiza trabalho. 
� ��� = � �⃗� ∙ ��⃗ = 0 
� ��� = �⃗� ∙ �⃗ = 0 
 
Forma geral: “Força de Lorentz” 
 
�⃗ = ����⃗ + �⃗ × ��⃗ � 
 
Analise da expressão da força magnética. 
�⃗�
�
=
��
4 �
���
��
�⃗ × (�⃗� × �)̂ 
��
��
 
Ao multiplicar e dividir a expressão da força magnética por ��, como destacado na equação abaixo 
e rearranjando temos 
�⃗�
�
= ���� 
���
4 � ���
�
 �⃗ × ( �⃗� × �)̂ 
Onde o termo 
� � �
� � � � � �
 é a força elétrica e portanto tem dimensão de força ( 
[�]) e o termo o termo �⃗ × ( �⃗� × �)̂ tem dimensão de velocidade ao quadrado ([�
�]). Assim as no 
SI, as unidades de , [����], é: 
[����] =
�� �
��
�
�
 
Onde F é Faraday, unidade de capacitância, C é coulomb, unidade de carga, e as outras são as 
usuais. 
Qual a dimensão de � =? Sabemos que é uma unidade de capacitância, � = [��� ], onde vale 
Q=CV, logo: 
 
 
[�] =
[� ]
[� ]
=
�������
�����
=
�
�
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 9 
Prof. Neri Alves 
 
[����] =
�� �
��
�
�
�
=
�� �
��
�
��
=
�� �
���
 
Sendo N uma unidade de força 
N=[���ç � ] 
F=qE 
[���ç � ] = �
�
�
 
Então 
[����] =
�
�
� �
�
�
��
=
� �
��
 
Logo 
�
�
� � � �
� =
� �
� �
 tem dimensão de velocidade ao quadrado. 
E experimentalmente observa-se que o valor de ���� =
�
��
 onde C é a velocidade da luz e vale �� =
2 ,99 � 10 �
�
�
. 
Então pode se escrever que 
 
��⃗�
�
�
��⃗� �
≪
�
�
��
�
 
Para velocidades v<<c a interação magnética será muito menor que a interação elétrica. 
Macroscopicamente, numa corrente de condução onde existe cargas positivas e cargas negativas em 
iguais quantidades ��⃗ ≈ 0 mas ��⃗ ≠ 0 . Como exemplo podemos citar motores, transformadores e 
eltroimas. 
Vamos pois estudar a interação magnética na corrente de condução. 
 
Força magnéticas sobre condutores em que circulam correntes. 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 10 
Prof. Neri Alves 
 
 
 
 
dl é o elemento de comprimento do fio onde á uma carga dq que produz uma força ��⃗, devido a presença 
do campo ��⃗ . 
��⃗ = �� �⃗ × ��⃗ 
Mas 
�� = �� ���⃗�� 
Onde N é o número de portadores por volume, qu é a carga e A a área de secção transversal e v a 
velocidade de cargas. 
��⃗ = �� ���⃗�� �⃗ × ��⃗ 
Como ��⃗//�⃗ podemos escrever 
��⃗ = ��� |�⃗| ��⃗ × ��⃗ 
Onde 
� = ��� |�⃗| é o modulo da corrente no fio. 
Logo 
��⃗ = � ��⃗ × ��⃗ 
Ou 
�⃗ = � � ��⃗ × ��⃗
���
 
Como a integral é feita ao longo do comprimento do fio, no qual a corrente, I, não pode variar, então I sai 
da integral. Se tivermos um circuito fechado, C, como por exemplo em uma espira, pode-se escrever que: 
�⃗ = � � ��⃗ × ��⃗
�
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 8a Aula- “A corrente Elétrica “ 11 
Prof. Neri Alves 
 
 
E no caso particular em que o campo ��⃗ = ��� ao longo do circuito fechado, então ele fica fora da 
integral, mas a ordem do produto vetorial deve ser mantida assim, escreve-se que: 
�⃗ = � �� ��⃗
�
� × ��⃗ 
Mas a integral ∮ ��⃗
�
= 0 , pois se trata de um circuito fechado. Então 
�⃗ = 0 
Exercícios 
1. Demonstre as devidas considerações demonstre que 
S
danˆ.JI

 
2. Usando a definição da corrente elétrica e que ela é dada por 
S
danˆ.JI

 mostre 0



t
J

. 
J

 é a densidade de corrente,  a densidade de carga e S a superfície atravessada pela corrente 
elétrica. 
3. A partir da expressão �⃗ = ���⃗ demonstre que para um fio você pode escrever, � = �� e P = I Δ � 
ou P = ���. 
4. Mostre a relação entre ��, �� e C. 
 
5. Demonstre e discuta apropriadamente a afirmação de que 
��⃗�
�
�
��⃗��
≪
�
�
��
�
 . 
6. Mostre que a força magnética exercida sobre um fio percorrido por uma corrente elétrica I é dada 
por 
 
fio
BdIF



, onde B

 é o vetor indução magnético. 
7. Mostre que a força magnética exercida sobre um fio, rígido, que forma um circuito fechado, ou 
seja uma espira, percorrido por uma corrente elétrica I inserido em campo magnético dado B

 é 
nulo.