Eletromag Aula 12 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 12a Aula- “Generalização da Lei de Ampère”e Energia Eletromagnética “
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Prof. Neri Alves 
 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
15/01/2016 - 12a Aula 
 
Generalização da Lei de Ampere ou “Corrente de deslocamento de Maxwell” 
U� =
1
2
	� E��⃗ ∙ D��⃗ 	dv
�
 
U��� =
1
2
	� H��⃗ ∙ B��⃗ 	dv
�
 
Usando que 
∇ × H��⃗ = J⃗ +
∂D��⃗
∂t
 
e 
∇ × E��⃗ = −
∂B��⃗
∂t
 
E multiplicando isoladamente a primeira por E��⃗ e a segunda por H��⃗ . Têm-se: 
+ 
E��⃗ ∙ �∇ × H��⃗ � = E��⃗ ∙ �J⃗ +
∂D��⃗
∂t
� 
−�H��⃗ ∙ �∇ × E��⃗ �� = −�−H��⃗ ∙ �
∂B��⃗
∂t
�� 
 E��⃗ ∙ �∇ × H��⃗ � − H��⃗ ∙ �∇ × E��⃗ � 
E��⃗ ∙ �J⃗ +
∂D��⃗
∂t
� + H��⃗ ∙ �
∂B��⃗
∂t
� 
 
Usando a identidade vetorial 
∇ ∙ �H��⃗ × E��⃗ � = E��⃗ ∙ ∇ × H��⃗ − H��⃗ ∙ ∇ × E��⃗ 
 
Logo 
∇ ∙ �H��⃗ × E��⃗ � = E��⃗ ∙ �J⃗ +
∂D��⃗
∂t
� + H��⃗ ∙ �
∂B��⃗
∂t
� 
Ou 
∇ ∙ �H��⃗ × E��⃗ � = E��⃗ ∙ J⃗ + E��⃗ ∙
∂D��⃗
∂t
+ H��⃗ ∙
∂B��⃗
∂t
 
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Para simplificar, vamos admitir que se trata de um meio linear, onde: 
D��⃗ = εE��⃗ 
e 
 
B��⃗ = μH��⃗ 
Sendo ε e μ constantes. 
 
Assim 
H��⃗ ∙
∂B��⃗
∂t
= H��⃗ ∙
∂�μH��⃗ �
∂t
=
1
2
∂μH�
∂t
	ou			
∂
∂t
�
1
2
H��⃗ ∙ B��⃗ � 
Inserção 
 
 
 
Fim da inserção 
e 
E��⃗ ∙
∂D��⃗
∂t
= E��⃗ ∙
∂�εE��⃗ �
∂t
=
1
2
∂εE�
∂t
	ou			
∂
∂t
�
1
2
E��⃗ ∙ D��⃗ � 
Então 
∇ ∙ �H��⃗ × E��⃗ � =
∂
∂t
�
1
2
E��⃗ ∙ D��⃗ +
1
2
H��⃗ ∙ B��⃗ � + J⃗ ∙ E��⃗ 
Integrando sobre um volume finito. 
� ∇ ∙ �H��⃗ × E��⃗ �
�
dv =
∂
∂t
� �
1
2
E��⃗ ∙ D��⃗ +
1
2
H��⃗ ∙ B��⃗ �
�
dv + � J⃗ ∙ E��⃗
�
dv 
Usando o teorema da divergência 
� �H��⃗ × E��⃗ � ∙ n�da
�
=
∂
∂t
� �
1
2
E��⃗ ∙ D��⃗ +
1
2
H��⃗ ∙ B��⃗ �
�
dv + � J⃗ ∙ E��⃗
�
dv 
H� = �H��⃗ �
�
= H��⃗ ∙ H��⃗ 
∂H�
∂t
=
∂H��⃗ ∙ H��⃗
∂t
= H��⃗ ∙
∂H��⃗
∂t
+
∂H��⃗
∂t
∙ H��⃗ = 2H��⃗ ∙
∂H��⃗
∂t
 
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O integrando 
�
�
�E��⃗ ∙ D��⃗ + H��⃗ ∙ B��⃗ � corresponde a densidade de energia eletromagnética e o último termo 
é a energia dissipada por efeito joule. 
 Escrevendo de outra forma a integral acima podemos entender melhor o sentido de ∫ �H��⃗ ×
�
E��⃗ � ∙ n�da. 
∂
∂t
� u
�
dv = −� �E��⃗ × H��⃗ � ∙ n�da
�
− � J⃗ ∙ E��⃗
�
dv 
 
A energia eletromagnética está variando. Para onde vai? O último termo é a taxa de perda por efeito 
Joule. Ma o primeiro termo, qual o seu significado? 
 
Reescrevendo 
−
∂
∂t
�� u
�
dv� = � �E��⃗ × H��⃗ � ∙ n�da
�
+ � J⃗ ∙ E��⃗
�
dv 
 
O termo ∮ �H��⃗ × E��⃗ � ∙ n�da
�
	 deve ser então a perda de energia através da superfície S. PortantoH��⃗ × E��⃗ , 
deve ser a taxa do fluxo de energia eletromagnética. 
S�⃗ = E��⃗ × H��⃗ 
Que é denominado de Vetor de Poyting. 
Assim podemos escrever que 
∇ ∙ S�⃗ +
∂u
∂t
= −J⃗ ∙ E��⃗ 
E se não houver efeito joule 
∇ ∙ S�⃗ +
∂u
∂t
= 0 
Que é a equação da Continuidade da energia. 
 
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Equação de onda 
 
∇ × H��⃗ = J⃗ +
∂D��⃗
∂t
 
∇ × �∇ × H��⃗ � = ∇ × �J⃗ +
∂D��⃗
∂t
� = ∇ ×	 J⃗ + ∇ ×
∂D��⃗
∂t
 
Sendo 
J⃗ = gE��⃗ 
D��⃗ = �E��⃗ 
B��⃗ = μH��⃗ 
Tem-se 
∇ × �∇ × H��⃗ � = g	∇ × E��⃗ + �
∂(∇ × E��⃗ )
∂t
 
Onde 
g → condutividade 
μ→ permeabilidade magnética 
ε→ permeabilidade elétrica 
Mas 
∇ × E��⃗ = −
∂B��⃗
∂t
 
Então 
∇ × �∇ × H��⃗ � = −g
∂B��⃗
∂t
− �
∂�B��⃗
∂t�
 
Ou 
∇ × �∇ × H��⃗ � = −gμ
∂H��⃗
∂t
− �μ
∂�H��⃗
∂t�
 
Usando a identidade 
 
∇ × �∇ × H��⃗ � = ∇�∇.H��⃗ � − ∇�H��⃗ 
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∇�∇. H��⃗ � − ∇�H��⃗ = −gμ
∂H��⃗
∂t
− �μ
∂�H��⃗
∂t�
 
Onde 
∇�∇.H��⃗ � = 0 pois �∇. B��⃗ � = 0 e B��⃗ = μH��⃗ . 
Então 
∇�H��⃗ + �μ
∂�H��⃗
∂t�
+ gμ
∂H��⃗
∂t
= 0 
E similarmente 
∇�E��⃗ + �μ
∂�E��⃗
∂t�
+ gμ
∂E��⃗
∂t
= 0 
Só vale para meios com ρ = 0. 
É evidente que E��⃗ varia no espaço e com o tempo, E��⃗ = E��⃗ (r⃗, t). 
Estas são as equações de ondas de Maxwell aplicadas a meios lineares. As soluções para tais 
equações é do tipo (para o campo elétrico): 
E��⃗ (r⃗, t) = E��⃗ (r⃗)e���� 
Esta equação vale para uma onda monocromática (única frequência), e a variação temporal está 
separada da variação espacial. A solução de interesse corresponde a parte real de E��⃗ (r⃗, t). temos que: 
∂E��⃗ (r⃗, t)
∂t
= −jE��⃗ (r⃗)e���� 
∂�E��⃗ (r⃗, t)
∂t�
= ω�E��⃗ (r⃗)e���� 
e 
∇�E��⃗ = e����		∇�E��⃗ (r⃗) 
Então 
e�����∇�E��⃗ (r⃗) + gμE��⃗ (r⃗) − ω�μ�E��⃗ (r⃗)� = 0 
Ou 
∇�E��⃗ (r⃗) + gμE��⃗ (r⃗) − ω�μ�E��⃗ (r⃗) = 0 
Assumindo que os meios são lineares e não possui condutividade, temos g=0, então: 
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∇�E��⃗ (r⃗) − μ�ω�E��⃗ (r⃗) = 0 
E este meio for o vácuo, teremos 
∇�E��⃗ (r⃗) − μ���ω
�E��⃗ (r⃗) = 0 
Para simplificar, vamos analisar esta equação para uma dimensão, considerando que o campo elétrico 
está na direção x e varia com y e z. 
E��⃗ (r⃗) = E�ı ̂
e como 
∇�E��⃗ (r⃗) =
����
���
+
����
���
+
����
���
 se E� não depende de y e z. 
 
∂�E�
∂x�
− �
ω
v
�
�
E� = 0 
Onde v é a velocidade de propagação da onda eletromagnética no meio, 
μ� =
1
v�
 
 
v =
1
√μ�
 
 e se o meio for o vácuo temos 
c =
1
���
= 2,99x10�m/s 
 
Índice de refração 
Sabendo que 
v =
�
√��
 e c =
�
�����
 
e escrevendo 
μ = k�μ� 
ε = k�ε� 
temos 
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v =
1
�k�μ�k�ε�
=
1
�k�k�
1
�μ�ε�
 
v = c
1
�k�k�
 
Se n for definido como o indicie de refração do meio, temo �k�k� ≡ n e daí 
v = c
1
n
 
Se o meio for o vácuo k� = k� = 1, e portanto v=c 
Exercicios 
1. A partir do rotacional do campo elétrico mostre que para um meio onde não haja distribuição 
volumétrica de cargas ( 0 E

), vale a expressão 0
2
2
2 






t
E
g
t
E
E


 onde μ e ε são 
respectivamente a permissividade magnética e dielétrica, e g a condutividade elétrica do 
meio. Considere ainda que EgJ

 , ED

 e HB

 . Comente o que significa a equação que 
acaba de demonstrar. Sugestão: Aplique o operador rotacional na expressão E

 e compare 
com a expressão H

 .