exercicios 3

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA E INFORMA´TICA
LICENCIATURA EM FI´SICA
Estatı´stica B
Terceira Lista de Exerc´ıcios - Setembro de 2016
Prof. Antonio Samuel Alves da Silva
1. Seja X uma varia´vel aleato´ria associada a um experimento em que se obte´m dois poss´ıveis resultados, sucesso (X = 1)
ou fracasso (X = 0). Esta varia´vel tem func¸a˜o de probabilidade dada por
x 0 1
P(X=x) 1− p p
em que p (0 < p < 1) e´ a probabilidade de sucesso. Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada, o valor esperado e
a variaˆncia de X.
2. Uma varia´vel aleato´ria tem func¸a˜o de probabilidade dada por:
P (X = x) =
k
x
, para x = 1, 3, 5, 7.
(a) Calcule o valor de k.
(b) Calcule P(X=5).
3. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara treˆs vezes mais frequente do que coroa. Essa moeda e´ lanc¸ada
treˆs vezes. Seja X o nu´mero de caras obtidas. Estabelecer a distribuic¸a˜o de probabilidade e a func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada da varia´vel aleato´ria X.
4. Uma urna conte´m 5 bolas brancas e 3 bolas pretas. Extraem-se treˆs bolas aleatoriamente da urna, sem reposic¸a˜o.
Determinar a distribuic¸a˜o de probabilidade e a func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da varia´vel aleato´ria X que representa
o nu´mero de bolas brancas extra´ıdas da urna. Qual a probabilidade de se extrair no ma´ximo duas bolas brancas?
5. Uma varia´vel aleato´ria tem a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =
{
kx2, se 0 ≤ x < 1
0, caso contra´rio.
Obtenha o valor de k de modo que f(x) seja uma func¸a˜o densidade de probabilidade. Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o
acumulada de X.
6. A durac¸a˜o em horas de uma laˆmpada e´ uma varia´vel aleato´ria T , cuja func¸a˜o densidade de probabilidade e´
f(t) =
{
1
1000e
−t/1000, se t ≥ 0
0, caso contra´rio.
Calcular a probabilidade de uma laˆmpada:
(a) queimar antes de 1000 horas;
(b) durar entre 800 e 1200 horas.
7. A func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada de uma varia´vel cont´ınua X e´ dada por
F (x) =
{
1− e−2x, sex ≥ 0
0, caso contra´rio.
(a) Determinar a func¸a˜o densidade de probabilidade de X.
(b) Calcular a P (−3 < X ≤ 4).
8. Uma varia´vel aleato´ria tem func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) =

k, se 0 ≤ x ≤ 2
k(x− 1), se 2 < x ≤ 4
0, caso contra´rio.
Determinar k e E(X).
9. A varia´vel aleato´ria X tem func¸a˜o densidade de probabilidade dada por:
f(x) =
{
6(x− x2), se 0 ≤ x ≤ 1
0, caso contra´rio.
Calcule P (µX − 2σX < X < µX − 2σX), em que µX e σX sa˜o respectivamente a me´dia e o desvio padra˜o de X.
10. Suponha que X seja uma varia´vel aleato´ria de modo que E(X) = 10 e V ar(X) = 25. Para quais valores positivos de
a e b deve a varia´vel aleato´ria Y = aX − b ter valor esperado igual a 0 e variaˆncia igual a 1?
11. A func¸a˜o densidade de probabilidade de uma varia´vel aleato´ria X e´ dada por
f(x) =

1
2
x, se 0 < x < 2
0, caso contra´rio.
Seja Y = 3X2− 2X. Determinar o valor esperado da varia´vel aleato´ria Y , a partir do conhecimento da distribuic¸a˜o de
probabilidade da varia´vel aleato´ria X.