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Cap 1 (Vetores de Força)

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Universidade Federal de São CarlosUniversidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Cap. 1Cap. 1 Vetores de ForçaVetores de Força
Prof. André Luis ChristoforoProf. André Luis Christoforo
Cap. 1Cap. 1 Vetores de ForçaVetores de Força
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
01
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Representação de uma Grandeza Escalar:
Vetores de Força:
- Módulo
- Direção
- Sentido
Lei dos Senos e dos Cossenos:
02
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo:
- O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a
aplicação da regra do paralelogramo.
Força Resultante? 
03
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Exercícios:
1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2.
Determine o módulo e a direção da força resultante FR.
04
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
- Determinação de FR:
- Determinação de α:
- Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por:
05
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com
problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante FR é igual a
30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC.
06
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
07
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Sistemas de Forças Coplanares – Vetores cartesianos:
- Obtenção das
componentes de R
em relação aos
eixos de interesse:
- Adição de forças vetoriais: 
- Decomposição de forças: 
08
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Redução a uma única força resultante:
(decomposição de cada força(sistema de forças) (força resultante) (decomposição de cada força
nas direções de x e y)
(sistema de forças) (força resultante) 
- Vetores Cartesianos: 
- Força resultante: 
(soma vetorial)
09
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Módulo e direção da força resultante:
- Módulo da força resultante: - Módulo da força resultante: 
- Direção da força resultante: 
10
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Exercícios:
3) O elo da figura abaixo está submetido as forças F1 e F2. Determine a 
intensidade e a orientação da força resultante FR.
(Resolução)
11
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
(Módulo de FR)
(Direção de FR)
12
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
4) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e 
coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante FR.
(Resolução)
13
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
14
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Adição e subtração de vetores cartesianos:
- Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes 
ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z.
- A quantidade de componentes depende de como o 
vetor está orientado em relação a esses eixos.
- Sistema de coordenadas utilizando a regra da mão 
direita.
15
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(Módulo de u = 1)- Vetor Unitário ( ):
( ); ; � � �i j k- Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários é usado para 
designar as direções dos eixos x, y e z, respectivamente.
� Vetor de A
�
A
�
Vetor de 
Para um Vetor ( ) :� �AA u AA A u= ⋅
�
�
Versor de A
� Vetor de A
Para um Vetor ( ) :� �FF u FF F u= ⋅
�
�
(Notação muito útil)
16
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- Representação
de um vetor
cartesiano:
- Ângulos diretores
coordenados:
17
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
- Obtenção dos ângulos diretores coordenados:
18
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
- Sistema de forças concorrentes:
19
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
5) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força
resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura
Exercícios:
20
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
(versor da resultante )
21
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6) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os
ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR
atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.
- Determinação de :2F
�
(Módulo de )2F
�
22
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- Ângulos diretores de :2F
�
23
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Vetores posição, vetor força orientado ao longo de 
uma reta e aplicação do produto escalar :
- Vetor posição:
- O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana.
- O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do 
espaço em relação a outro.
�
r
24
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- Vetor posição entre dois pontos A e B e fora da origem:
- O vetor posição é calculado a partir da subtração das coordenadas x, y, z das
extremidades dos vetores em análise.
- O vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois pontos no 
espaço.
25
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
- Aplicação do vetor posição:
- Vetor força orientado ao longo de uma reta:
(Notação muito útil)
26
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
Exercícios:
7) A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B. Determine seu
comprimento e sua direção, medidos de A para B.
27
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
28
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
8) A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se
que a força no cabo em A é igual a 500N. Expresse essa força como
um vetor cartesiano.
29
Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 
- Produto Escalar:
(ângulo)
(resultados)
Em determinados problemas de estática é necessário se determinar o ângulo
formado entre duas retas ou então os componentes paralelo e perpendicular
de uma força em relação a um eixo.
- Componentes Paralela e Perpendicular de um vetor:
(ângulo)
30
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Exercício:
9) A estrutura mostrada na figura está submetida a uma força horizontal.
Determine a intensidade dos componentes dessa força paralela e perpendicular
ao elemento AB.
?
?
(origem)
31
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