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Universidade Federal de São CarlosUniversidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil Cap. 1Cap. 1 Vetores de ForçaVetores de Força Prof. André Luis ChristoforoProf. André Luis Christoforo Cap. 1Cap. 1 Vetores de ForçaVetores de Força Material didático adaptado/modificado das obras de: - Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula. - Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. - Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p. 01 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Representação de uma Grandeza Escalar: Vetores de Força: - Módulo - Direção - Sentido Lei dos Senos e dos Cossenos: 02 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Soma Vetorial – Regra do Paralelogramo: - O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a aplicação da regra do paralelogramo. Força Resultante? 03 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Exercícios: 1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante FR. 04 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Determinação de FR: - Determinação de α: - Com relação ao eixo x positivo, o ângulo θ é dado por: 05 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante FR é igual a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC. 06 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 07 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Sistemas de Forças Coplanares – Vetores cartesianos: - Obtenção das componentes de R em relação aos eixos de interesse: - Adição de forças vetoriais: - Decomposição de forças: 08 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Redução a uma única força resultante: (decomposição de cada força(sistema de forças) (força resultante) (decomposição de cada força nas direções de x e y) (sistema de forças) (força resultante) - Vetores Cartesianos: - Força resultante: (soma vetorial) 09 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Módulo e direção da força resultante: - Módulo da força resultante: - Módulo da força resultante: - Direção da força resultante: 10 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Exercícios: 3) O elo da figura abaixo está submetido as forças F1 e F2. Determine a intensidade e a orientação da força resultante FR. (Resolução) 11 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br (Módulo de FR) (Direção de FR) 12 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 4) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante FR. (Resolução) 13 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 14 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Adição e subtração de vetores cartesianos: - Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z. - A quantidade de componentes depende de como o vetor está orientado em relação a esses eixos. - Sistema de coordenadas utilizando a regra da mão direita. 15 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br (Módulo de u = 1)- Vetor Unitário ( ): ( ); ; � � �i j k- Em três dimensões, o conjunto de vetores unitários é usado para designar as direções dos eixos x, y e z, respectivamente. � Vetor de A � A � Vetor de Para um Vetor ( ) :� �AA u AA A u= ⋅ � � Versor de A � Vetor de A Para um Vetor ( ) :� �FF u FF F u= ⋅ � � (Notação muito útil) 16 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Representação de um vetor cartesiano: - Ângulos diretores coordenados: 17 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Obtenção dos ângulos diretores coordenados: 18 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Sistema de forças concorrentes: 19 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 5) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura Exercícios: 20 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br (versor da resultante ) 21 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 6) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. - Determinação de :2F � (Módulo de )2F � 22 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Ângulos diretores de :2F � 23 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Vetores posição, vetor força orientado ao longo de uma reta e aplicação do produto escalar : - Vetor posição: - O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana. - O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro. � r 24 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Vetor posição entre dois pontos A e B e fora da origem: - O vetor posição é calculado a partir da subtração das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em análise. - O vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois pontos no espaço. 25 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Aplicação do vetor posição: - Vetor força orientado ao longo de uma reta: (Notação muito útil) 26 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Exercícios: 7) A corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B. Determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B. 27 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 28 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br 8) A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a força no cabo em A é igual a 500N. Expresse essa força como um vetor cartesiano. 29 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br - Produto Escalar: (ângulo) (resultados) Em determinados problemas de estática é necessário se determinar o ângulo formado entre duas retas ou então os componentes paralelo e perpendicular de uma força em relação a um eixo. - Componentes Paralela e Perpendicular de um vetor: (ângulo) 30 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br Exercício: 9) A estrutura mostrada na figura está submetida a uma força horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa força paralela e perpendicular ao elemento AB. ? ? (origem) 31 Prof. André Luis Christoforo – e-mail: alchristoforo@yahoo.com.br
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