Cap 5 (Análise Estrutural)

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Universidade Federal de São CarlosUniversidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Cap. 5Cap. 5 ANÁLISE ESTRUTURALANÁLISE ESTRUTURAL
Prof. André Luis ChristoforoProf. André Luis Christoforo
Cap. 5Cap. 5 ANÁLISE ESTRUTURALANÁLISE ESTRUTURAL
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
- Christoforo, A. L. Notas de Aula.
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Treliças planas:
- A treliça é uma estrutura de elementos de barra ligados entre si pelas
extremidades (nós), com geometria triangular base que confere rigidez a
estrutura.
- Geralmente os elementos de uma treliça são de madeira ou de aço e em
geral são unidos por uma placa de reforço com mostrado na figura.
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- As treliças planas são aquelas que se apresentam em um plano e geralmente
são utilizadas em estruturas de telhados e pontes.
- As forças nas treliças são aplicados sempre nos seus nós, de maneira que
os seus elementos estruturais esteja submetidos a forças de tração (T) ou
compressão (C), em razão das rótulas não restringirem momentos.
(OK!)
(livre para girar -
nó de treliça)
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Resolução de treliças planas:
- Método dos nós:
- A análise é realizada a partir do diagrama de corpo livre de CADA NÓ
que compõe a treliça, consistindo em análise de equilíbrio de ponto
material, o que se resume em somar forças e impor nulidade da
resultante. (nó B) 
?
? (ponto material)
(redundante)
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- Método das seções:
- O método das seções consiste em fazer um corte hipótético na estrutura
separando-a em duas partes. O corte deve ser efetuado escolhendo-se as barras
da qual se pretende obter os esforços normais (tração; compressão). Escolher
uma das partes seccionadas e aplicar as equações da estática para equilíbrio de
corpo extenso (somatória de forças e momentos).
FBC = ? ; FGC = ?; FGF = ?
(reação)(ação)
(corte hipotético)
Observações:
- A estrutura da figura (a) é isostática externa e internamente;
- A estrutura da figura (b) é isostática externamente e 1 vez hiperestática
internamente;
- A estrutura da figura (c) é 1 vez hiperestática interna e externamente;
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Exercícios:
1) Determine os esforços normais nas barras da estrutura plana treliçada
da figura abaixo pelo método do equilíbrio de nó. Indique se o esforço em
cada barra é de tração ou compressão.
(Diagrama de corpo-livre)
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( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 3 1 3
3 3
1 1
0 6 0 6,0 ( )
0 20 0 20
0 6 1,5 4,0 20 2,0 0 12,25
. (III) em (II), tem-se:
12,25 20 7,75
H Hx
y V V V V
A V V
V V
F R R kN I
F R R R R II
M R R kN III
Subst
R kN R kN
= ⇒ − + = ⇒ =
= ⇒ + − = ⇒ + =
= ⇒ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⇒ =
+ = ⇒ =
∑
∑
∑
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- Convenção para os esforços normais:
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- Equilíbrio dos nós:
- Escolher sempre o nó na estrutura contendo apenas duas incógnitas
(2 equação de equilíbrio – ponto material).
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( )
( ) ( )
3 1 3 1
3 3 3
0,60
1 1 1
0 6,0 cos 0 0,80 6 ( )
0 7,75 0 12,91 ou 12,91 (II)
. (II) em (I) obtem-se:
0,80 ( 12,91) 6 16,36 ou 16,36 ( ) 
x
y
F N N N N I
F N sen N kN N kN C
Subst
N N kN N kN T
θ
θ
= ⇒ − + ⋅ + = ⇒ ⋅ + =
= ⇒ ⋅ + = ⇒ = − =
⋅ − + = ⇒ = + =
∑
∑
���
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( )
( ) ( )
2 5
5 5 5
0,60
2 2 2
0 cos 0 ( )
0 12,25 0 20,42 ou 20,42 (II)
. (II) em (I) obtem-se:
20,42 0,80 0 16,36 ou 16,36 (T)
x
y
F N N I
F N sen N kN N kN C
Subst
N N kN N kN
θ
θ
= ⇒ − − ⋅ =
= ⇒ ⋅ + = ⇒ = − =
− − ⋅ = ⇒ = + =
∑
∑
���
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1
1
6 , 0 ( )
7 , 7 5 ( )
H
V
R kN
R kN
= ←

= ↑
( )
( )
( )
( )
( )
1
3
1
2
3
4
5
7 , 7 5 ( )
1 2 , 2 5 ( )
1 6 , 3 6
:
1 6 , 3 3
1 2 , 9 2
2 0 , 0 0
2 0 , 4 2
V
V
R kN
R kN
N kN T
S o lu ç ã o
N kN T
N kN C
N kN T
N kN C
= ↑

= ↑

 =
∴ 
=

=

 =

=
( )4 4 40 20 0 20 ou 20yF N N kN N kN T= ⇒ − = ⇒ = + =∑
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2) Determine os esforços normais nas barras GE, GC e BC da estrutura
plana treliçada pelo método das seções. Indique se o esforço em cada barra
é de tração ou compressão.
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Treliças espaciais:
Exercício:
3) Determine os esforços normais nas barras da estrutura treliçada
- Idem às definições de treliça plana, entretanto, a
geometria base (estável) é tetraédrica, formada
conectando seis elementos de barra no espaço.
3) Determine os esforços normais nas barras da estrutura treliçada
tridimensional. Indique se o esforço em cada barra é de tração ou
compressão.
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(nó A)
(equilíbrio de nó)
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(nó B)
Efetuando-se o equilíbrio em dois dos nós restantes (C, D e E) obtêm-se os 
valores das forças nas barras faltantes:
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Estruturas e máquinas:
(estrutura)
- Estruturas e máquinas são dois tipos de estruturas normalmente compostas
de membros multiforça conectados por pinos.
- Estruturas são idealizadas para suportar carga.
- As máquinas possuem partes móveis e são projetadas para transmitir e alterar
os efeitos das forças.
(estrutura)
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- As forças que agem nos nós das estruturas e máquinas podem ser obtidas
separando as partes integrantes, com os respectivos diagramas de corpo-
livre, e utilizando-se das equações de equilíbrio da estática para CADA
membro.
(ação) (reação)
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(Motor)
(Elevador) (força peso)
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Exercícios:
4) Determine os componentes horizontal e vertical da força que o pino em
C exerce no elemento CB da estrutura mostrada.
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5) A viga da figura abaixo está conectada por um pino em B. Determine as 
reações em seus apoios. Despreze o peso e a espessura da viga.reações em seus apoios. Despreze o peso e a espessura da viga.
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sistema de 
equações:
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6) Determine a tração nos cabos e também a força P necessária para sustentar
a força de 600N usando o sistema de polias sem atrito da figura abaixo.
- Polia A:
- Polia B:
- Polia C:
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7) O homem de 75kg tenta erguer a viga uniforme de 40kg do apoio de rolete
em B. Determine a tração desenvolvida no cabo preso em B e a reação normal
do homem sobre a viga quando isso está a ponto de ocorrer.
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- Diagrama de corpo livre da polia:
- Diagrama de corpo livre do homem:
- Diagrama de corpo livre da viga:
- solução do sistema 
de equações:
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8) A estrutura da figura abaixo sustenta o cilindro de 50kg. Determine as
componentes horizontal e vertical da reação em A e a força em C.
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- Diagrama de corpo livre da polia:- Diagrama de corpo livre da polia:
- Diagrama de corpo livre do membro AD: