2a prova_alglin_2013_sol

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Álgebra Linear II – 1º semestre 2013 
MAT213 – Turma M e MAT555 – Turma U 
2ª prova – Solução 
 
1.a) Mostre que o produto interno em dado por , para 
, é positivo definido. 
b) O traço é o funcional linear definido por . Encontre 
uma matriz M em V tal que para toda . 
 
Solução: a) Temos se e somente se para todo , ou seja, se e 
somente se . 
 b) Observamos que . Com referência ao teorema 
V.6.2, isso quer dizer que . 
 
2.SejaW o subespaço de definido por . 
 
a) Mostre que todo é da forma para . 
b) Mostre que é tal que se e somente se 
para algum . 
 
Interlúdio: Suponhamos, em geral, que W seja um subespaço de um espaço vetorial V. É 
tentador “concluir” que é um subespaço de , mas a tentação vai embora quando se 
considera que não faz sentido, pois consiste de funções de domínio W e 
de funções de domínio V. No entanto, podemos proceder como segue. Tomamos uma base 
 de W, completamos essa base para uma base de V e, nesse contexto, definimos 
como o subespaço gerado pelos elementos de correspondentes aos vetores de . 
 
c) Mostre que {(1, 1,0),(1,0, 1)}−= −B e {(1, 1,0),(1,0, 1),(1.1.1)}= − −C são bases de 
W e , respectivamente. 
d) Determine . 
e) Mostre que (como acima, ou seja, com essa escolha de base) se e somente 
se com . 
 
Solução: a) Basta colocar , e . Alternativamente, pode-
se apelar diretamente para o teorema V.6.2, que nos diz que existe tal que 
, ou seja, para todo ; pondo , recuperamos a 
expressão de f. 
 b) Seja e suponhamos . Então 
e , donde . Reciprocamente, se e 
, segue imediatamente que . 
 c) Para mostrar que B é base de W, notamos que (1, 1,0)− e (1, 1,0)− estão em W 
e são linearmente independentes, pois um não é múltiplo do outro. Logo dim( 2)W ≥ , mas 
como W V≠ e dim( ) 3V = , segue que dim( ) 2W = e B é base de W. Além disso (1,1,1) W∈/ 
e segue que C é base de V. 
 
 
 d) Seja . Contas imediatas dão , 
 e . 
 
Interlúdio: Definimos , apenas para 
simplificar a exposição; notamos que U é um subespaço de . 
 
 e) Por definição, temos ; como , temos .Por outro lado, 
seja ; então , ou seja, , e segue que . Mais 
detalhadamente, se e , temos 
(verifique). 
 
3. SejaV um espaço vetorial de dimensão finita eSum subconjunto finito não vazio de V tal 
que . 
 
a) Mostre que existe *f V∈ tal que para todo .Sugestão: o resultado é 
verdadeiro para . Suponha que é verdadeiro para e considere
. Por indução, existe *f V∈ tal que para
 e, pelo caso , existe *g V∈ tal que . Mostre que 
existe tal que para todo (lembre-se que 
 é infinito). 
b) Mostre que existe um subespaço W de V tal que e . 
 
Solução: a) Suponhamos , ou seja, com . Podemos então construir uma 
base de V; sendo a base dual, temos . 
Suponhamos agora o resultado verdadeiro para e seja . Por 
indução, existe tal que para e, pelo caso , existe 
tal que .Sejam , para . Definimos
 como segue: se e se . Como K é infinito, 
podemos escolher e segue que para todo i. 
 b) Basta tomar , onde f foi construído no item anterior. 
*f V∈ *g V∈