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1. Seja f(x, y) =
x2 + 2y
3x− y . Utilize a definic¸a˜o das derivadas parciais para determinar
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
2. Seja f(x, y) = x2 + xyex
2y. Encontre
∂f
∂x
e
∂f
∂y
.
3. Seja f(x, y, z) = x3y3z2 +
1
xyz
. Encontre
∂f
∂x
(1, 1, 4),
∂f
∂y
(−1, 2, 3) e ∂f
∂z
(−1, 2, 1).
4. Seja f(x, y) = x3 + x2y. Encontre fx, fy, fxx, fxy, fxxy, fxyyx e fxyxyxy.
5. Encontre
(x2y − xy − sen xy
ycos x
)
x
e
(x2y − xy − sen xy
ycos x
)
y
.
8. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva da intersecc¸a˜o do plano x = 2 e a superf´ıcie z = f(x, y) = x2y2+ex
2y
no ponto (1; 0; 1).
9. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva da intersecc¸a˜o do plano y = 3 e a superf´ıcie z = f(x, y) = xy+
3
xy
no ponto (1; 3; 4).
10. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) = x2 + y2 + 2xy + x3y3 no ponto (2; 1; 17).
11. Determine o plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) = x2 + 3xy+ y2, que e´ paralelo ao plano z = 10x+ 5y+ 15.
Professor: Alireza Mohebi Ashtiani (Ali)
APS 2
(Prazo de Entrega: dia da segunda prova, Prova 2)
6. Seja a func¸a˜o f(x, y) dada por
f(x, y) =
(x2 + y2) cos(
1
x2 + y2
), se (x, y) 6= (0, 0);
0, se (x, y) = (0, 0).
Utilize a definic¸a˜o das derivadas parciais para encontrar
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
7. Seja a func¸a˜o f(x, y) dada por
f(x, y) =

x2y
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0);
0, se (x, y) = (0, 0).
Utilize a definic¸a˜o das derivadas parciais para encontrar
∂f
∂x
(0, 0) e
∂f
∂y
(0, 0).
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Londrina 
Ca´lculo 2 – 2S2015
– Valendo 2 ,00 pontos
15. Seja z = x3 +y3. Encontre a diferencial dz. Se x varia de 3 para 3, 01 e y varia de 1 apara 0, 95, qual a diferenc¸a
entre 4z e dz.
16. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal a z = 2x2 + y2 no ponto (1, 1, 3).
17. Determine as equac¸o˜es do plano tangente e da reta normal a z = xe−y no ponto (1, 0, 1).
18. Seja z = x2y2 + xy com x = t2 + et + 1 e y = t3 + t. Encontre
dz
dt
.
19. Seja z = x2 − y2 com x = 1t+1 e y = tt+1 . Encontre
dz
dt
.
20. Seja z = u2 + v3cosu com u = x2 − y2 e v = x− y. Encontre dz
dx
e
dz
dy
.
21. Seja z = f(x, y) com x = rcosθ e y = rsenθ. Mostre que zxx + zyy = zrr + 1r2 zθθ +
1
r zr.
22. Mostre que se z = cos(x+ y) + cos(x− y), temos zxx − zyy = 0.
23. Determine a derivada direcional de f(x, y) = x−yx+1y no ponto (2, 1) na direc¸a˜o ~v = (1, 4).
24. Determine a derivada direcional de f(x, y) = x2y2 − xy no ponto (1, 2) na direc¸a˜o ~v =~i+ 3~j.
25. Seja f(x, y) = x3ex−2y e P (1, 0) e Q(0, 1). Encontre a derivada direcional de f no ponto P (1, 0), na direc¸a˜o de
P para Q. Encontre vetor (unitario) e sentido em que f cresce e decresce mais rapidamente no ponto P . Qual
a taxa de variac¸a˜o de f nestas direc¸o˜es?
26. Seja f(x, y) = x2 − y2 e C a curva x2 − y2 = 1. A pergunta e´: para qualquer ponto (x0, y0) ∈ C, f(x0, y0)⊥C?
27. Seja f(x, y) = 1 − x2 − y2. Prove que (0, 0) e´ o ma´ximo de f(x, y) no seu domı´nio. f(x, y) possui mı´nimo no
seu domı´nio?
2
12. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) = x10y5 + 2xy + x3y4 no ponto (1; 3; 330).
Aproxime o valor exato de f(1, 05 ; 2, 97). Econtre o valor exato de f(1, 05 ; 2, 97). Qual a diferenc¸a entre estes
dois valores? O que podemos dizer? Por queˆ? Aproxime o valor exato de f(2, 4)?
13. Suponha que o vetor gradiente de uma func¸a˜o z = f(x, y) no ponto (1, 3) e´ dado por ∇f(1, 3) = (1,−1) e que
f(1, 3) = 4. Encontre o plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto (1, 3, f(1, 3)).
14. Encontre a linearizac¸a˜o da func¸a˜o (aproximac¸a˜o linear) da func¸a˜o z = f(x, y) = e(x+y) + x2y3 no ponto
(1, 2, f(1, 2)). Utilize essa aproximac¸a˜o linear pra aproximar f(2, 4)). Encontre, agora, o valor exato de f(2, 4)).
Justifique!
28. Dada f(x, y) = y2 − x2. Prove que f(x, y) na˜o tem nem mı´nimo e nem ma´ximo (este exemplo foi resolvido na
sala de aula, o gra´fico desta func¸a˜o e´ da forma seguinte).
29. Encontre os extremos locais de f(x, y) = x2 + xy + y2 − 2x− 2y.
30. Encontre e determine a natureza de todos os pontos cr´ıticos de f(x, y) = 4xy−2x2−y4 e f(x, y) = x3+y3−3x−3y.
0
10
20
30
40
0
10
20
30
40
180
190
200
210
220
230
240
f(x, y) = x3+y3−3x−3y.f(x, y) = 4xy−2x2−y4
31. Encontre o ma´ximo e o mı´nimo de f(x, y) = x2 − y2 no conjunto fechado e limitado D := {x2 + y2 = 1}.
32. Encontre e determine a natureza de todos os pontos cr´ıticos de f(x, y) = 18x2 − 32y2 − 36x− 128y + 15.
33. Seja f(x, y) = 4xy − 2x2 − y4 no retaˆngulo D := {x : |x| ≤ 2, |y| ≤ 2}. Encontre os ma´ximos e os mı´nimos de
f(x, y).
34. Dado um plano 6x+ 4y− 3z = 2. Encontre o ponto P (x, y, z) deste plano mais pro´ximo de um ponto (2,−2, 3.
35. Encontre o ma´ximo de f(x, y) = x+ y sujeito a` restric¸a˜o x2 + y2 = 1.
36. Encontre o ma´ximo de f(x, y) = xy sujeito a` restric¸a˜o (elipse) x2 + y
2
4 = 1.
37. Sabe-se que a func¸a˜o f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 5z2 assume o seu ma´ximo no plano 2x+ 3y + 4z = 12. Encontre o
ponto ma´ximo.