intregrais indefinidas aula 1

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03/08/2015
1
INTEGRAIS
2015 - A
Msc. Claudinéia da S. de OLiveria
claudineia.bn@gmail.com
PLANO DE ENSINO
1 - OBJETIVO GERAL:
- Aprender técnicas de integração e suas aplicações, bem como de cálculo
diferencial.
2 - OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
- Compreender os conceitos de integrais definidas e múltiplas;
- Desenvolver as principais técnicas de integração;
- Desenvolver e aplicar a integração definida na física e na engenharia;
-Estudar as integrais impróprias e as Séries de Taylor e Fourier.
3 – EMENTA:
Integrais definidas e indefinidas. Teorema
fundamental do cálculo. Estudo das séries numéricas
e das séries de funções. Estudo das funções de
várias variáveis. Estudo das integrais múltiplas.
4 – CONTEÚDO PROGRAMÁTICO:
Integrais definidas e indefinidas. 28 horas
Teorema fundamental do cálculo. 12 horas
Estudo das séries numéricas e das séries de funções. 04 horas
Estudo das funções de várias variáveis. 08 horas
Estudo das integrais múltiplas. 08 horas
Avaliações 12 horas
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6 - PROCESSO DE AVALIAÇÃO:
O processo avaliativo acontecerá durante todas as aulas
(constante), sendo o aluno avaliado em todas as suas
atuações tais como: elaboração de exercícios e atividades
solicitadas para desenvolvimento durante as aulas ou extra-
classe, apresentação de trabalhos individuais e em grupo e
assiduidade.
Serão realizadas três avaliações individuais e sem consulta
com abrangência de 60% (sessenta por cento) do
conteúdo do semestre. Já os trabalhos e atividades em sala
de aula ou extra-classe terão um peso total de 40% (quarenta
por cento) de todo o assunto estudado no semestre. Será
desenvolvida um atividade extraclasse em equipes de até 5
alunos sobre o assunto “integrais definidas e indefinidas” e sua
aplicação prática nas organizações.
PROVAS DE 2° CHAMADA:
As provas de Segunda Chamada ainda serão definidas
pela coordenação...
10 – BIBLIOGRAFIA:
10.1 – BÁSICA
FLEMMING, Diva Marília. Cálculo: funções, limite, derivação e 
integração. 6 ed. São Paulo: Pearson, 2011.
STEWART, James. Cálculo. vol. 2. 6 ed. São Paulo: Cengage 
Learning, 2012.
THOMAS, George B. Cálculo. vol 2. 11 ed. São Paulo: Addison 
Wesley, 2011.
INTEGRAIS INDEFINIDAS
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APLICAÇÕES DA INTEGRAL
• Cálculo de áreas sobre curvas
• Volume de sólidos diversos
• 4D
• Acúmulo de variações
ANTIDERIVADA (Integral)
Convencionalmente se chama a 
antiderivada de F(x), com “F” maiúsculo.
Exemplo de antiderivada
(integral)
• F(x) = 4x2 quando f(x) = 8x pois a derivada de 4x2 é igual a 8x.
• F(x) = 5x³ quando f(x) = 15x², pois a derivada de = 5x³ é igual 
a 15x².
• F(x) = ex quando f(x) = ex pois a derivada de ex é a própria 
função ex.
xxf
xxf
8)('
4)( 2


2
3
15)('
5)(
xxf
xxf


x
x
exf
exf


)('
)(
Lembra?
• Qual a derivada de uma constante?
• A derivada da soma é a soma das derivadas!
• Se f´(x) = 8x quando f(x) = 4x2, então qual a derivada de 4x2 + 
13? 
• E qual a derivada de 4x2 – 6? E de 4x2 + 5?
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Vamos ver o que você conclui!
• Qual a sua resposta para a pergunta anterior?
• Todas têm a mesma derivada! f´(x) = 8x.
• Será que as três funções que você derivou no slide anterior
poderiam ser ANTIDERIVADAS (integrais) de 8x?
xxf
xxf
8)('
4)( 2


xxf
xxf
8)('
134)( 2


xxf
xxf
8)('
64)( 2


xxf
xxf
8)('
64)( 2


Teorema 1
• Seja f(x) uma função a qual exista uma F(X) chamada
ANTIDERIVADA (integral) de f(x).
• Se isso acontece, então F(x) + C também é ANTIDERIVADA
(integral) de f(x) para qualquer C real.
• As funções deriváveis têm 1 única derivada.
• Entretanto, elas admitem infinitas ANTIDERIVADAS (integrais).
Quais são as antiderivadas
(integrais)?
• Agora, diga, quais são as antiderivadas de 6x3?
• Se você respondeu 1,5x4, sua resposta está parcialmente
correta.
• Para sua resposta estar correta, é necessário que você
responda: 1,5x4 + C.
cx
x
c
x
dxxdxx 

 

4
413
33 5,1
4
.6
13
666
C
n
u
duu
n
n 



 1
.
1
Resumidamente: 
ANTIDERIVAÇÃO (INTEGRAÇÃO) é o 
processo de marcha-ré da DERIVAÇÃO.
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INTEGRAIS INDEFINIDAS
Exemplos.
Cx
x
C
x
dxx 



4
413
3
4
4
13
.44
Cx
x
C
x
dxx 



3
312
2
3
3
12
.33
C
n
x
dxx
n
n 



 1
.
1
Definição 1. Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x), no intervalo I=[a,b], 
se em todos os pontos deste intervalo, tem-se F´(x)=f(x).
Note que, para f(x)=senx, a função G(x)= - cosx +5 também tem sua derivada 
igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função 
qualquer admite mais de uma primitiva.
 
Exemplo: a função F(x) = 
x4
4
 é uma primitiva de f(x) já que F '(x) = x3. 
 Também a função G(x) = 
x4
4
 + 2 é uma primitiva de f . Ambas em 
qualquer intervalo da reta real. 
Tabela de Integrais
• A partir deste estágio, você pode utilizar sua tabela de integrais para
fazer esse processo todo.
• O cálculo de uma função integral chama-se INTEGRAÇÃO.
• As integrais indefinidas levam esse nome porque não há valor
definido para C.
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Propriedades da integração
EXEMPLOS
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos
calcular a integral indefinida de algumas funções.
Exemplos 1: Calcular as integrais indefinidas
EXEMPLOS
Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais, podemos
calcular a integral indefinida de algumas funções.
Exemplos 2: Calcular as integrais indefinidas
Cxdxtgxx  secsec
Cguduu  cotseccos
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EXEMPLOS
Exemplo 3: Calcular as integrais indefinidas
  Cxx
dx
ln
EXEMPLOS
Exemplos 4: Calcular as integrais indefinidas
EXEMPLOS
Exemplo 5: Calcular as integrais indefinidas
Csenxdxx cos
EXEMPLOS
Exemplo 6: Calcular as integrais indefinidas
cxdxxxtg
dx
xx
senx


)sec()sec().(
cos
1
.
cos
)sec(
)cos(
1
)(
)cos(
)(
x
x
xtg
x
xsen


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EXEMPLOS
Exemplo 7: Calcular as integrais indefinidas
)sec(cos
)(
1
)(cot
)(
)cos(
x
xsen
xg
xsen
x


Cx
Cx
dxxxgdx
senxsenx
x


 
)sec(cos
7
3
)sec(cos.
7
3
)sec(cos).(cot
7
3
)
1
.
cos
(
7
3 Cxdxgxx  seccoscotseccos dxsenxsenxx )1.cos(73
EXEMPLOS
Exemplo 8: Calcular as integrais indefinidas
dx
t
t
tsen
dx
t
tt
  )cos(
)cos(
)(
)cos(
)cos().cos(.2
dttttgdttdt
tt
tsen
dt
t
tt
)sec().()cos(2
)cos(
1
.
)cos(
)(
)cos(
)cos().cos(.2
   
Ctdttgtt  secsec
cttsen  )sec()(2
Csentdtt  cos
EXEMPLO 
Exemplo 9: Calcular as integrais indefinidas
 dxxxtg )seccos.(
22
EXERCÍCIOS
Usando as propriedades 1 e 2 e a Tabela de Integrais Imediatas, calcular as 
integrais indefinidas seguintes:










dxxx
dxxxx
dxxx
dxxx
dxxx
)10
5
1
8
1
(.5
)1(.4
)4
7
1
(.3
)
5
1
(
.2
)1
4
1
(.1
23
23
2
53
24










dxx
dx
xx
dxxx
dxxx
dxxx
)
4
3
7
1
(.10
)
5
42
(.9
)4(.8
)
3
2
2
1
(.7
)2
4
3
(.6
7
23
43
7
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RESPOSTAS
Resolva: Integrais do tipo: 
C
n
x
dxx
n
n 



 1
.)4(
1




dxx
dxx
dx
x
dxx
dxx
4,0
3
2
3
5
1
.5
.4
4
.3
10.2
.1









dxx
dxx
dxx
dxxx
dxxx
5
4
2
1
3
3,02,0
3,02,0
.10
.9
.8
)(.7
)(.6
EXERCÍCIOS
RESPOSTAS
Resolva: Integrais do tipo: 
C
a
a
dua
u
u  ln
.)6(
















dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
3
1
3.4
7
4
.3
)4,0(.2
5.1











dx
dx
dx
dx
x
x
x
x
5
2
1
.8
)6.(
3
2
.7
)10.(4.6
)2(.5
EXERCÍCIOS
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RESPOSTAS
EXERCÍCIOS