Átomo de Hidrogênio e Equação de Schrödinger

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Átomo de hidrogênio
 Equação de Schrödinger
 Átomo de hidrogênio
 Transições de níveis
 
Átomo de hidrogênio
Vamos supor um sistema com um próton 
(partícula de carga positiva) e um elétron. 
O próton cria uma armadilha para o elétron, 
mantendo-o confinado.
Qualquer tipo de confinamento faz surgir 
estados estacionários.
 
Equação de Schrodinger
De modo geral, as 
condições de contornos 
para existência de um 
estado estacionário são 
imposta por um 
potencial.
 
Equação de Schrodinger
Schrodinger descobriu o método de obter a 
função de onda da partícula em questão 
(ex.: o elétron) conhecendo o potencial que 
essa partícula sente, a energia do sistema 
ou a função de onda inicial do sistema. 
Assim para encontrar a função de onda, 
basta solucionar a equação de Schrodinger.
A saída é uma função de onda que depende 
da posição e do tempo
 
Equação de Schrodinger
Podemos exemplificar o método de obter a 
função de onda como uma máquina
 
Átomo de hidrogênio
Um confinamento 
natural do elétron é 
o sistema composto 
de 1 próton e 1 
elétron.
Nesse sistema o 
próton produz um 
confinamento 
natural para o 
elétron.
 
Números quânticos
Por ser 3D, deveríamos ter 3 números 
quânticos associado aos estados 
estacionários, porém a simetria radial do 
potencial torna difícil identificar os ventres 
da onda estacionária analisando as direções 
separadamente.
 
Números quânticos
Da dificuldade de classificar os estados 
estacionários pelo número de ventre, 
devemos buscar outros conjuntos de 3 
números para classificar os estados. Partido 
da simetria radial do confinamento é 
importante associar esses números com 
propriedades clássicas que esse elétron 
tem enquanto partícula orbitando em torno 
do próton. Escolhemos (n,l,m)
 
Classificação dos estados 
estacionários
Usamos para classificar as ondas 
estacionárias:
 
Rótulo dos estados 
estacionários
A maneira mais comum de rotular os 
estados é de representar o número do 
orbital de momento por letras, assim para 
os valores 0,1,2,... temos as letras 
s,p,d,f,g,... um orbital com l=1 é chamado 
de p, d é um orbital com l=2. 
O valor do número quantico principal é 
escrito anter da letra: assim o orbital 3d 
significa um orbital com n=3 e l=2. 
 
Energia do átomo de H
A energia e o estado estacionário 
correspondente são dados pela equação de 
Schrodinger. Para o sistema descrito temos:
 
Solução da eq. de Scrodinger
Usamos a equação de Schrodinger para 
determinar os possíveis estados 
estacionários 
 
Átomo de hidrogênio 
Temos para n=1:
onde
 
Átomo de hidrogênio
Dessa forma para n=1:
 
Estado fundamental de H
Para o estado fundamental (o de menor 
energia), também chamado de orbital 1s: 
 
Raio de H no estado 
fundamental
Ao considerar o quadrado da função de 
onda do estaddo fundamental de H como 
a probabilidade de encontrar o elétron na 
posição R, podemos determinar um raio 
médio onde em média o elétron encontra-
se distante do proton. Essa distância é o 
raio de Bohr.
 
1º est. excitado
Para o 1º estado excitado, 
conhecido como orbital 
2s(l=0) e 2p(l=1):
 
Átomo de hidrogênio
Para n=2,
r 2=4r1 (1+(1− l ( l+1 ) /4 )/2 )
r1=
h2
4π2mke
 
Átomo de hidrogênio
Podemos visualizar a distribuição dos 
estados estacionários dos orbitais s e p:
 
Átomo de hidrogênio
Para o orbital d temos:
 
Átomo de hidrogênio
Para o orbital f:
 
Espectroscopia
A verificação 
experimental sobre a 
existência de estados 
estacionários no 
átomo de hidrogênio é 
através de 
experimento de 
espectroscopia. Onde 
um gás de hidrogênio 
absorve ou emite 
fótons cuja energia é 
igual a diferença entre 
os níveis. 
 
Ionização
A ionização 
do átomo 
ocorre 
quando a 
energia do 
fóton for 
maior que o 
módulo da 
energia do 
estado 
estacionário.
Ficando o 
hidrogênio 
com carga 
positiva.
 
Átomos multi-eletrônicos
Conhecido o átomo de hidrogênio 
poderíamos fazer a mesma análise para 
outros átomos que possuam mais de um 
elétron. Porém esbarramos em algumas 
coisa, os elétrons interagem entre si e não 
é possível ter dois ou mais elétrons num 
mesmo estado estacionários.
Mas isso é matéria para a próxima aula.
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