estatistica Medidas de Posição

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Análise Descritiva de Dados
Medidas de Posição
Posicionando indíviduos em relação ao grupo
“- Então, qual foi sua posiEntão, qual foi sua posiEntão, qual foi sua posiEntão, qual foi sua posiçççção final na corrida ? ão final na corrida ? ão final na corrida ? ão final na corrida ? ---- Ah, eu fiquei em 3Ah, eu fiquei em 3Ah, eu fiquei em 3Ah, eu fiquei em 3oooo lugar!lugar!lugar!lugar!---- Puxa... Foi mesmo ? E quantos estavam correndo ?Puxa... Foi mesmo ? E quantos estavam correndo ?Puxa... Foi mesmo ? E quantos estavam correndo ?Puxa... Foi mesmo ? E quantos estavam correndo ?
---- Três.Três.Três.Três.””””
Percentis 
Escores
Padronizados
Medidas de 
Posição
Posiciona o indivíduo
dentro do conjunto de 
dados 
Posiciona o indivíduo em
relação ao desempenho
geral do grupo, levando
em conta a variabilidade
das medidas.
“O Brasil obviamente não é país rico, mas também não 
está entre os mais pobres. ... Mais de três quartos da 
população mundial vivem em países de renda per capita
menor.” (Folha de São Paulo - 12/12/2001)
Definição: O percentil de ordem K, o Pk, onde K é qualquer 
valor entre 0 e 100, é o valor tal que K% dos valores do 
conjunto de dados são menores ou iguais a ele.
Exemplo: a renda per capta do Brasil é o P75.
Menor
renda
Maior
renda
1/4
2/4
3/4
Renda per 
capta do Brasil
Percentis Especiais
Exemplo: o percentil de ordem 10, o P10, é o valor da variável tal 
que 10% dos valores são menores ou iguais a ele.
Os percentis de ordem 10, 20, 30, ... 90 dividem o conjunto de 
dados em dez partes com mesmo número de observações e são 
chamados de decis. 
Os percentis de ordem 25, 50 e 75 dividem o conjunto de dados 
em quatro partes com o mesmo número de observações. 
Estes três percentis recebem o nome de quartis
Primeiro quartil (Q1), Segundo quartil (Q2) ou mediana e 
Terceiro quartil (Q3).
Determinação do Percentil de ordem K (Triola, 1996).
Ordene os dados,
do menor para o maior.
Calcule L=(k/100)n,
k: ordem do percentil
n: numero de valores
L é
inteiro?
Não Sim
O valor de Pk é a média
entre L-ésimo e o
(L+1)ésimo valores
a contar do menor.
Arredonde L para o maior
inteiro mais próximo.
O valor de Pk é o L-ésimo
valor a contar do menor.
Ex: k = 50
L = (50/100) x 132
L=0.50 x 132 = 66
Ex: n = 132
Ex: k = 97.5
L = (97.5/100) x 132
L=0.975 x 132 = 128.7
Pk é a média dos valores 66o e 67o nos dados ordenados
Pk é o 129o valor no conjuntode dados ordenados
����Exemplo 1: Quantidade de sódio (mg/100g) de 16 
variedades de barras de chocolate. [Duhn, 2001]
P10: 10% de 16 = 1.6 (Arredonda para cima: 2o valor) P10 = 75.
�P25: 25% de 16= 4. P25 = média(4o e 5o valores)=(110+110)/2 = 110.
�P92: 92% de 16 = 14.7. (Arredonda para cima: 15o valor) P92 = 220.
�Primeiro Quartil: P25. 
�Q1 = 110.
�Terceiro Quartil: 75% de 16 = 12. 
�Q3 = média(12o e 13o valores)=(160+190)/2 = 175.
40 75 90 93 110 110 115 116 
130 148 160 160 190 220 220 250
Qual é a área foliar mediana das plantas da 
variedade 1 ? E da variedade 2?
5 10 15 20
0
2
0
4
0
6
0
8
0
1
0
0
Área das folhas, cm2
F
r
e
q
u
e
n
c
i
a
 
R
e
l
a
t
i
v
a
 
A
c
u
m
u
l
a
d
a
5 10 15 20
0
2
0
4
0
6
0
8
0
1
0
0
Variedade 1
Variedade 2
Variedade 1
Variedade 2
87
50
Usos dos 
percentis
Controle da evolução
pondero-estatural de 
crianças
Peso : meninas de 2 a 20 anos
Uso dos percentis : Faixas de Referência
Faixa de referência
de 94%
Faixa de referência
de 80%
Uso dos Percentis: construção
de Faixas de Referência
Uma Faixa de Referência para uma característica é um 
intervalo de valores dentro dos quais a característica é
considerada normal (ou dentro dos padrões aceitáveis)
Exemplo: uma Faixa de Referência de 94% para o 
peso de crianças de 9 anos e meio vai de 22 kg a 50 kg.
Ou seja, 94% das crianças “normais” pesam entre 22 e 
50 kg.
Uso dos Percentis: construção
de Faixas de Referência
Uma Faixa de Referência está sempre associada a um 
percentual, que determina qual a percentagem da 
população de valores considerados normais está dentro
da faixa.
Exemplos:
• uma Faixa de Referência de 80% engloba 80% dos 
valores considerados normais (ou dentro dos padrões)
• uma Faixa de Referência de 90% engloba 90% dos 
valores considerados normais (ou dentro dos padrões) 
Uso dos Percentis: construção
de Faixas de Referência
Uma Faixa de Referência é formada por dois percentis 
simétricos.
Exemplos:
• a Faixa de Referência de 80% é formada pelos
percentis de ordem 10 e de ordem 90. 
[P10 ; P90]
• a Faixa de Referência de 94% é formada pelos
percentis de ordem 3 e de ordem 97.
[P3 ; P97] 
Identificando outliers: o Boxplot
*
Q3
Q1E
s
c
a
l
a
d
e
 
v
a
l
o
r
e
s
DQ = Q3 – Q1
outlier
Q2
Q3
Q1
Comprimento máximo = 
1.5 x DQ
Exemplo 1: Energia (em Kj/100g) de 16 variedades 
de barras de chocolate
Q1: 25% de 16 = 4 (média do 4o e 5o valores). 
Q1= (1920 + 1930)/2=1925. 
Q2: 50% de 16 = 8. Q2= (1980 + 1980)/2=1980. 
Q3: 75% de 16 = 12. Q2= (2060 + 2180)/2= 2120. 
Comprimento máximo da linha do boxplot
DQ = Q3 – Q1 = 2120 – 1925 = 195
1.5 x DQ = 1.5 x 195 = 292.5
Q1 – 1.5DQ = 1925 – 292.5 = 1632.5 (Min = 1620)
Q3 + 1.5DQ = 2120 + 292.5 = 2412.5 (Max = 2250)
*
1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200
Energia (Kj/100g)
Exemplo 2: Sódio (em mg/g) de 16 variedades de 
barras de chocolate
Q1: 25% de 16 = 4
Q1=(90+90)/2=90
Q2= 50% de 16 = 8
Q2=(120+130)/2=125
Q3= 75% de 16 = 12
Q3=(160+190)/2=175
Comprimento máximo da linha do boxplot
DQ = Q3 – Q1 = 175 – 90 = 85
1.5 x DQ = 1.5 x 85 = 127.5
Q1 – 1.5DQ = 90 – 127.5 = -37.5 (Min = 40)
Q3 + 1.5DQ = 175 + 127.5 = 302.5 (Max = 250)
50 100 150 200 250
Sódio (mg/g)
O Boxplot e as formas básicas das 
distribuições de frequências
Assimétrica
(concentração à
esquerda
Assimétrica
(concentração à
direita
Simétrica
Série de Boxplots: comparando
vários grupos em um mesmo gráfico
Número de nascimentos diários por dia da semana
no Canadá
Seg Ter Qua Qui Sex Sab Dom
Série de Boxplots: comparando
vários grupos em um mesmo gráfico
Temperatura média annual por década: de 1750 a 2010
“Ser 20 cm mais alto do que a média das 
pessoas da minha idade é melhor do que
ser 1,5 Kg mais magro do que a média das 
pessoas da minha idade?”
Escores Padronizados
Tornando possíveis comparações entre variáveis diferentes
Problema Inicial: Os 20 alunos da oitava série de uma 
escola foram submetidos a cinco testes de aptidão 
física e a um teste de conhecimento desportivo:
1. Abdominal: número de abdominais realizados em 2 minutos;
2. Salto em extensão: comprimento do salto (centímetros);
3. Suspensão de braços flexionados: tempo em suspensão (segundos);
4. Corrida: distância (em metros) percorrida em 12 minutos ;
5. Natação: tempo (em segundos) para nadar 50 metros;
6. Conhecimento desportivo: prova escrita (0 a 100 pontos).
Questão no1: Em um dado teste, qual foi o aluno de 
melhor desempenho ? E de pior desempenho? 
[Reis e Reis, 2001]
75301019676935Ana
792619686710633Flávia
86301084607433Rafael
74281535548932Luciana
69271054577032Rodrigo
81251716519131Marcelo
73301276488431Daniele
74331930459830Antônio
76311747399030Gabriela
77281600428930Luiz
75351503368829Bárbara
72291255307129Guido
71311833279228Camila
76331743209028Marina
84321267168027Luiza
683019861010226Vinícius
78291858129425Maria
66271333238727Manuel
82321461338830João
643419896410834PedroConhecimentoNataçãoCorridaSuspensãoSaltoAbdominalAluno
Questão no2: Para um dado aluno, em qual teste onde 
ele se saiu melhor (ou pior) em relação à turma ? 
75 pontosConhecimento desportivo 
30 segundosNatação de 50 metros 
1558 metrosCorrida em 12 minutos
40 segundosSuspensão de braços flexionados 
88 centímetrosSalto em extensão
30 abdominaisAbdominais em 2 minutos
Média da turmaTeste
Para Pedro : 
Mas, saltar 20 cm acima da média do 
grupo é bom ou muito bom?
[Reis e Reis, 2001]
Pedro: 
Levando em conta a variabilidade
das medidas do grupo
Pontos6pontos75 Conhecimento desportivo 
Segundos3segundos30 Natação de 50 metros 
Metros327metros1558 Corrida em 12 minutos
Segundos18segundos40Suspensão de braços flexionados 
Centímetros11centímetros88Salto em extensão
Abdominais3abdominais30Abdominais em 2 minutos
Desvio-PadrãoMédiaTeste
O Escore Padronizado
ãoDesvioPadr
MédiainalEscoreOrig
onizadoEscorePadr
−
=
O escore padronizado mede a distância do escore 
original à média em número de desvios-padrão. 
0,000,00-1,651,50-1,731,67Ana
0,67-1,331,251,501,641,00Flávia
1,830,00-1,451,11-1,271,00Rafael
-0,17-0,67-0,070,780,090,67Luciana
-1,00-1,00-1,540,94-1,640,67Rodrigo
1,00-1,670,480,610,270,33Marcelo
-0,330,00-0,860,44-0,360,33Daniele
-0,171,001,140,280,910,00Antônio
0,170,330,58-0,060,180,00Gabriela
0,33-0,670,130,110,090,00Luiz
0,001,67-0,17-0,220,00-0,33Bárbara
-0,50-0,33-0,93-0,56-1,55-0,33Guido
-0,670,330,84-0,720,36-0,67Camila
0,171,000,57-1,110,18-0,67Marina
1,500,67-0,89-1,33-0,73-1,00Luiza
-1,170,001,31-1,671,27-1,33Vinícius
0,50-0,330,92-1,560,55-1,67Maria
-1,50-1,00-0,69-0,94-0,09-1,00Manuel
1,170,67-0,30-0,390,000,00João
-1,831,331,321,331,821,33Pedro
ConhecimentoNataçãoCorridaSuspensãoSaltoAbdominalAluno
Como fazer usando o R ?
Cálculo de Percentis
formigas <- read.table("formigas.txt",header=T)
P5 <- quantile(formigas$Riqueza, 0.05) #Percentil 5
P95 <- quantile(formigas$Riqueza, 0.95) #Percentil 95
Percentis <- quantile(formigas$Riqueza, 
c(0.10, 0.50, 0.90))
#Percentis 10, 50 e 90 armazenados no mesmo objeto
Como fazer usando o R ?
formigas.floresta <- # Separando os locais de floresta
formigas[formigas$Habitat=="Floresta",]
formigas.pantano <- # Separando os locais de pantano
formigas[formigas$Habitat=="Pantano",]
Boxplot
boxplot(formigas.floresta$Riqueza)
boxplot(formigas.floresta$Riqueza, 
formigas.pantano$Riqueza, names=c("Floresta",
"Pantano"), ylab="Riqueza de espécies")
Como fazer usando o R ?
Cálculo de Escores Padronizados
media.floresta <- mean(formigas.floresta$Riqueza)
dp.floresta <- sd(formigas.floresta$Riqueza)
media.pantano <- mean(formigas.pantano$Riqueza)
dp.pantano <- sd(formigas.pantano$Riqueza)
Como fazer usando o R ?
Cálculo de Escores Padronizados
escores.riqueza.floresta <- (formigas.floresta$Riqueza 
- media.floresta)/ dp.floresta 
escores.riqueza.pantano <- (formigas.pantano$Riqueza -
media.pantano)/ dp.pantano
riqueza <- 10 # Novo local com riqueza 10
escore.pantano <- (riqueza - media.pantano)/ 
dp.pantano
escore.floresta <- (riqueza - media.floresta)/ 
dp.floresta
Próxima Aula
Análise Descritiva de Dados: 
Medidas de posição
Análise Descritiva de Dados: 
Associação entre Variáveis
Fim da quinta aula
Referências Bibliográficas
REIS, E.A.; REIS, I.A. (2001) Análise Descritiva de Dados- Tabelas e 
Gráficos, Relatório Técnico do Departamento de Estatística da UFMG. 
Disponível em: http://www.est.ufmg.br
DUHN, P. (2001) Datasets for Statistical Analysis. Disponível em: 
http://www.sci.usq.edu.au/staff/dunn/Datasets/applications/popular/ch
ocolates.html