Matrizes: Conceitos e Operações

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Orientador: Profº João Gusmão 
Monitor: Magno Lapenda 
 
 MONITORIA – ÁLGEBRA LINEAR 
 
 MATRIZES 
Denomina-se matriz do tipo m x n, um conjunto de números reais dispostos em um quadro de m 
linhas (horizontais) e n colunas (verticais). 
 Usa-se sempre letras maiúsculas para denotar matrizes. 
 Para especificar a ordem da matriz A (informar o número de linhas e colunas), escreve-se A m x n. 
Algebricamente, uma matriz A m x n pode ser indicada por: 
 
Onde aij representa o elemento que está situado na i linha e j coluna. 
CLASSIFIAÇÃO DAS MATRIZES 
 Matriz Quadrada: É aquela que possui o número de linhas igual ao número de colunas (m = n). 
OBS: Nesses casos de A m x m, costuma-se dizer que A é uma matriz quadrada de ordem m (Am). 
 
 Matriz Nula: É aquela onde aij = 0, para todo i e j. (Ou seja, possui todos os seus elementos iguais 
a zero.) 
 
 Matriz Linha: É aquela que possui uma única linha (m = 1). 
 
 
 Matriz Coluna: É aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
 
 Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada (m = n), onde aij = 0, para i ≠ j. (Ou seja, todos os 
elementos que não estão em sua diagonal principal são nulos.) 
OBS: Os elementos da diagonal são aqueles em que i = j. 
 
 
 Matriz Identidade: É uma matriz diagonal, onde todos os elementos de sua diagonal são iguais a 1. 
 
 Matriz Triangular: É uma matriz quadrada (m = n), onde se tem; 
 
Matriz Triangular Inferior: aij = 0 para i < j. (Os elementos acima da diagonal são nulos.) 
 
 
 
Matriz Triangular Superior: aij = 0 para i > j. (Os elementos abaixo da diagonal são nulos.) 
 
 
 Matriz Simétrica: É uma matriz quadrada (m = n), onde aij = aji. (A parte inferior é uma “reflexão” 
da parte superior, em relação à diagonal principal.) 
 
 Matriz Anti-Simétrica: É uma matriz quadrada (m = n), onde aij = -aji. (É a matriz oposta da 
simétrica.) 
 Matriz Oposta: Todos os elementos da matriz oposta em relação à original possuem sinal trocado. 
(A) = - (- A) 
 
IGUALDADE ENTRE MATRIZES 
 Duas matrizes A = (aij) e B = (bij) do tipo m x n, são iguais quando tiverem o número de 
linhas, colunas e todos os elementos correspondentes iguais. A = B ↔ aij = bij 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 Adição: A adição de matrizes só pode ocorrer SE, E SOMENTE SE as matrizes forem de mesma ordem, ou 
seja, tenham o mesmo número de linhas e de colunas. A + B = (aij + bij) m x n 
 
Propriedades: 
i) A + B = B + A (comutativa) 
ii) A + (C + B) = (A + B) + C (associativa) 
iii) A + B = A (B é uma matriz nula) 
 
 Multiplicação por um escalar: Seja A = (aij)mxn e k um número, então k*A = (kaij)mxn. 
 
 
Propriedades 
i) k*(A + B) = k*A + k*B 
ii) (k + t)*A = k*A + t*A 
iii) 0*A = 0 (matriz nula) 
iv) k*(t*A) = (k*t)*A 
 
 Transposição: Uma matriz B é a transposta da matriz A, se as linhas de B forem ordenadamente 
as colunas de A. (B = At) 
 
Propriedades 
i) Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual a sua transposta. A = At 
ii) A matriz transposta da transposta é ela mesma. (At)t = A 
iii) A transposta de uma soma é igual a soma das transpostas. (A + B)t = At + Bt 
iv) k*At = (k*A)t 
 
 Multiplicação de matrizes: Define-se como produto de A = (aij) m x n por B = (bij) n x p a matriz 
A*B = C = (cij) m x p, tal que o elemento Cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos 
elementos correspondentes da j-ésima coluna de B. 
OBS: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for 
igual ao número de linhas da segunda matriz. 
 
 
Propriedades 
i) Em geral A*B ≠ B*A 
ii) A*I = I*A = A (I = matriz identidade) 
iii) A*(B + C) = A*B + A*C 
iv) (A + B)*C = A*C + B*C 
v) (A*B)*C = A*(B*C) (associativa) 
vi) (A*B) t = Bt *At (atenção para a ordem!) 
EXERCÍCIOS 
1- Sejam 
A = [
2 −1 3
0 4 5
−2 1 4
]; B = [
8 0 −5
−3 0 2
1 0 6
]; C = [
−1
2
4
]; D = [2 − 1]; a = 2 
a) Verifique que: 
i) A + B 
ii) A*B 
iii) C*D e D*C existem? Justifique sua resposta. 
iv) (At)t = A 
v) (A + B)t = At + Bt 
vi) (a*C)t = a*(Ct) 
b) Prove que B*I = B 
c) Encontre a matriz oposta à B 
2- Dadas as matrizes: 
A = [
27 0
0 2
] e B = [
𝑥³ sin 𝑢
log (𝑦) 𝑧
]; Sabendo que A = B, determine x, u, y e z.