Newton_D

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Cálculo Numérico Zeros reais de funções reais 
 Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) LAURO / NUNES 
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n nx 1+nx nn xx -+1 
0 
1 
2 
3 
Portanto, x = 
2.3.3Método de Newton, Newton-Raphson (ou Método das 
Tangentes) 
Este método é uma particularidade do método das aproximações sucessivas. A idéia é 
construir uma função )(xf para a qual exista um intervalo contendo o zero a , onde 
1)(' <f x . Esta construção é feita impondo 0)(' =af . Como )(' xf deve ser uma função 
contínua, existe sempre uma vizinhança I de a onde )('max af
ÎIx
<1. 
Obtenção da função )(xf : A forma mais geral de )(xx f= equivalente a )(xf =0 é 
dada por: 
(Eq.7) x = x + =)()( xfxA )(xf 
onde )(xA é uma função contínua tal que 0)( ¹aA . Escolhe-se )(xA de forma que 
0)(' =af . Derivando-se a (Eq.7), obtém-se )(' xf =1+ )()(')(')( xfxAxfxA + . Calculando 
esta derivada no ponto a , obtém-se: )(' af =1+ )(')( aa fA . Supondo que 'f (a)?0, para que 
0)(' =af , deve-se ter )(aA =
)('
1
a
-
f
. Assim, uma escolha satisfatória para )(xA será 
portanto: 
(Eq.8) )(xA =
)('
1
xf
- , uma vez que a@x . 
Substituindo (Eq.8) em (Eq.7), tem-se: 
(Eq.9) )(xf = x
)('
)(
xf
xf
- 
Assim, o processo iterativo de Newton é definido por: 
(Eq.10) 1+nx = nx )('
)(
n
n
xf
xf
- , =n 0, 1, 2, ¼ 
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OBS. 13: A (Eq. 10) é válida mesmo que )(' af = 0, uma vez que a¹nx . 
2.3.3.1 Interpretação Geométrica do Método de Newton 
O ponto 1+nx é obtido traçando-se a tangente ao gráfico da função )(xf no ponto 
))(,( nn xfx . A intersecção da reta tangente com o eixo das abscissas fornece a nova 
aproximação 1+nx . Esta interpretação justifica o nome de método das tangentes. 
y
xx( ) a 0
x1x2xf
q
nx x
x( )f
n+1
n
 
[Fig. 22]: Interpretação Geométrica do Método de Newton. 
1+-
==q
nn
n
n xx
xf
xf
)(
)('tg Þ
)('
)(
n
n
nn xf
xf
xx -=+1 
2.3.3.2 Convergência do Método de Newton 
Teorema 3 Seja [ ] ®baf ,: , duas vezes diferenciável, com ( )xf " contínua. Suponha 
que: 
i) ( ) ( ) 0 <× bfaf 
ii) ,)(' 0¹xf ],[ bax Î" 
iii) )('' xf não troca de sinal em [ ]ba, 
Então, a seqüência gerada pelas iterações do método de Newton-Raphson utilizando a 
função ( ) ( )( )xf
xf
xx
'
-=f que equivale a 
( )
( )n
n
nn xf
xf
xx
'
-=+1 converge para o único zero a de 
f , isolado em [ ]ba, , se [ ]bax ,Î0 for escolhido convenientemente. 
OBS. 14: Para se escolher o ponto inicial 0x , pode-se, por exemplo, fazer 0x =a se 
( ) [ ]baa ,Îf ou 0x = b caso contrário. 
2.3.3.3 Algoritmo do Método de Newton 
Para encontrar uma solução para )(xf =0, dada a derivada de )(xf e uma 
aproximação inicial 0p . 
· Dados de Entrada : Aproximação inicial 0p , precisão ou tolerância (e) e o número 
máximo de iterações (ITMAX). 
· Saída : Solução aproximada p ou mensagem de “solução não encontrada”. 
PASSO 1 
Faça i =1 
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PASSO 2: 
Enquanto i £ ITMAX, execute os passos 3 – 6 
 PASSO 3 
 Faça )('/)( 000 pfpfpp -= (calcular ip ) 
 PASSO 4 
 Se 0pp - < e então 
 Saída (p) (procedimento efetuado com sucesso) 
 FIM 
 PASSO 5 
 Faça i = i + 1 
 PASSO 5 
 Faça 0p =p (atualize 0p ) 
Passo 7: 
Saída (solução não encontrada após ITMAX iterações) 
FIM 
OBS. 15: Outros critérios de parada podem ser utilizados: 
· e<- -1nn pp 
· e<
- -
n
nn
p
pp 1 
· e<)( npf 
OBS. 16: O Método de Newton irá falhar se para algum n, )(' 1-npf = 0. 
Exercício 50 Encontrar a solução para a equação x = xcos com precisão 610-=e . 
Resolução: 
 
Pode-se construir uma tabela de valores para f ( x ) e analisar os sinais: 
x 0 
2
p
 
)(xf