Lista_Ponto_Flutuante

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Lista de Exercı´cios de IC279 (2012/2)
Prof Sergio (DEMAT/ICE/UFRRJ)
1 de maio de 2013
Lista 1: Representac¸a˜o em ponto flutuante
Exercı´cio 1.1. � [Fra07] Represente no sistema Fp10, 4, 4, 4q os nu´meros
(a) 4321, 24, (b) �0, 0013523, (c) 125, 64, (d) 57481, 23, (e) 0, 00034.
Exercı´cio 1.2. � [Fra07] Considere o sistema Fp3, 3, 2, 2q. Quais das afirmac¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras ?
(a) No sistema dado, podemos representar 181 nu´meros;
(b) a representac¸a˜o de p0, 342q10 e´ 0, 101� 3
0;
(c) a representac¸a˜o de p15, 342q10 e´ 0, 120� 3
3;
(d) o maior nu´mero positivo desse sistema e´ 0, 111� 33;
(e) o menor nu´mero positivo desse sistema e´ 0, 100� 3�2;
(f) o nu´mero p38q10 na˜o pode ser representado nesse sistema.
Exercı´cio 1.3. � [BF01] Calcule o erro absoluto e relativo nas aproximac¸o˜es de p para p¯:
(a) p ≔ π e p¯ ≔ 22{7; (b) p ≔ e10 e p¯ ≔ 22000; (c) p ≔
?
2 e p¯ ≔ 1, 414.
Exercı´cio 1.4. � [BF01] Encontre o maior intervalo em que p¯ deve se encontrar, para aproximar p com um erro relativo
no ma´ximo de 10�4 para cada valor de p
(a) π; (b) e; (c)
?
2; (d)
3
?
7.
Exercı´cio 1.5. � [Dat10] Deduza a inequac¸a˜o
�
�
�
�
x� flpxq
x
�
�
�
�
6
1
2
� 10�n�1
para o arrendondamento.
Exercı´cio 1.6. � [CdB80] Sejam flpxq dado com truncamento e δ � δpxq tal que flpxq � xp1� δq (caso x � 0, tome δ � 0).
Mostre que δ e´ limitado.
1
Lista 2: Aritme´tica de ponto flutuante
Exercı´cio 2.1. � [BF01] Execute os seguintes ca´lculos:
(a)
4
5
`
1
3
, (b)
4
5
b
1
3
, (c)
�
1
3
a
3
11
`
3
20
, (d)
�
1
3
a
3
11
a
3
20
,
utilizando a aritme´tica: (i) de 3 dı´gitos com truncamento e (ii) de 3 dı´gitos com arrendondamento. Calcule tambe´m os
itens (a), (b), (c) e (d) de forma exata e, a partir daı´, os erros relativos em cada caso.
Exercı´cio 2.2. � [CdB80] Os nu´meros abaixo sa˜o fornecidos a um computador que trabalha com Fp10, 4q: x ≔ 0, 4523�
104, y ≔ 0, 2116�103 e z ≔ 0, 2583�101. Sabendo que esse computador opera com arrendondamento, qual e´ o resultado
das seguintes operac¸o˜es:
(a) x` y` z, (b) x
 z, (c) xa y, (d) xa ya z, (e) xb y
 z, (f) y
 pzb xq.
Exercı´cio 2.3. � [RdRL97] Considere umama´quina cujo sistema de representac¸a˜o de nu´meros e´ Fp10, 4, 5, 5q.
(a) qual o menor e maior nu´mero emmo´dulo representados nesta ma´quina ?
(b) como sera´ representado o nu´mero 73, 758 nesta ma´quina, se for usado o arrendondamento ? E se for usado o
truncamento ?
(c) se a ≔ 42450 e b ≔ 3 qual o resultado de a` b ?
(d) qual o resultado das seguintes somas:
s1 ≔ 42450`
10¸
k�1
3 e s2 ≔
10¸
k�1
3` 42450 ?
Exercı´cio 2.4. � [CdB80] Considere a tabela de nu´meros
0, 1580� 100 0, 4288� 101 0, 7889� 103
0, 2653� 100 0, 6266� 102 0, 7767� 103
0, 2581� 101 0, 7555� 102 0, 8999� 104
Enta˜o, assumindo um computador que opera com Fp10, 4q com arredondamento, primeiro some esse nu´meros em
ordem crescente (domenor pro maior) e enta˜o em ordem decrescente. Compare seus resultados com o valor correto da
soma: 0, 107101023� 105.
Exercı´cio 2.5. � [Dat10] Mostre como arrajar as contas em cada de modo a evitar o cancelamento subtrativo.
(a)
a
x4 � 1� x2 (para valores grandes de xq, (b)
1
x
�
1
x� 1
(para valores grandes de xq.
Exercı´cio 2.6. � [Fra07] Calcule
?
9, 876a
?
9, 875 evitando o cancelamento subtrativo.
Exercı´cio 2.7. � [KC91] Considere a fo´rmula f pxq ≔ x�1r1� cospxqs.
(a) Qual valor para f p0q faz com que f seja cont´ınua ?
(b) Pro´ximo a quais pontos ha´ perda de digitos significativos se essa fo´rmula e´ usada ?
(c) Como podemos evitar a dificuldade do item anterior ? Ache umme´todo que na˜o use a se´rie de Taylor.
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