Newton_A

Prévia do material em texto

28
Convergência
Observe o comportamento das iterações representadas a seguir quando usamos o método de Iteração Linear.
Repita o que fi zemos no exemplo inicial e você vai perceber que nem todas permitem construir uma sequência 
que convirja para a raiz. Não discutiremos aqui sobre convergência, no entanto, listamos a seguir, o teorema 
que trata do assunto:
Sendo ξ uma raiz de f(x) = 0, isolada em um intervalo I centrado em ξ e f(x) uma função de iteração para
f(x) = 0. Se
i. g(x) e g’(x) são contínuas em I
ii. |g’(x)| ≤ M < 1, x ∈ I e
iii. x1 ∈ I 
Então a sequência {xk}gerada pelo processo iterativo xi+1 = F(xi) convergirá para ξ. 
3 – MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (M.N.R.)
 
Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar uma apro-
ximação de tal raiz a partir da interseção da tangente a uma curva em um ponto x0 com o eixo das abscissas.
Admitamos um xi próximo de ξ e tracemos uma reta tangente à curva pelo ponto (xi, f(xi)). Consideremos xi+1 
o ponto onde essa tangente corta o eixo Ox e seja α o ângulo de inclinação dessa tangente.
Então teremos 
Mas tg α é a derivada de f no ponto xi. Ou seja, tg α = f´(xi).
Então 
Portanto, 
Fazendo , temos xi+1 = F(xi), como a função de iteração que gera uma sequência {xi} que 
converge para ξ rapidamente. 
29
Obs.: O método de Newton Raphson apresenta, em relação ao Método de Iteração Linear, a vantagem de gerar 
um sequência com maior possibilidade de convergência e mais rapidamente.
Exemplo: 
Suponha que desejamos encontrar uma aproximação da raiz quadrada de 3. Isto é, queremos x = . 
Mas: x = ⇒ x2 = 3 ⇒ x2 – 3 = 0
Admitindo f(x) = x2 – 3, queremos calcular x tal que f(x) = 0.
Mas f´(x) = 2x.
Então a função de iteração por Newton Raphson é 
Ou seja, 
Encontraremos x tão próximo de ξ quanto f(x) estiver próximo de zero. Observe que na tabela encontramos 
x = = 1,732142 com uma aproximação ε = 0,00032 < 10-4.
Exercícios 
1. Investigue se convergem as funções de iteração F(x), para o método de Iteração Linear. 
Repete-se o processo até
que o valor x atenda às
condições de parada.