08_Tensoes

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DEPARTAMENTO DE ARQUITETURA E URBANISMO
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DAU / Instituto de Tecnologia
IT 822 - Mecânica dos solos
Prof. Dr. Fabrício de Menezes Telo Sampaio
Tensões no Solo
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DEPARTAMENTO DE ARQUITETURA E URBANISMO
Introdução
Engenharia � ao sofrer solicitações, deforma-se.
Modificação do volume e forma iniciais. 
Magnitude das deformações: propriedades 
intrínsecas de deformabilidade (elásticas e plásticas) e 
valor do carregamento a ele imposto.
Conhecimento tensões atuantes (peso próprio, 
escavações e cargas externas): comportamento das 
obras da engenharia geotécnica.
Solos: constituídos de partículas (forças aplicadas 
transmitidas por elas, além das suportadas pela água). 
Tensão em um ponto: mecânica do contínuo.
Introdução
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Tensões em uma massa de solo
Conceito: Mecânica dos Sólidos.
Introdução
∆F = módulo da força que atua no elemento de área de 
módulo ∆A.
Estado de tensão em qualquer plano passando por 
um ponto em um meio contínuo é totalmente 
especificado pelas tensões atuantes em três planos 
mutuamente ortogonais, passando no mesmo ponto. 
Estado de tensões ponto � tensor de tensões 
(composto de nove componentes - matriz simétrica). 
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Tensões em uma massa de solo
Introdução
Produto tensor de tensões por versor da normal do 
plano passando pelo ponto considerado (vetor 
n1;n2;n3) fornece as componentes da tensão atuando 
sobre o plano (componentes Px, Py e Pz do vetor P). 
• Solo: sistema particulado.
• Mec. Solos: Tensor de tensões mais 
simplificado (estado de tensões em 
um ponto pode ser representado 
utilizando-se da construção gráfica do 
círculo de Mohr).
• Em cada ponto do maciço podem 
existir estados de tensões diferentes 
para cada fase componente.
• Vazios (ar e água): não suportam 
tensões cisalhantes.
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Tensões em uma massa de solo
Introdução
Decompondo a força atuante em uma placa, 
teremos forças normais (tensão normal) e tangenciais 
(tensão cisalhante). 
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Tensões Geostáticas
São devido ao peso do próprio solo.
Tensão efetiva (σ’): tensão suportada pelos grãos 
do solo (transmitida pelos contatos entre partículas); 
Pressão neutra (µ): pressão da água (poro-
pressão), originada pelo peso da coluna d’água; 
Tensão total (σ): soma algébrica da σ’ e µ.
PrincPrincíípio das Tensões Efetivas de pio das Tensões Efetivas de TerzaghiTerzaghi::
a) Tensão efetiva (solos saturados) é expressa por: 
σ’ = σ − µ
b) Variações de tensões nos solos (compressão, distorção 
e resistência ao cisalhamento) � estado de tensões efetivas. 
Introdução
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Esforços Geostáticos (Terzaghi)
Superfície horizontal � tensões atuantes numa 
determinada cota, sejam normais ao plano. Tensões 
cisalhantes nulas � tensão vertical calculada 
simplesmente considerando o peso de solo.
Peso específico uniforme: tensão vertical total será
produto do peso específico natural pela cota do ponto.
σ = γ . z 
Água presente na camada de solo:
µ = γw . zw (γw = 10 kN m-3)
Natureza � camadas de solo estratificadas. 
Tensões geostáticas
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Esforços Geostáticos
Exemplo 1: Pressões f (peso próprio do solo) sem água.
γ = Pt / Vt
Tensões geostáticas
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Esforços Geostáticos
Exemplo 2: Pressões f(peso próprio do solo) com água.
Neste caso, em função da pressão 
neutra, temos um menor valor da 
pressão efetiva.
Tensões geostáticas
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Esforços Geostáticos
Exemplo de cálculo: Determinar as tensões em A, B, C e D.
Resposta: (Pressões em tf/m², considerando γw = 1,0 tf/m³)
Tensões geostáticas
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Esforços Geostáticos
Solo saturado: tensão efetiva pode ser calculada 
pelo peso específico submerso (γ’ ou γsub). Assim:
σ’ = σ - µ = γsat . z - γw . z = (γsat - γw) . z
γsub = γsat – γw
Dentro de um maciço, também há uma tensão 
horizontal (parcela da tensão vertical). As tensões 
horizontais são aplicadas na determinação de 
empuxos (cálculo de estabilidade de estruturas de 
contenção). Cálculo feito pela seguinte expressão: 
σh = k . σv , onde k = coeficiente de empuxo.
Tensões geostáticas
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Coeficiente de empuxo
Não ocorrendo deformações no solo, k é denominado 
de coeficiente de empuxo em repouso (k0).
Pela Teoria da Elasticidade.
Não confundir com pressão neutra.
φ’: ângulo de atrito interno efetivo do solo. 
Fórmula de Jaki estendida para argilas sobre-adensadas.
RSA é a razão de sobre-adensamento do solo.
para RSA = 4, k0 se aproxima da unidade; 
para RSA > 4, k0 torna-se pouco maior do que um.
Obs.: Solos residuais apresentam valores de k0 de difícil avaliação (PINTO, 2000). 
Tensões geostáticas
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Tensões Geostáticas horizontais
Esforços dependentes dos movimentos relativos do 
solo (instalação da estrutura de contenção). 
Em repouso: são calculadas pelo coeficiente de 
empuxo em repouso do solo.
Tensões geostáticas
Como vimos anteriormente, segundo Jaky (1956), o k0 pode ser 
estimado pela equação abaixo, mais indicada para solos sedimentares.
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Conceito de tensão efetiva
Se a tensão total num plano aumenta sem aumento da 
µ: forças transmitidas pelas partículas por seus contatos 
se alteram (posições relativas alteradas � deformação).
Neste caso o aumento da tensão foi efetivo.
Considerando uma esponja cúbica de 10 cm de lado:
Tensões geostáticas
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Conceito de tensão efetiva
Colocando um peso de 10 N sobre a esponja: 
Pressão = 1kPa (10 N/0,01 m²), distribuída dentro dela. 
Há deformação, com expulsão de água da esponja 
(acréscimo de tensão foi efetivo).
Mas se ao invés do peso, elevarmos o nível da água 
em 10 cm: Pressão continua 1 kPa (10 kN/m³ x 0,1 m).
Embora aumente a pressão total, não se tem 
deformação, pois a água atua também nos vazios, 
mantendo a estrutura da esponja.
Como não houve deformação, a pressão foi neutra.
Tensões geostáticas
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Conceito de tensão efetiva
A tensão efetiva é responsável pelo comportamento 
mecânico do solo (resistência e deformação do solo).
A pressão neutra pode ser oriunda do nível d’água ou 
carregamentos aplicados sobre o solo (como veremos a 
seguir), podendo levar à ruptura.
Percolação d’água: interfere nas pressões neutras.
Tensões geostáticas
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Acréscimos de Tensõesno Solo 
Ocorrem quando os maciços de solo recebem 
cargas externas. A Teoria da elasticidade é
empregada para a estimativa dessas tensões. 
Limitações e críticas � mas de fácil aplicação.
i) Carga Concentrada na Superfície do Terreno 
(Solução de Boussinesq)
Hipóteses: superfície horizontal de um espaço semi-
infinito, homogêneo, isotrópico, e elástico linear. 
Aplicando-se uma carga em superfície (no plano e em 
três direções), calculamos o acréscimo vertical de carga.
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Carga concentrada aplicada na superfície:
Acréscimos Tensões
σv = acréscimo vertical de carga; 
P = carga concentrada; 
z = distância do ponto de aplicação de P até o ponto 
de interesse; 
r = distância (em superfície) do ponto de aplicação 
de P até o ponto de interesse. 
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Mantida a relação de r/z, a tensão é inversamente 
proporcional ao quadrado da profundidade do ponto 
considerado. Na vertical abaixo do ponto de aplicação 
da carga (r = 0), as pressões são: 
Acréscimos Tensões
Esta fórmula nos possibilita o traçadode um 
gráfico da profundidade (eixo z) versus a tensão 
(eixo x), obtendo-se os bulbos de tensões.
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Acréscimos de Tensões no Solo 
(a) Distanciando na horizontal do ponto de aplicação 
de P (aumento de r) � diminuição da intensidade das 
tensões até um certo ponto onde P não influencia mais. 
(b) Na distribuição de tensão na vertical passando 
pelo eixo de simetria da área carregada, unindo pontos 
dentro do maciço com o mesmo valor de acréscimo de 
tensão, surgem as linhas denominadas de isóbaras. 
(c) Conjunto das isóbaras recebe o nome de bulbo 
de tensões.
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
ii) Solução de Westergard
Para simular condição de anisotropia que acontece 
em depósitos sedimentares que contêm camadas 
entremeadas de material fino e areia, que apresentam 
grande capacidade de resistência lateral � solução de 
Boussinesq não é aplicável. Baseado em Boussinesq, 
o modelo assume que as deformações laterais são 
totalmente restringidas: 
Acréscimos Tensões
µ = coeficiente de Poisson 
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Acréscimos de Tensões no Solo 
iii) Carregamento Uniformemente Distribuído sobre 
uma Placa Retangular 
Newmark desenvolveu uma integração da equação 
de Boussineq para o cálculo de carregamentos 
uniformemente distribuídos numa área retangular. 
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
A equação depende apenas da geometria da 
área carregada. Assim, os termos podem ser tabelados. 
Acréscimos Tensões
Temos então:
Iσ é um fator de influência que depende apenas de m 
e n. Os valores de Iσ podem ser mais facilmente 
determinados com o uso de um gráfico ou através de 
tabela específica.
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DEPARTAMENTO DE ARQUITETURA E URBANISMO Acréscimos Tensões
Gráfico para 
obtenção do Iσ
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Acréscimos Tensões
Fatores de influência para uma placa retangular:
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Acréscimos de Tensões no Solo 
iv) Carregamento Uniforme sobre Placa Retangular de 
Comprimento Infinito (Sapata Corrida) 
Uma das dimensões de uma placa retangular for muito 
superior à outra (> duas vezes a largura). Tensão 
resultantes no maciço de solo podem ser obtidos por 
formulação desenvolvida por Carothers & Terzaghi. 
As tensões no ponto A situado numa profundidade z 
qualquer e com distância x do centro da placa são 
calculadas. 
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
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Acréscimos de Tensões no Solo 
v) Carregamento Uniformemente Distribuído sobre 
uma Área Circular (Love)
Cálculo feito integrando a equação de Boussinesq
para toda a placa. Para uma determinada profundidade 
z, abaixo do centro da placa de raio r, as tensões podem 
ser calculadas de acordo com a seguinte equação: 
Acréscimos Tensões
Isolando-se o termo entre as chaves, 
tem-se o fator de influência Iσ. O valor 
desse fator depende da relação z/r e 
x/r, obtido por tabela ou gráfico.
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Acréscimos Tensões
Área Circular (Love)
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Acréscimos Tensões
Área Circular (Love)
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Acréscimos de Tensões no Solo 
vi) Carregamento Triangular de Comprimento Infinito 
Usado quando se deseja conhecer os valores de 
tensão que ocorrem no interior dos maciços devido à
presença de aterros e/ou barragens. 
Mais comuns: triângulo isósceles e o trapézio retângulo.
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Triângulo isósceles:
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Trapézio:
Acréscimos Tensões
Por superposição de carregamentos 
do trapézio, podemos expressar:
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Acréscimos de Tensões no Solo 
Trapézio:
Acréscimos Tensões
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Acréscimos de Tensões no Solo 
vii) A solução de Newmark
Com base na solução de Love, é utilizada para 
carregamento de forma irregular na superfície. Por um 
ábaco com a relação r/z e o fator de influência Is, admite-
se que o carregamento na superfície será o mesmo em 
qualquer profundidade e que este pode ser dividido em 
diversas áreas. Cada área contribui com uma parcela de 
acréscimo de tensão. Normalmente, a divisão é feita em 
pequenas áreas de número igual a 200. 
Desenha-se o ábaco de Newmark (ábaco dos 
quadradinhos) � setores de anel circular. 
Acréscimos Tensões
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vii) A solução de Newmark
Acréscimos Tensões
Área carregada desenhada em papel 
transparente e numa escala tal que o 
segmento AB do gráfico seja igual à
profundidade z de interesse;
Coloca-se o desenho em planta sobre o 
gráfico, com projeção do ponto estudado 
(interno ou externo à área carregada) 
coincide com o centro do ábaco;
Conta-se o número de setores (unidades 
de influência) englobados pela área, 
estimando-se as frações parciais;
A tensão vertical induzida no ponto 
considerado será dada por:q = pressão.
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Pressões de contato no solo 
Uma força ou pressão, aplicada na superfície ou no 
interior do solo (semi-espaço elástico), distribui-se nos 
vários pontos desse solo. 
Fundações: sua rigidez intervém redistribuindo a carga 
na superfície de contato desse elemento com o solo. 
Elementos de transferência de cargas (placas rígidas e 
flexíveis) � distribuição de cargas e recalques específicos.
Pressões de contato
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Pressões de contato no solo 
Placa flexível: pressão de contato é uniforme (= P). 
Solo coesivo � recalque no centro maior que nos 
cantos. Não coesivo � inverso (o confinamento provoca 
aumento da elasticidade, conferindo-lhe maior rigidez).
Placa rígida: recalques uniformes em toda sua largura. 
Solos coesivos � pressão de contato não é uniforme 
(maior nos bordos que no centro, para compatibilizar a 
condição de recalque uniforme). Não coesivos �
pressão maior no centro para vencer o aumento da 
rigidez provocada pelo confinamento.
Pressões de contato
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Recalques imediatos ou elásticos 
Cargas sobre solo � variação do seu volume.
Causas: compressibilidade da fase fluida (ar) ou por 
drenagem da água intersticial. Deslocamento vertical 
resultante desta compressão do solo � recalque. 
Drenagem: associada à permeabilidade do solo 
(argiloso saturado sob carga rápida - baixa 
permeabilidade do solo retarda o processo da expulsão 
da água e a deformação ocorre a volume constante).
Tem-se assim recalque imediato (ρi), dado por: 
Recalques imediatos
q = carga uniforme ; E e v = parâmetros elásticos do solo ; 
B = menor dimensão da área carregada ; Is = fator de 
influência.
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Recalques imediatos ou elásticos 
Depósitos homogêneos de argila saturada de grande 
extensão, a hipótese de E constante é consistente.
Areias: E depende da pressão de confinamento (não 
se aplica a fórmula anterior).
Na tabela abaixo, tem-se o valor de Is.
Recalques imediatos
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Bibliografia
1. CAPUTO, H. P. Mecânica dos solos e suas aplicações. Rio 
de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1978. 219 p. 
2. NOGUEIRA, J. B. BUENO. Mecânica dos solos. Gráfica 
EESC/USP. São Carlos, 1988.
3. PINTO, C. S. Curso básico de mecânica dos solos. São 
Paulo: Oficina de Textos, 2002. 355p. 
4. Apostilas didáticas.
Bibliografia