Apostila IME Servomecanismos - Parte 1 - Sistemas de Controle Lineares

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MINISTERIO DO EXERCITO
 
SECRETARIA DE CI£NCIA E TECNOLOGIA
 
INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA
 
Se~ao de Engenharia Eletdca 
SISTEMAS DE
 
CONTROLE LINEARES
 
Tcn eel Paulo Sergio dc Carvalho ALVARENGA, IVLe. 
Rio de Janeiro, dezcmbro £Ie 1992. 
___________iN_D_I_C_E ] 
P;lgin;1 
SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES 
1. 
2. 
3. 
4. Fontes de Consulta 
U nidadcs Djd~ltic<.ls 
Objctivos da Cadcira 
Sum <1 rio 
Engenllaria c CienciCl 
2 
2 
UD-l INTRODU<;Ao AOS SISTEMAS DE CONTROLE 
1.1 
1.2 
1.3 
104. 
I.S 
1.6 
Objetivo 
SUl11clrio 
Prc- Req uisi tos 
Introduc;:ilo 
Sistema de Con trolc 
a) Sistemas de Controlc a Malha Abcrta 
b) Sistcmas de Con trole a Ma Ill<! Fcchada 
Tcrmillologia de COlltrolc 
Fund8mcntos Historicos 
FUl1clamcl1tos M<ltCl118ticos 
Natureza Gcral do Problcm~l de COlltrole 
,I 
'l 
<+ 
-+ 
.") 
) 
6 
~ <. 
10 
12 
13 
III 
UD-2	 MODELOS MATEMA.TICOS DE SISTEIVIAS FISICOS 14 
Objetivo 14
 
Sumario 14
 
Prc-Rcquisitos 14
 
2.1	 Modelagem de Sistemas Elctricos e Mecanicos 14
 
2.2	 Linearizayao de Modelos Matematicos 18
 
2.3 Analogias entre os PadllTIetros dos Sistemas Elctricos e Mecanicos 21
 
a) Analogia Forya-Tensao 21
 
b) Analogia Forya-Corrente 22
 
2.<1 Fun~ao de Transfercncia 23
 
2.5	 Diagrama de 810cos 34
 
2.6	 Exemplos Ilustrativos 39
 
a) Circuito RLC-Scrie 39
 
b) Sistema Mecanico de Rotayao 39
 
c) Sen'omotor 8ifasico 40
 
c1) Servomotor CC Controlado pcla Armadura 42
 
UD-3	 SIST£iVIAS DE CONTROLE DE SECUNDA ORDEM 45
 
Objctivo	 45
 
Su m~l.rio	 45
 
Prc- Reg uis itos 
3.1	 Car(\ctcrizayJo dos Sistcm~1s cle Segunc!:l Orclem 45
 
3.2	 An:llisc da RcSPOst:l Tr<lnsiloria 
(1) Respost(\ ao Degrau
 
b) Rcsposta ?O Impulso
 
c) Localiza~ao das Raizes no Plano s e Resposta Transit6ria 
d) Constante de Tempo 
3.3	 Especifica~6es de Desempenho 
I) Tempo de Subida 
2) Tempo de Pico 
3) Ultrapassagcm Maxima 
4) Tempo de Acomoda9ao 
3.4	 Exercicio 
UD-4	 PROPRIEDADES DOS SISTEMAS DE CONTROLE 
4.1 
4.2 
4.3 
4.4 
4.5 
4.6 
4.7 
Objetivo 
Sllmario 
Prc- Rcq II isitos 
rntrod u<;ao 
Criterio de Estabiliclade de Routh 
Significados Fisico e Matem:hico 
Tipos de Sistemas de Controle com Retroa<;ao 
Analise dos tipos de Sistemas 
Constante de Eno Estacion'lrio 
a) Constante de Erro Estaciooclrio ao Degrau 
b) COl1stante de Erro Estacion{lrio 8 Rclmpa 
c) CansUlnte de Erra Estacionilrio a Par<lbola 
Utiliza<;8o clas Constantcs de Erro Estacion{lrio 
53
 
57
 
58
 
60
 
61
 
61
 
62
 
65
 
68
 
63
 
68
 
68
 
68
 
69
 
76
 
77
 
73
 
87
 
37
 
\' 
92 
UD-S LUGAR DAS RAIZES 94 
Objetivo 94 
Sumario 94 
Pre-Requisitos 94 
5.1 IntroduyD.o 94 
5.2 Rcprcsentayao das Raizes de uma Equayao Caracteristica 95 
5.3 An{t1ise Qualttativa do Lugar das Raizes 90 
SA Proceciimcnto Resumido 100 
5.5 Funy8.o de Transfercncia a Malha Abcrta 101 
5.6 Polos cia Relay30 de Con trolc 102 
5.7 Propricclaclcs Geomctricas do Lugar clas Raizes 109 
5.8 Exercicio 12:5 
I 
SISTElVIAS DE CONTROLE LINEARES
 
________________________________----.J 
SUMARIO 
I. Engenharia e Ciencia 
2. Objetivos da Cadeira 
3. Unidades Didaticas 
4. Fontes de Consulta 
1. ENGENHARIA E ClENCIA 
a) "THE ENGINEER, A PERENIAL STUDENT", de William L. Everitt. 
- Os cientistas buscam resposta para a questao:
 
se voce tern urna certa com binw;ao, 0 quc acontccera?
 
Os engenhciros procur~lm rcsponder a:
 
se voce quer fazer com que algo aconte~a, 0 que devera combinar para tal?
 
- Os cientistas exploram aquilo quc c; 
os engenheiros criam aquilo que nunca foi (cita~ao de Theodore Von Kauman). 
- 0 cientista nnalisa; 
o engenheiro sintetiza. 
- Um engenheiro sabe se um disposiLivo vai Cuncionar antes de construi-Io; 
qualqucr rnaluco s6 0 sabed depois. 
- A missao do engeJlheiro: criar e otimizar, atcnder ou contribuir para 
atencJimcnto das necessiclacJes cia humanidaclc. 
b) "MODERN CONTROL SYSTEMS", de Rich:ud C. DOI-r. 
- Engcnharia : compreensao e controlc c10s materiais e clas l'on;as da natureza em 
bcnct'icio cia humanidade. 
- Enp:cnharia de Controle de Sistemas :. est:'l ligada <.i compreensilo e ao controle 
de LIm sUbconjuJlto desse ambiellte, COlTIUI1lente dCl1ominado sistema, a fim (Ie 
proporciol1<'lr <'1 socicdcldc um produto ccol1omicamel1tc lltil. 
0 
2. OBJETIVOS OA CADEIRA 
Capacitar 0 aluno a : 
a) Compreender os fundamentos bclsicos dos sistemas de controle e a natureza 
geral do problema de controle. 
b) Obter modelos matem6ticos de sistemas clCtricos e llleCaniCOS, deduzir suas 
funyoes de transrercncia e represent<:1-[os por meio de diagramas de blocos. 
c) Analisar a resposta transitoria de sistemas de segunda ordem lineares, 
continuos e invariantes no tempo, e verincm 0 atendimento de suas 
especificayoes de desempenho. 
d) Compreencler e analisar os conceitos de estabi:idClde e de erro estacion~lrio para 
sistemas de controle lineares, continuos e in ,'ariantes no tempo. 
e) Analism e projctar sistemas de controle monovariaveis lineares, continuos e 
invariclI1tes no tempo por meio do lugar clas ralzes. 
3. UNIDAOES OioATICAS 
UD - 1 Introduy~o aos Sistemas de Controle 
UD - 2 Modelos MateJllclticos de Sistemas Fisicos 
UD - 3 Sistemas de Segunda Orclem 
UD - 4 PropriedCldes dos Sistemas de Con trole 
UD - 5 Lugar das Raizes 
4. FONTES DE CONSULTA 
a) Jonh J. D'AZZO c Constantine H. Houpis 
" Analise e Projeto de Sistema de Controle Lineares " 
1982 Guanabara Dois 
629.8312 o 227A 
b) Kcltsuhito OGAT r\ 
" Engenharia de Controle Moc!crno " 
1982 Prentice/Hall do Brasil 
629.8 0 34 
c) Richard C. DORF 
" Modern Control Systems" 
1986 .-\dc! is(ln-Wesley Pu blishing Company 
629.83 0 695 
" Sistemas Automa~icos de Control - Teoria v Pr:lctica " 
1978 Fondo EC]UCllivo [nleram~ricano, S.A. 
d) Joseph J. DISTEFANO, Allen R. Stubberud e Ivan J. Willians 
" Sistemas de Retroay3o e Contro1c " . 
1972 McGraw-Hill clo Brasil, COley3o Schaum 
629.83 D 614 
e)	 Stanley M. SHlNNERS 
" Modern Control Systems Theory and Applications" 
1972 Addison- Wesley Publishing Company 
f)	 " Sistemas de Controlc Lincarcs " 
Apostila cia Cadcira 
1992 [ME 
3 
UD-1
 
INTRODU<;AO AOS SISTEMAS DE CONTROLE
 
OBJETIVO 
Apresentar aos alunos os conhecimcntos basicos sobre sistemas de 
controle, sua evoluc;ao, seus funclamentos e a natureza geral do problema de 
eontrole. 
SUl\1AIUO 
1.1 Introclw;:ao 
1.2 Sistemas de Controle 
1.3 Terminologia de Controlc 
1.4 Fundamcntos Hist6ricos 
1.5 Fundamcntos Matematicos 
1.6 Natureza Geral do Problema cle Con trolc 
PRE-REQUISITOS 
Nao ha. 
1.1 INTRODUCAO ( Of AZZO 1.1 ) 
o emprego cle sistemas de controle automatICo esta amplamente 
difundiclo no clia-a-dia da sociedade. Sao cxemplos clisso: torradeira elctrica, 
maquina de lavar e secadora automaticas, gcladeira, fomo de microondas, 
aparelhos cle ar condicion~lclo, ferro eletrico, autom6vel, aviao, veiculo espacial e 
processo industrial. 
4 
1.2 SISTEMA DE CONTROLE ( D' AZZO 1.2 ) 
a) Sistemas de Controle a Malha Aberta 
DEFINIC;AO: Sistemas para os quais a grandeza de saida nao produz efeitos 
sobre a grandeza de excitayao. 
Fante de tensao 
para 0 campo 
Seletor
 
de tensao
 
50 
\ , , I I I /
 
C) ,\ /
 
do motor 
Motor de corrente 
continua 
" ./ 
Corrente de campo 
D 
Velo­
cidade 
Va 
Tensao de 
armadura 
Q..I------l-------"'i 
Fonte de ten sao 
para a armadura 
fig I.I-u :\·Iotor de CC - Sistema dc Controle a MallIa Abcrta ( D'AZZO ) 
Sinal de S' I d Ina e 
Seletor de referencia Unidade 
referen~ia dinamica 
Respostacomando 
(Entrada) (Saida) 
fig 1.1-c Diagr:llna de I3locos fUllCioll:l1 do Motor Elarico CC ( D' AZZO ) 
Entrada Contro­
lador 
Planta ou 
proc8SSO 
Saida 
p 
fig 104 Sistcma de COlltrole a f\blha Aberta ( OGATA) 
5 
b) Sistemas de Controle a Malha Fechada 
DEFINI<;AO: Sistemas para os quais a grandeza de saida produz efcito sobre a 
grandeza de excitayao. 
Diagrama de Blocos - Representay6es Encontradas 
i) 
Sinal de Sinal /' Oinamicaf •re erencla tatuan e do sistemaISinal de 
Resp ostacomando \+ 
./
/ Canal 
direto 
Seletor de 
referenda (SaId 0)(Entrada) -
Sinal de _ 
retroay3.o 
.. Canal de 
retroay3.o 
Figura 1.2 ( D' AZZO ) 
ii) 
ntradaE 
~ 
" 
Contralador 
Il. 
"
 
Planta au 
processo 
Saida 
~ 
Elementa 
de medida 
Figura l.i ( OGATA) 
Exemp[o de Sistema de Controle a Malha Fechada: Diagrama Representativo da 
Ayao de Dirigir um Automovel. 
BRA<;:OSDIREr;;AO 
CEREBRO .. EDESEJADA MAOS 
. I 
OLH os r 
f---<» 
DIREr;;AOSISTEMA SEGUIDA 
DE 
PELODIR Er;;AO 
AUTOMOV EL 
fig-ura I.7 ( D'Aj20 ) 
6 
Sistema de Controle Tcrmico - Rcalimcnta9ao:Manual 
Term6metro 
- --II ~ Agua 
quente 
Vapor --------
Agua 
tria --..'---------­
oreno 
Figura 1.2 ( OGATA) 
Sistema de Controle Termico - Realimentay30 Automatica 
.AguaDispositivo ~ quentede medida da 
temperatura 
Controlador 
auto matico 
Valvula de
 
controle
 
Vapor 
Agua tria ~---------/ 
Dreno 
Figura 1.3 ( OGATA) 
7 
VANTAGENS DO SISTEMA DE CONTROLE A MALHA FECHADA 
A REALIMENTA<;AO torna a resposta do sistema relativamente insensivel 
a distlJrbios externos imprevisiveis e a variac;oes intern as em parametros do 
sistema. 
Possibilita 0 cmprego de componentes mais baratos e mcnos precisos para sc 
obter 0 controlc descjado. 
VANTAGEM DO SISTEMA DE CONTROLE A MALHA ABERTA 
Nao apresenta problema de ESTABILIDADE. 
A c1iferenc;a fundamental entre os sistemas de controle a malha abcrta e 
a malha fechada reside na retroay8o ( realimcntac;ilo, "feedback" ) apresentada 
por estes. 
1.3 TERMINOLOGIA DE CONTROLE
 
SISTEMA c uma cOl11binay2.o de cOl11ponentes que agCI11 em conjunto no 
desempenho de uma funyiio que seria impossivel para qualquer das partes 
isoladamente. 
RETROA<::=AO c a compnrac;ao da res posta com 0 sinal de refercncia. 
SISTEMA DE CONTROLE COM RETROA<::=AO 6 aqllcle quc opera de modo 
a realizar rclayoes preestabelecidas entrc variaveis sekcionadas do sistema, 
comparando funyocs dessas variaveis e empregando a comparayiio para efetuar 
o controJc. 
CONTROLE CONTINUO caquele em que a resposta ccontinuamente enviacla 
de volta e comparada com 0 sinJI de refercncia na entrada do sisten1J de controJc. 
CONTROLE OISCRETO caqllelc em que a resposta e 0 sineJ! de refercncia silo 
periodic3.mentc al11ostrCldos e comparacios. 
CONTROLE LINEAR c aquele em que a relay30 entre a saida e a entrada 
obecJece aos principios dCl su pcrposiyilo e da homogcneidade. 
CONTROLE INVARIANTE NO TEMPO C ClqucIe em que a rclay.3o entre a 
saida e a entradCl do sistema indcpcnde do tempo. 
CONTROLE fl/l0NOVARIA VEL caquelc apresentaclo por um sistema de LJma 
entrada e uma said3 ( srso: "Single Input, Single Output" ). 
8 
CONTROLE MULTIVARIAVEL c aquele apresentado por urn sistema com 
mais de uma entrada, ou mais de uma saida, ou ambas as condi<;oes 
simultaneamente ( MIMO: "Multiple Input, Multiple Output" ). 
CONTROLE ESTOcAsTICO ( PROBABILISTICO ) c aquele em que as 
vari6veis possuem uma distribui<;ao de probabilidades. 
CONTROLE DETERMINISTICO c aquele em que as variaveis apresentam 
valores deterministicos em cada instante. 
Os sistemas de controle abordados nesta cadeira sao os sublinhados: 
- LINEARES - NAO LINEARES 
- INVARIANTES NO TEMPO - VARIANTES NO TEMPO 
- ESTOCASTICOS - DETERMINISTICOS 
- CONTINUOS - DISCRETOS 
- MONOVARIAvEIS - MULTIVARIA VEIS 
CONTROLE LIGA-DESLIGA ( "ON - OFF", TUDO OU NADA ) C·.1qucIe 
em que a a<;ao de controle cdescontinua em amplitude. Exemplo: termostato de 
geladeira. 
SERVOMECANISMO ( ou SERVO) c um sistema de controle mecanico no 
qualo erro C nulo em regime permanente para um sinal constante. Este termo c 
tam bern empregaclo de forma gcneralizada para qualquer sistema de controle 
com rctroa<;ao. 
REGULADOR c urn sistema de controlc no qual a resposta a uma excita<;:ao 
constante C, em regime permanente, tambcm constante. 
9
 
1.4 FUNDAMENTOS HISTORICOS (D' AZZO 104) 
securo I - Dispositivo de HERO para abrir as portas de urn templo. ,. 
DHD !OJ 101 
DD DO 
n~Dn 
Figura 1.8 ( D' AZZO ) 
1778 - Regulador de esferas de JAMES WATT, para controle de vclocidadc. 
+ 
Ponto de 
ajusto 
Vapor ~·~.EiJ. ...-~ Para a ~ ._ m~quiniJ 
Figura 1.6 ( OG,\TA ) 
10 
1868 - MAX\VELL estuda analiticamcnte a cstabllidade do regulador de esfcras. 
1876 - WISCHNEG RADSK Y, engcnheiro russo, idealiza soluyao mais detalhada 
da estabilidade de urn rcgulador de esferas de terceira ordem. 
1922 - MINO RSK Y realiza uma das primeiras aplicayoes de elementos nao 
lineares em sistemas a malha fcchada, ao estudar a pilotagem 
automatica de navios. 
1934 - HAZEN pUblica 0 artigo "Teoria dos Servomecanismos". 
- BLACK pUblica urn artigo sobre amplificadores realimentados. 
1940/45 - Instituto de Tecnologia de Massachussets (MIT) laboratorios de 
servomecanismos, de radio e de instrumentayao. 
- Sistema de acompanhamento de radar antiacreo, urn dos primeiros 
exemplos de aplicayao militar de sistemas de con tole com retroayao. 
Aeronave Posic;ao prevista 
_ ~ ~ para a aeronave 
---'-~ ---~ Quando da chegada 
/ \ / do projetil 
I \ / 
1\/
\ /I y
 
I / \
 
/; . / \ 
IAngulo / \ 
I de / \ ~anc;~/ \\ 
I "y/ \ 
/1 /\ \\
 
I / \ 
I / \ Antena do radar 
/ Angulo de tiro \ 
I \ 
I Canhao 
nntiaereo Retroac;ao 
Motor do acionamonto 
Sinal ntuanle I 
Figura 1.9 ( 0' AZZO ) 
- Controle do !live! de potcnciJ em rcatores nucleares. 
Sinal 
atuantc ! I RespostaSinal de + ;. Estrutura l ' I Barras ~ ~~::,~o~r. _ _+_I\-----, ­
referencia de control8;-"lrcguladOrasl ~L__'__;_L--_-_--=- ----' 
rigura 1.10 ( 0' AZZO ) 
I [ 
- Ate 0 final da dccada de SO: Teoria de Controle Classico, ou Convencional. 
Sistemas SISO. 
- A partir do final da dccada de SO: Teoria de Controle Moderno. 
Sistemas MIMO. Soluyao de problemas complexos ligados aatividade espacial: 
- Otimizac;;ao de trajetoria.
 
- Problemas de tempo minimo.
 
- Problemas cle energia minima.
 
Exemplo de Sistema MIMO: transporte de urn lanc;;ador cspacial. 
Hangar 
-..-x 
Vefculo transportador 
Trator Plataforma 
controlado de lanc;amento 
Lan9ador espacial 
fi;;ur~ 1.1 I ( D' A2:2:0 ) 
Controlador 
\ 
1.5 FUNDAMENTOS MATEMATICOS	 ( Df AZZO 1.5 ) 
a)	 Soluc;;ao de equac;;oes diferenciais por meio das tccnicas classicas. 
b)	 Emprcgo da Transformada de Laplace. 
c) NYQUIST, 1932, artigo aplicando calculos cia resposta de freqLicncia em re­
gime estacionario ao projeto de amplificadores realimentados. BLACK e 
BODE ampliam 0 trabalbo cle NYQUIST. 
d) HALL e HARRrS aplicam a cJnfdise cia I"esposta de freqLiencia 80 cstudo de 
sistemas cic con trole com reaJimcn tay9.0. 
e)	 EVANS, 1943, aprcsenLc; a teoria do Jugar d8S raizcs. 
- Fomece uma reprcscntaya.o grafieD d<1S propricdadcs de cstabilid8de de urn 
sistema.
 
- Perrnite (; c!ctermina<;:2o graricJ del resposta de frequ.cllcia.
 
- Reuniu 2.S teorias de T,af1slormadJ. de Laplace e cJc circuitos.
 
f)	 Teoria de Conti O:C M~Jdcrn(} crnprcgaIlcJo ,1S tcoriClS cia Transformada de 
L<1placc c (;(, !\lgc[:,:-a )_,:lCJr 
12 
1.6 NATUREZA GERAL DO PROBLEMA DE CONTROLE(D'AZZO 1.6 ) 
PROBLEMA DE CONTROLE C 0 projeto do sistema de controle destinado a
 
atender caracteristicas de desempcnho prcviamcntc dctcrminadas.
 
Etaras de urn problema de controle
 
1) Estabelecimcnto de um conjunto de especificac;6es de c1esempenho.
 
2) Formulac;ao do problema de controle.
 
3) Descric;ao do sistema fisico por meio de urn conjunto de cquac;6es diferenciais.
 
4a)Emprego da Teoria de Controlc Classico
 
- Uso dos metodos classicos de analise (Iugar das raizcs, Routh, Nyquist, Bode 
c Nichols) para Ycrificar 0 atendimcnto das espccificac;6es de dcsempcnho 
pelo sistema inicialmente concebido. 
- Acrcscimo de compensadorcs a flm de melhorar a res posta do sistema, caso 
nao atencJa inicialmentc as especificac;6es cJe cJcsempenho. 
4b)Emprego cia Teoria de Controle M<)derno 
- Especificac;ao de lim indice de c1esempenho atimo. 
- Obtenc;50 cia cstrutura de controle que atencJa 0 descmpenho atimo. 
13
 
UD-2
 
~DELOSMATEMATICOS DE SISTEMAS FisICOS 
OBJETIVO 
Desenvolver os conceitos basicos que possibilitam a modelagem 
matematica de sistemas fisicos continuos e invariantes no tempo e a obtenc;8.o de 
suas funyoes de transferencia e diagramas de blocos, com en fase. em sistemas 
lineares. 
SUMAR!O 
2.1 Modelagem de Sistemas Elctricos e Mecanicos 
2.2 Linearizac;ao de Modelos Matematicos 
2.3 AnaJogias entre os Parametros dos Sistemas [lctricos e Mecanicos 
2.4 Funyao de TransFerencia 
2.5 Diagrama de 810cos 
2.6 Exemplos Ilustrativos 
PRE-REQUISITOS 
- Transformada de Laplace (D'AZZQ 4.1 a 4.5 ) 
- Expansao em Frayoes Parciais (D'AZZQ 4.6 a 4.9 ) 
- UD-1 
2.1 1\10DELAGEM DE SiSTEMAS ELETRiCOS E MECANJCOS 
(OGATA 4.2) 
ELEMENTO ATIVO de um sistema e 0 clcmento flsico que poclc fornecer 
energia extern a a esse sistema. 
ExempJos : Fontes de tcnsilo, de corrente, de forya c de torque. 
ELEMENTO PASSlvO de urn sistema C 0 clcmento Fisico que armazcna ou 
dissipa a energia do Slstema. 
Exemplos : capo.citoles, inclutorcs, rcsistores. massas, JnerclC1s, :llllortcccdorcs c 
mo!as, 
14 
a) Circuito RLC - Serie 
L 
-
+R 
­+
 
+ + L - indutancia, H
 
R - resistencia, Q
 
eil tJ 
+ 
eow C - capaciUincia, F
J e ­ i( t) - corrente, Ar Ci( t) - tens3.o de entrada, V -0 co( t) - tens30 de saida, Vo~--------
Fig 4.4 Circuito RLC - Scric 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tens6es ( KVL ) as duas malhas do 
sistema obtcm-se sell modelo matematico na forma de urn sistema de duas 
equayoes intcgro-diferenciais : 
di(t) 1 fL ---;j{ + R i(t) + C i(t) dt = c/(t) (04.3) 
(04.4)~ fi(t) dt = eo(t) 
b) Sistema Mecanico de Translay3.o 
x(t) - forya 3plicada 
y(t) - desloc3Illento cla m3SS8 171 
f - coeficien le de frlcyao vlscosa 
II:. - constan le de proporcionalid3odc da mol8 
Fig 4.2 Sistema :llllortecedor "iSCOso-l1lo!a-lll:L<;s:t 
PREMISSAS: 
dy(/)
a) Forya de fric y30 cio amorteccdor proporcional a - ­dt 
b) MolD. linear ( foryo na mola proporcional ;} y(t) ). 
15
 
Para sistemas mecanicos de translac;:ao~a LEI DE NEWTON estabelece : 
I:F=m.a F - forc;:a, N
 
nz - massa, Kg
 
a - acelcrac;:ao, m/s2
 
dy(t) d2y(t)
-/----:it - ky(t) + x(t) = m dt 2 
o modele matemcitico do sistema c, portanto : 
d2y(t) dy(t) (04.2)m dt 2 +/ dt + ky(t) = x(t) 
Seu equivalcnte com notac;:ao simplificacla c: 
I mj)+fY+ky~x : 
c) Sistema Meulnico de Rota<;ao 
T(t) - torque aplicaclo, N.m 
w(t) - velocidade angular, rad/s 
J - momento de inercia da carga, Kg,m 2~" / ­\)t==(tl~EB gJ= coeficientc de fricc;:ao viscosa, 
N.m/rad/s
f 
fig 4.3 Sistema mcc:"tllico de rotay:Lo 
Para sistemas mccanicos de rotac;ao a LEI DE NEV/TON estabelece : 
I: T = J .ex ex - acelerac;ao angular, rad/s2 
dw(t)
-/w(t) + T(t) = J dt 
o ITIodelo mateITI<itico do sistema C, portanto: 
dw(t) 
ou J dt +/w(t) = T(t) 
16
 
TABELA 2.2 RICHARD C. DORF
 
ANALOGIA FOR\=A - CORRENTE
 
22 SISTE~II\S AUTO,\IATICOS DE CONTROL 
Tabla 2-2 
RESU~1EN DE ECUACIONES DIFERENCII\LES DESCRIPTIVAS PARA ELEMENTOS IDEAU:S 
Encrgia [ 0[cllaciollTipo de Ekmenlo Simbolo 
elemento pOlencia (j'descri pt ivafisico 
lnductancia L i 
CICCI rica V2~Vl 
1 [1
E =-­Resorte de 1 dF ~11 = K di Iraslacion 2 KAlmacenamien­
to inductivo
 1-------+-------t---1-T-1---t-----K------f 
Resone 1 dT 
(:)!I =-- E=-- "'2~T 
rowcional K dl 2 K "'I 
Inercia I Q 
del nuido 
= JdQ P2~PIdi 
Capacilancia 1= C ~~!I E = led,
electrica . dl 
Masa de F = M d~l 
dl E = ±Md F~~,=traslacion 
conSlalllc 
Almacenamien- Masa T = J dw! T~~=to.capacilivo rotacional dl conSlanle 
Ca pacita ncia 
del nllido 
Capacilancia Q~If = e d'J! J2 J I = 
, ililermica 
conSlanlC 
Resislencia . I 1 , n . 
I = RC~I <? = - Ui IR - V2~VleleCI rica 
Amort igllacion 
r = Ic~ I <5' =IIJ~,de Iraslaciol1 
Disip,ldores A mort iguacion f 
de encrgia rOlilclollal T~wl 
1-- + -j- --J! w--:2 --J 
Resislel1Clit I Q = R;I /'del nuido ;1I 
Resislencia 1 
<5' = -::1"/I, ­IcrmiC<l 
17 
2.2	 LINEARIZACAO DE MODELOS MATEMATICOS (OGATA 4.3) 
(DORf 2.3) 
Urn sistema c LINEAR se c somente se satisfizer as propriedades de 
SUPERPOSI~AO e HOMOGENEIDADE. 
SUPERPOSI~AO	 ENTRADA SAIDA 
--trl (t)	 yJt) 
--tr2(t)	 Y2(t) 
--trJ(t) + r2(t) YI(t) +Y2(t) 
HOMOGENEIDADE 
r(t)	 y(t) 
tX r( t) --t tXy(t) (tX E lffi) 
Urn sistema nao linear que apresente peqllenas variay6es em torno de sell 
ponto de opcra<;ao pode ter seu modelo matematico Jinearizado pela tecnica a 
seguir. 
a) Seja um sistema nao linear com entrada x(t) e saida y(t) relacionadas por : 
y = .f(x)	 (04.17) 
Se a condiyao normal de operay8.o do sistema corresponder a x, y, entao 
a cq UayaO ( 0 4.17 ) pode ser expandida em scrie de Taylor em torno desse pon to: 
termos dcsprczados 
y = f(x) + - -- (x - x) (0 '1.l8)I! dxdf' _I 
x==x 
x==x 
y iLL ~/dx -x=-x 
/
/. 
// 
y 
L- -L­ --1~ 
x	 X 
fig 2.4 ( DORF ) Sistcma 11:1.0 lincar 
18 
Sc a variac;ao de (x - x) for pequcna, os term os nao lineares de segunda 
ou maior ordem em (x - x) podem ser desprez8dos. 
Sendo j ~ fix), e fnendo Ie = :Ix I,.; a equa,ao (04.18 ) toma a forma: 
y = y + k(x - x)	 (04.19) 
y -	 y = k(x - x) (04.20) 
o modelo matematico da cquac;ao ( 0 4.20 ) indica que (y - yl c 
proporciona1 a (x - x). Entao cle satisfaz as propriedades de SUPERPOSI\=AO 
e HOMOGENEIDADE. Constitui-se, assim, em urn MODELO 
LINEARIZADO, em torno do ponto de operayao, do sistema nao linear da 
equayao ( 0 4.17). . 
b)	 Seja agora urn sistema nao linear com duas entradas, x,(t) e X2(t), e uma saida 
y(t) relacionadas por: 
(04.21 )
 
A equac;ilo ( 0 4.21 ) pode ser expandida em scrie de Taylor em torno do 
ponto de operac;3.o XI , X2, Y : 
3f 
(x,	 - x,) J+ 
termos desprezados : 
1 
+ 2! 
+ + ... 
Se as variac;oes de (XI - x,) forem peq lIenas, os termos de segunda ou 
maior ordem em (XI - x,) podem scr cJesprczados. 
Sendo y = f(xt, X2), c fazenclo lei = e 
expressao acima toma a forma: XI = Xl 
19 
c) De forma amiloga, urn sistema nao linear com n entradas Xl(t), X2(t), .., ,xn(t) 
C uma saida y(t) relacionadas por : 
y = fix1, x2' ... , xn) 
pode ser linearizado em torno de seu ponto de operayao Xl, X2, ... ,y por meio da 
cxpansao em shie de Taylor: 
Iy - y = k l (xl - Xl) + k,(x, - ->',) + ... + k,,(xn - ->'n) ! 
onde Y = fiXI,X2, '" ,Xn) e: 
, ... 
EXEMPLO 2.1 : Deseja-se jinearizar a relayao entre TeO em torno clo ponto de 
equilibrio da massa m do penclulo abaixo. 
I
 
I
 
I 0
 
I
 
I
 1T eI 
mI 
m,. eon e/ 
fig. 2.5a (DORf) PCllt!U!O simples Fig. 2.50 (DORf) Rc1aS::lo entre reO 
o Torque T na massa me: T = mglscnO (02.12) 
A relayao nao linear entre 0 torque Teo angulo 0 e moslrada na figura 
2.Sb. 
_ Para linearizar essa relay3.o em tornodo ponto de equilibrio da massa 
o= 0, faz-se a expans3.o da eq uay30 ( 0 2.12 ) em serie de Taylor oblendo-se, de 
acordo com ( 0 4.20 ) : 
T - T = k (0 - 6) 8=0 
T = I71g/senO = 0 
k = d~ (mg/senO) Iu= 0 mg!cosO I0= 0 mg! 
T .- 0 :c.= mg!(O - 0) T = mg!O I 
Essa o.proximat;:,1o linc::tr c razoavelmente prccisa para - : :s:; O:s:; : . 
20
 
2.3 ANALOGIAS ENTRE as PARAMETROS DOS SISTEMAS
 
ELETRICOS E MECANICOS ( OGATA 4.2) 
a) Analogia Fon;a-Tcnsao 
Fig 4.6b - Circuito RLC - Scric 
Apllcando a lei de KirchholT das Tensues ( KVL ) obtcm-sc a cquac.:,1o 
difercncia! que regc 0 comrortJ.r:lC!1l0 do Ciicuito acima : 
diT)' I 1 (I'd . jT -- -j- '\ I ~ -- . I [= e
-' t J I ....... I ~
 
{if <... J 
Como i = dqldt, a cxpressflo acilllCl passa a sef, em tcrmos da carga q : 
f 
I d 2(' ria I f +R I I !. (04.7)I I~-:;.--- \----;--T--q=e L:~ Cdt __ --J 
o sistema amortcccdor viscoso-m8ssa-mola da Fig 4.2 c rcgido pcla 
scguintc cquar;:ao difcrcncial : 
r-~--' -----~~Jcl2J1 (0;
I 
I 
:II --.--. -j- J--. + k \' = F F - forr;:a aplicada
rtf'! <-It ­
L .__. .__ 
As cluas, equ9.<;:6es dlrcr(';-J~ials JCl!11:J 58-0 IDENTICAS, represcntanclo 
SISTEMA ANALOGOS. Os LUWCS <;oflTsDonclcntcs nas duas equar;:6cs sao 
dcnominados G RANDEZAS AI<i\.LOCA.S.. 
TAB ELA 4.1 - Grandczas /\n:J)og;\S nJ A.TU!(lgi~l For:;:a-Tensao 
[~STE~1AS MEC;\r'.!ICC)i1 . [ SISTEMAS 
~~LA(AO I' -.--- '< OT>~:(rO __ ',n ELETRICOS 
-- r--~~---::;::------.------ :----------....., 
F - FOii;:J I ; - J! 'I'q l,e ! c - Tcnsao 
m - M2~q "I,'ir!'j~!.I-\ de lri\~rci31 L - Indul,lncia 
J' '-;; Jf - C, .,'J i-' i,:c;:~~) \! i-sc' ,.; \/ i"':~I';:1 ! R - Resisu~I1Ci3 
I k - C,Jj'~ [;;!'-,;.lc >.1,.'; i ,-;. :.i~ \' .. !i.:~ lie - ElasulI1cl:i 
LX- DC','.)",nwl,jr) ".':!: q-Carga v - \\;]uL'(!ack .' ~:':~;Y;':'_ ,\ '1"))"': i-Corrente 
----- ----------~--- _.. -- -_._.~~.~-~~._----------' 
b) Analogia Forya-Correntc 
Urn outro tipo de ClnCllogia cletromecanic;3 e a ANALOGIA 
FOR(A-CORRENTE. 
Ie 
I, 
L~<,,-- 11I l.o-S R-4__
Fig. 4.8b Circuito RLC - Paralclo 
Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes ( KCL ) obtcm-se a equac;iio 
diferencial que governao funcionamento do circuito acima : 
(04.9) 
1 e de.f (0 4. I 0)L. edt + If + C dt = IS 
Como a relac;ao entre a tCIlsao e no indutor e 0 flllXO magnctico ¢ c 
e = d¢/dt, pode-sc recscrever ( 0 4.10 ) : 
2d ¢ 1 d¢ 1 . C~- + ---+-¢ = is (04.[1) 
dt 2 R dt L 
Comparando a eq llayao ( 0 4. [1 ) do circuito RLC-pClralelo com a 
equasao do amortecedor yiscoso-mola-massJ, observa-se que os dois sistemas sao 
ANALOGOS. 
TABELA 4.2 Grandezas Anil10gas na Analogia Forya-Corrente 
SISTEMAS MECANICOS SISTEMAS 
TRANSLA~AO ROTA~AO ELETRICOS 
F - Forc;a T - Torque i-Corrente 
m - Massa J - Momen to dc Incrcia C - Capacitancia 
f - Cocf Fricc;ao VisCOSJ f - Cocf Fricyaa Viscosa 1/R - Canelll tall cia 
k - Const Elastic Mola k - Canst Elastic Mola I/L- lnverso fndlltancia 
x - Dcslocamcn to o- Dcsloc Angular 41 - Fluxa Mclgnctico 
v - VelocidacJc c.u - VelocicJadc AngulZlr (' - TensJo 
-­
22 
2.4 FUNCAO DE TRANSfERENCIA ( VALKEN13URG 10 ) 
( DORF 2.4 c 2.5 ) 
(OGATA 4.2) 
A FUNC::AO DE TRANSFERENCIA de urn sistema linear invariantc 
no tempo e definida como a rclac;:ao entre a transformada de Laplace da said a 
(func;:ao resposta ) c a transformada de Laplace da entrada ( func;:ao excitac;:ao ), 
consideradas nulas todas as condic;:6es iniciais. 
DOMINIO DO TEMPO DOMINIO DA FREQUENCIA 
_x_(_t_)-1 SiSTEMA y_(_t)-1~ X(S) J I Y(S)1__ l SISTEMA .----~ 
G(S) 6 Y (S) 
X(S) 
Seja 0 sistema linear invariantc no tempo clcfinido pcla seguinte equac;:ao 
diferencial : 
dy dn -ly dy 
ao -'-I + a l + ... + a I - + -a \} = dt dt ll - I n - dt 'v 
dnl dnJ -I d
 
=b-x-+b x+···+ b ~+bx (n :2: m)
o dtm I dt l1l - I m - 1 dt nJ 
x(t) = entrada do sistema 
yet) = saida do sistema 
Yes)G(s) =-= 
Xes) 
A DETERMINAC::AO DA FUNC::AO DE TRANSFERENCIA de um 
sistema efeita da seguinte forma: 
a) Obtcm-se a equac;:ao diferencial que modela 0 sistema. 
b) Aplica-se a transformacladc LGlplace ::\ equar;50 diferellcieli, cOIlsicJcranclo 
nulas as cOi:dic;:6es iniciais (sistema inicialmeIlLc relaxacJo ). 
c) Calcula-se ;: ICiaC;:JO entre J '<[ida Yes) e a CIlLI-aclJ X(s) 
23
 
EXEMPLO : amortecedor viscoso-mola-massa 
a) 0 modelo matematico obtido na pagina 15, rclativo a Figura 4.2, e: 
d2y dy 
m -2- +f -d + ky = x (04.2) 
dt t 
b) Aplicando a transformada de Laplace a cada tenno da equayao : 
d2y
 
fI! [m dt2 J = m [5 2Y(5) - 5Y(0) - y(O)J
 
dy .
 
fI! [[-I J = fl5Y(5) - y(O)J
(f . 
fI! [Icy J = Ie Y(s)
 
!.t [x J = X(5)
 
Considerando-se nulas as condiyocs iniciais :	 y(O) = 0
 
y(O) = 0
 
/lZS2 Y(s) +Is Y(5) + k Y(5) = X(5) 
Y(s) I 
c) C(5) = -- = -c----=:--­
X(5) ms C + fs + k
 
A FunyJo de Tr,1nsfercncia : 
- so c deflnida par,1 sistemas line8I'es e invnriantes no tempo; 
- c uma propried,1de cia proprio SistCI11Zl; 
- il1dependc cia fun yi10 el1tl:1da, Oll excitay8o; 
- c uma relayao que rcprcscnta Zl dinamica do sistema; 
- c uma c1escri~:~o ent:-:lclo-s:iicla cio funcion:lmcl1to do sistcma; 
- nao fOl'J1cce q\.!Jlquc: informa(,:8o relJtiva a csLruturZl fisica ou 
ao fu nciOl1<J Il1Cil to i:-: tcmos do sistema; 
- reprcscnta 0 [ci:1Cio::::J11ClltO c\terno do sistcma. 
__
EFEITO DO CARREGAMENTO NA FUNCAo DE TRANFERENCIA DE 
ELEMENTOS EM CAS CATA 
Seja 0 circuito RC-Scrie a seguir : 
R 
Circuito RC - Scric 
a) KVL:	 ~ fidt + Ri = ej. 
. del _ del 
Como 1= C-, entao e/+ RC- = e·dt	 dt I 
b) Aplicando a transformada de Laplace e cOl1siderando 
iniciais obtcm-se : 
E;(5) + RC5E;(s) = Ej(s)
 
E;(5) [
c) Func;;ao	 de TrC1nsferencia: G(s) = -- = --- ­
Ej (5) I	 + RCs 
Sejam agora dois circuitos RC-Scrie em cascata : 
R, P z 
~M 1 ~---------<o 
:>-'_1_,_.A)_!_C_'I	 '2) C2I__:' 
Dois circllitos RC - Scric cm C:LScata 
a) KVL nas duas malhas : 
nulas as condic;;oes 
(04.12)
 
(0 ·1.l3) 
25
 
b) Aplicando a Transformada de Laplace c considcrando nulas as condiyocs ' 
InlClalS : 
(04.14)
 
(04.15)
 
c) A funyao de Transferencia pode scr obtida a partir da eliminayao de Il<;) 
nas duas equayoes : 
. C deo 
l2 = 2-- = dt 
(04.16)
 
Pocle-se observar nClS duas funy6es de transfercncia acima que a segunda 
n30 c a procluto clas fun y6es de transfercncia de dais circuitos RC-Scrie. 
A razao para isso Cque a funyao de transfercncia para um circuito isolado 
admite implicitamcnte a hip6tese de que a saida 1180 est;'l conectac1a a uma carga, 
ou seja, que a impedancia de carga c infinita. 
Entretanto, quando um segundo circuito com impedancia finita c ligado 
na saicla clo primeiro, uma certa quantidade de potencia c consurnida. Foi 
violada, assim, a hip6tese de carga corn impecl5ncia infinita na saicla do primeiro 
circuito. As duas funyoes de transfercncia n50 poclern, Clgora, ser sirnplesrnentc 
multiplicaclas. 
No exemplo acima 0 tenno RIClS no denominJdor cla scgunda fUl1 yJo de 
tr(lnsfcrcl1cia represcnta a interayJo dos dais circuitos RC-Scrie. 
26
 
AMPLIFICADOR DE ISOLAC;ho : 
-------,R, Rz 
0--"NV'~I----
e, 
c'l 
0>----1­
'v 
Amplificador i. 
de isolac;ao 
(ganho K) 
No circuito acima foi inserido um AMPLIFICADOR DE ISOLAC;AO 
de ganho K entre os dois circuitos RC-Scrie. . 
Amplificadores desse tipo possuem impedancias de entrada muito 
elevadas, proporciqnando efeitos de carregamento desprcziveis' quando em 
cascata. 
A funyao de transfercncia dcsse circuito pode, agora, ser obtida a partir 
do produto das funyoes de transfcrcncia clos dois circuitos RC-Scrie e do 
amplificador de isolay3.o : 
£o(S) K 
Ei(s) (Riels + 1)(R2C2s + 1) 
27 
roLoSE ZEROS DA FUNC";AO DE TRANSFERENCIAA forma gcral cia fun<;:3o de transfercncia c: 
/' N(,\) 
K - GanhoC(s) = f\. -(-,
D s) N(s) - NUl11clo Jc!or - polin6mio Cill S 
D(s) - Dellominador - [1olinc)mio em .I 
- Os ZEROS do sislcma SJO JS !"Jlles cle N(s), 
- Os POlOS do Sistema sao as ralles de D(s) 
- A EQUAC;i\O CARACTERISTICA do SiSlemJ c: D(s) = 0 . 
- Os POlOS sjo, ponanlo, as RAIZES DA EQUA(:AO CARACTERfsTfCAo 
- Os polos C ZC!O\ 5<.10 FREQUENcrAS'CRfTICAS. 
Nos P()!os I C(s) I -. 00 
Nos lel'us I C(s) I = 0 
1 
Magnitude of 
network funcllon 
zero 
lii\",
i-" 
"II'I ' 
I, I oj 
pole 
VAN VALKENl3URG 
"NETWORK ,-\NAL ,(SIS" 
-)w 
iw 
, I flO 'k' fUf1Ctioil shown as a rUflC-Fig. 10-15. The fYIJglllllll co a ne w I 
o • l ' ) ')\'>s and Oile zero 
I iOI) \l1 COI1:;)!c\ : :<CjUCflCY Will [\\0 t ( '-. 
2S
 
EXEMPLO: 
G(s) = s -I- 3 
2 
s +3s+2 
Fatorando 0 dcnominador : 
s+3 (02.22)G(s) = (s + l)(s + 2) 
PLANO 
PLANO 
S 
COMPLEXO 
(0) 
(X) 
ZERO: 
PO LO S: 
-3 
- I E - 2 
PLANO DE LAPLACE 
-3 -2 -I a 
fig : Loe:lliza~:i() dos pol05 C zeros 110 pl:lI1o complcxo 
Expandindo ( D 2.22 ) em fra<;6es parciais : 
G(s) = ( A ) + B 
s + 1 (s + 2) 
Os coeficientes A e B sao os residuos de G(s) nos palos correspondentes. 
Sao obtidos multiplicando-se ( D 2.22 ) pelo fMor do denominador 
correspondente ao residuo, fazendo-se s igual it ralz : 
(+1) s+3 A = 2 
s (s + 1)(s + 2) 1,= _I 
S + 3 I B =-1(s + 2) -(s-4--,-l-)(-s-+-2-) s =-2 
G(s) - 2 + -1 
(s + 1) (s + 2) 
29
 
o SISTEMA DE CONTROLE E SUAS REPRESENTAc;OES 
1. Sistema flsico real. 
2.	 Modelo grafico - diagrama de circuito eletrico, mecanico, hidraulico, termico, 
elctromagnctico, etc. 
3. Equayap difcrencial : 
d2y dlJ dx(t)
- + 2 _J_ = 2 dt + 2x( t)
dt 2 dt
 
4. Funyao de transfercncia na forma de frayao polinomial : 
N(S) G(s) = 2s + 2G(5) = D(5)	 25 + 25 
S. Funyao de transfercncia fatorada segundo seus palos e zeros: 
2(5 + I)G(5) -~-­
- s(s + 2) 
6. Funyao de transfercncia cxpandida em frayocs parciais : 
G(5) = _1 + I 
s 5 + 2 
7.	 Funyao de transferencia fatorada segundo suas constantcs de tempo. 
(5+1/1)
G(s) = 2 1 
5(5+ I/ T ) 
8. Diagrama de palos e zeros: 
)wtGANHO K:: 2 
--7E-.------0f------*---~. 
-2 _I , (f 
9. Conjunto Cltr'cldJ-rcsposta no clominio do tempo. 
10
 
TABELA 2.4 RICHARD C. DORF 
42 SISTEMAS AUTOMATICOS DE CONTROL 
Tabla 2-4 
FUNC/ONES /)1' TI,ANSfEIU':NCIA DE l(EDES Y ELEMENTOS DINAMICOS 
Elemento 0 sistema 
1. Circuito intcgrador 
2. Circuito dirercnciador 
3. Circuito difercnciador 
V~
 
Ta=R,C"
 
T. = R,C,
 
Ta • = R, C,
 
TIT Z = TaT•• 
T I + T z = T" + T. + Tab 
5 MOlor de cd controlado por c:lmpo 
Hi ~
 
Vr") II 1-1 c y~
 
6. MOlar dc cd controlado por armadura 
na L. / 1 ~0iJ'----, fJ-J 
Vc(s) Vb i~(:(-l' f 
1. ~ 
o 81 W 
C(s) 
V,(S) = 1 
Viis) RCS + 1 
RCS 
RCS + 1 
V2(s) = S + IIR I C 
V,(s} S + (R, + R2}/R I RzC 
(I + sr a)(! + sr.} 
(I + ST,)(I + Sf,) 
O(S) K m
---"'----­
V 1(5) s(Js + !l(Lls + R I ) 
0(5) 
Vats) 
31 
MODELOS MJ\ TEMt.. TICOS DE LOS SISTEMJ\S	 43 
Tabla 2-4 (continuaci6n) 
Elemento 0 sistema 
7. MOlor de ca, campo de control de dos 
fases 
8. Amplidina 
ld 
Ie Ld 
:3
Rc 
9. Regulador hidniulico 
x(t),	 Desplazilll1ienlo de Iaf "itlvu In de COlli rol 
R.... lnrllO 
FIIL'IlI" tk 
prcsi~'lll 
RClornll 
II. POlcnciomcir0 
G(s) 
0(5) K m
 
Vets) S(fS + 1)
 
f = J/U - Ill) 
III =	 Pendien!e de la curva torque·velocidad 
lincalizada (normal mente negativa) 
vJ(s) (K/R,R q ) 
Vets) (H, + 1)(Sf. + 1) 
f, = LrlR". f q = Lq/Rq 
Para el caso sin carga, iJ ::: 0, f, ::: f q , 
0,05 seg < f, < 0,5 seg 
~= __K_. 
XIs) sIMs + 8) 
K = 11k; B= (I + A~)k	 ' p k p 
k -. (;iJ!.k = i:U! Of'p - ' 
:c AX :{o ' (/ PCJ 
g = g(x, P) 
A = Superficie del piston 
., . N,R I c aCJOn de engranaJcs = /I = ­N~ 
N~OL=N,On" 0L=IlO.. 
V 2(s) = R 2 = _.!3...L­
V,(s) R R, + R 1 
R	 0 "''' 
32
 
Elemento 0 sistema G(s) 
12. Puente de potenciometro detector de 
error 
11,(5) = k,(Uds) - U1(.I)) 
II ,(5) = k,D",mIS) 
II . k.\=.~~':! 
Um;tl, 
13. Tacometro 
Ej~ 
:~==o "~') II ,(5) = K ,"1(5) K,sO(s); K , = conStanle 
14. Amplificador de cd 
11 1(5) 
ViIs) 
Ro = 
Co = 
r = 
ku 
sr + 1 
resiSlcncia de salida 
c<lpacilancia de salida 
RoCu. r « lyse desprecia rrecuente­
mente en ampliricadores de servomeca­
nismos 
15. Acelerometro 
( 'hasi, \oU) = y(r) - .\,n(l). 
xu(s) 
X ,n(s) 51 + UIM)s + KIM 
Para oscilacioncs de baja rreeuencia. donde 
(I) < (U", 
Xu(iUI) 
X,.,,(jw) 
~ ~ 
- KIM 
16. Sistema de calcntamiento termico 
Enlrada 
de Ouido ::I 
3(5) 
'q(s) 
I 
-----, donde 
C,s + (QS + IIR) 
= J u - '3, = dircrencia de lemperatura 
debida a procesos 
Icrmicos 
C 
() 
= capaCllancia lermica 
= lasa del caudal de nllido = COIlSlanie 
S = 
R, = 
calor especirico del agua 
resislencia tcrmica de aislUJl1lcnto 
4(.1) = tasa de nujo de energia calorilica del 
elemento caleraclor 
44 SISTI:Mi\S i\lJT()~1ATlCOS 1>1: CONTROL 
Tabla 2-4 (continuacion) 
33
 
2.5	 DIAGRAMA DE BLOCOS (OGATA 4.4) 
( 0 'AZZO 5.2 c 5.3 ) 
DIAGRAMA DE BLOCOS de urn sistema c a rcpresenta<;3.o gra.fica do 
fluxo de sinais c das fun<;oes dcsempenhadas por cada componente do sistema. 
Ponto Ponto 
de soma de junc;;ao 
J	 j
R(s)	 CIs) 
fig 4. I6 ( OGATA) Diagrama de B!ocos 
- 0 f1uxo eunidirecional.
 
- Informa<;3.o rclativa ao comportamento dinamico do sistema.
 
- Nao hft qualquer informa<;30 rclativa aconstitui<;30 fisica.
 
- A fon te de energia nao cexplicitamentc mostrada.
 
- Urn diagrama de blocos de um dado sistema nao C Llnico.
 
ELEMENTOS DE CONTROLE 
R(S) E(S) CIS)SISTEMA A CONTROLAR+SIN AL DE - I N A L VARIAVELCANAL DIRETO 
REFERENCIA ATUANTE CONTROL AD AG(S) 
ELEMENTOS DE RETROA(:AO 
CANA L DE RETROA(: AO 
8(S) 
r- ­RETROA(:AO 
H(S)PRINCIPAL 
fig 5.0 ( D':\ZZQ ) Di;'l~ralll:l. de Blocos de tllll Sislellla de COfllro!c COlli Ik(lOa~';lo 
]4 
a) Funyao de Transfercncia a Malha Fechada ou Rela~ao de Controle 
Relaciona C(s) com R(s). 
C(s) = G(s) £(s) 
C(s) = G(s)[R(s) -B(s)]
 
C(s) = G(s) R(s) - G(s) H(s) C(s)
 
C(s)[ 1 + G(s) H(s)] = G(s) R(s)
 
C(s) G(s) 
=~---- (0 5.4)
R(s) 1+ G(s) H(s) 
b) 
Relaciona B(s) com £(s). 
B(s) 
£(s) = G(s) H(s) 
EQUA~AO CARACTERISTICA : I + G(s) H(s) = 0 
Obtida a partir do denominador da rela y30 de controle. 
FUny30 de Transfercncia a Malha Abcrta 
(0 5.8) 
(0 5.5) 
c) 
Relaciona C(s) com £(s). 
Funyao de Transfercncia do Canal Direto 
C(s)
£(s) = G(s) (05.9) 
Em sistemas com retroayao unltana [I-I(s) = I] 
transfercncia 3. malha abcrt3. e do canal direto S.10 iguais. 
as funyoes de 
REDUC;::AO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
REGRA GERAL: - mover pontos de jun<;:.1o e de soma; 
- permutar pontos de soma; 
- rcduzir lac;os intcrnos de rctroayfio. 
35 
INa
'--------10 sinal 
TABELA 2.5 RICHARD C. DORF
 
MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS	 47 
Tabla 2-5 
TRANSFOR~lACIONES DE DIAGRAMAS DE DLOQUES 
Transrormacion 
I. Comhinacion dc hloClllCS 
en c:lscada 
2.	 MovimicnlOde un punlo 
de suma anterior a un 
hloClllC 
3.	 Mo\'imienlo de un pun­
to de scparacion pos­
tcrior a un bloqllc. 
4.	 Movimiento dc lin punlo 
dc separacion antcrior a 
un bloqllc 
5.	 MovimicnlOde un punto 
dc suma postcrior a un 
bloque 
6.	 Elir.~;nacion de una red 
dc rCiroalimcni<1cion 
Diagrama original 
+
 
mudQn~o 
Ii 
invert/do 
Diagrama cquil'alcntc 
36
 
--
Diagramas de blocos originais Diagramas de blocos equivalentesDiagramas de blocos originais IDiag~amas de blocos equivalentes, 
A-8+C I A AA A+C rAA-8+C 
8 ~
~I AG AG : I 
A 
:0 AZ 
A-8+C A-B+C I I2 I »-\.-1;0.. ) 10 9I I 
-1 
;:r> 
to 
tTl 
r 
.,4 ~ 
w 
A 
~ y~ 0 
A 
cLJ AG 
- A:iA 
;:r> 
0 
~ 
-1 
LJ 10 I I 
AG A 
f4 I ~AG~I G2 ,q2 ~I G,G2 I AG'~2 I.) I" II
 
T 1 A-! /0A-B ~r:® A-B 
I ~ 
(i) 
CJO 
'""'1 ~ ~ 
I 
en 
0.. 
~ 
p.:,. 
cTQ
'(1) 
cr 
'""'1 p. 
0.. 
("i) 
0.. 
p.:, ~~ (jQt r--l '""'1 p.:, 
3 
p.:, 
B _~ 0.. 
A 
\ G, 8I ~ ~ I 1 + G, G2 ~ \, 8 I U2 r-- ­ len 
W 
-...l 
j;, I 
84- '------J,.--, 
- , ~ ,_._ 
~ I AG, ,<AAG,+AG?I -----. 
A ~".IAG, +A~2~5 I I + I ~[ G,-t-G2 12 ~.-
AG-8 I 
- I I:)6 I I I Y2:/ I I 
81 I I" 
;:;~ {, 
'" ,AG-8G
IAG-8P 
7 
EXEMPLO: OGATA, pag. 104. 
(o) c 
H2
,-----------1 
(b) c 
6, 
! ~ 
"r®-1 
,-- ----<J H2 ,-I --, 
R(e) 
(d) 
c(e} 
" 
rig. 4.20 (<.tl SIS[COl<'L\ lic mliil:r!os lac;:os: (b)-(e) lcduC;:<.-IO sucesslI';! do diabranJ<I de bloeos 
indicad() em (a) 
JS
 
2.6 EXEMPLOS ILUSTRATIVOS (OGATA 4.5) 
a) Circuito RLC-Scrie 
di(t) 1 J . 
L-_/- + R i(t) + r i(t) dt = elt)
ut ~ 
--b-- Ji(t) dt = co(t) 
o modelo matematico obtido na pagina IS C: 
(04.3) 
(04.4) 
Aplicando 
iniciais : 
a transformada de Laplace, consic!erac!as nubs as condic;6es 
1Ls/(s) + R(s) + Cs 
1
-Cs 
/(5) = E,(s) 
/(5) = Eo(s) 
Lcvanclo <1. l~ equac;iio a expressao de /(5) na 2~ : 
- 1'-----__ 
LCs2 + RCs + 1 
b) Sistema Mecanico de Rotayao 
o modelo matematico obtido na pcigina 16 C : 
dw (t)
J dt +f w(t) = T(t)
 
Aplicanclo a transformada de Llplacc : 
Js W(s) + fW(s) = T(s) 
W(s) j 
=--­
T(s) .!s+ f 
39
 
c) Servomotor Bifasico ( Servomotor de CA ) 
(OGATA, pag. 108) 
( D'AZZO, pag. S8 ) 
Fuse de 
controle 
cl?~ 0"O ~ E(1l~~( 
n 
Fasc 
fixa ntl 
(a) 
(b) 
T 
(0) 
Ie) 
fig. 4.22 (a) Diagrama esqll~m,i!ieo dc lim servomotor bir,blcu; ttl) ~urvas mllSlrando "AI) 
vers/isi. [c(l) "eTS/IS I C T(r) I'('(S/IS I: (el eurvas tu/'quc-veloe;dadc; (d) diagrama de bloeosd~ 
um scrvomotor birasieo. 
E an:llogo a urn motor de induyao bif{lSico com rotor em galola. 
As dUJS bobinas de campo do estator s?io disrostas em qUJdratura no 
espa<;:o. 
A fnse fixa ( CAMPO FrXO ) C D.limentacla continuD.mente com tcnsiio 
de refercnciD. em GO, 400 ou 1000 Hz. 
A outra fase ( CAMPO DE CONTROLE ) CD.limentJdfl com tens30 de 
controle cuja portadora esta 90° dcfasada em rc)ayJo (1 tensJo de refercncia 
(quadratura no tempo). 
EcCt)sellwt , EAr);:::: 0 
, E.(r)<OI Ec(t) Iscn(wt + 17) c 
A tensao de controlr. cc(!) tem amplitude EJr) v;Hi:1vel_
 
A polaridadc de E,(!) determina 0 sentic!o de 1"Ola<;:5.o,
 
o torque T C funyJo da velocidadc angular 0 clo eim e da lcns,lo de 
controle ECI como mostra <l flgura 4.22c ( OGATA ). 
40
 
Considerando os trechos retos, paralclos e eq-Liidistantcs, podc-sc 
lincarizar 0 modelo em torno do ponto: 
T=O', E=O' 8=0 
c ' 
Scjam : 
af 
ae 
A cquayao para a curva torq uc x velocidade sera: 
(04.33) 
Lei de Ncwton : 'LT=1rJ. 
. .. (04.34)
-ffJ+T=10 
1 - momen to de incrcia do motor e da earga 
f - coefieicntc de fric<;ao viscosa do motor c da carga 
Dc ( 0 4.33 ) e ( 0 4.34 ) : 
." .. 
-f8 - KilO + KcEc = i8 
.. . 
18 + if + Kn)O = KcEc 
Amplltude da tensao de controle. Entrada:
 
Deslocamento do eixo do motor.
 Saida 
[.1s 2 + if+ K;Js ]8(s) = Kc Ec(s) 
8(s) Kc 
-
EJs) is2 + if+ K,Js 
Dcfinindo : 
Constante de ganho do Illotor :
 
Constante de tempo do motor:
 
(4.35)
 
41 
d) Servomotor CC Controlado peb Armadura 
.­
I 
l!J 
f 
i, = constanta 
Fig 4.23 ( OGATA) 
Rn - resistcncia do enrolamento da armadura, Q 
L n - indutancia do enrolamento da armad ura, H 
fa - corrente do enroiamento da armadura, A 
if - corrente de campo, A 
ea - tensao apJicacla na armadura, V 
eb - forr;:a contra-elctromotriz, V 
o- deslocamento angular do eixo do motor, rad 
T - torque fornecido pelo motor, N.m 
] - momenta cle inercia equivalente clo motor e da carga, refericla ao ei.\o do mo­
tor, Kg.m 2 
f - coeficientc de fricc;ao viscosa equivalente do molor e da carga, referida <to ei.\o 
do motor, Kg.m/rad/s 
o f1uxo magnctico no entrcfcrro de nr e proporcional a corrente de 
campo: 
o torque T fornecido pelo motor e proporcional ao produlo dn corrente 
de armadur:1 ia pelo f1uxo ¢: 
T= K[ ¢ in T= K) KJllin 
No motor CC controlado peia armadura if e conslante : 
T= Kia [( - constante de tOl"que clo motor 
Quando a armadurCl estn girando e nela induzida uma forc;a contr(\­
elctromoriz proporcional ao produto do f1uxo c cia velocici<1cle angular. Para urn 
f1uxo constante, a tens3.o induzida Cb e dirctamentc proporcional ~I velocidacle 
angular dO/dt. 
(0 4.36)
 
K h •. consta nI.e (Ie forp can tra-elctromotriz 
42
 
A velocidade de umservomotor CC controlado pcla armadura eregulada 
?ela tensao de armadura Ca. A equa<;ao diferencial para 0 circuito da armadura 
e: 
(04.37)
 
Lei de Newton : "LT=]rx 
2 
T_/ dO =]~ (4.38) 
dt dt 2 
Aplicando a transformada de Laplace as tres exprcssocs acima, 
consideradas nulas as condi<;oes inieiais : 
Kb58(5) = £b(5) (0 4.39)
 
(La 5 + Ra)la(5) --I- Eb(5) = £0(5) (0 4.40)
 
(J 52 +/5)0(5) = K la(5) (04.4 I)
 
8(5) 
o diagrama de blocos foi feito a partir das eq uac;;oes ( 4.39 ) a ( 4.41 ) , 
considerando £a(5) como entrada c 8(5) como saida. 0 efeito da forc;;a contra­
eletromotriz c mostrado como 0 sinal de realimcntac;ao proporciona I il vclocidade 
do motor. 
A func;;ao de transfercncia, que pode ser deduzida das trcs cCJuac;ocs ou 
cIo diagrama de blocos, C: 
K (0 4.42) 
A indutancia La no circuito da armadura Cnormal mente pCCJucn3, e pocie 
scr desprezada : 
0(5) K 
E{j(S) s[(Ra 1)5 + (RnI+ K Ku)] 
43 
Definindo : 
Constante de ganho do motor: K m = K__ Raj+ K Kb 
Constante de tempo do motor: T,n = __R_a_J__ 
Raj+ K Kb 
(4.43)
s(Tm 5 + 1) 
Para Tm S ~ 1::::> opera como INTEGRADOR. 
Comparando com a express50 (4.35 ) da p.:lgina 41, pocle-se concluir que 
as caracteristicas de desempenho do servomotor CC controlado pcla :umad LIra 
sao semelhantes ~ls do servomotor CA bifasico. 
44