Qualidade de Energia Elétrica - Introdução

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Curso de QEE 
 
Prof. Dr. Antônio Melo de Oliveira 1 melo@emc.ufg.br 
 
 
 
Qualidade da Energia Elétrica 
 
 
Curso Engenharia Elétrica 
 
Disciplina Optativa 
 
 
Prof. Dr. Antonio Melo de Oliveira 
 
 
 
Goiânia março de 2014 
 
 
 
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Motivação 
 
 
 
1.Introdução 
 
A principal motivação para a realização deste curso está na presença de 
cargas não-lineares nos sistemas elétricos, no conceito de qualidade da energia 
elétrica e na necessidade de consolidar novos parâmetros sobre potência elétrica. 
Ressalte-se que tudo isto está relacionado com o custo da energia elétrica 
 
FIG.01.Tensões e correntes medidas no secundário de um transformador de 
distribuição [01] 
 
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1.1 O que são cargas não-lineares? 
 
 São cargas elétricas que solicitam corrente de forma descontínua ou que variam 
sua impedância durante um ciclo da forma de onda da tensão de alimentação.[02 ] 
 
 
 São cargas onde a forma de onda da corrente de regime não segue a forma de 
onda da tensão de alimentação [03]. 
 
 
1.1.1 Exemplos de cargas não lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG.02. Fonte de Computador 
 
A – retificador em ponte B – capacitores de filtro de entrada 
 
C – transformador D – indutores de filtro de saída 
 
E – capacitores de filtro de saída 
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FIG 03 Corrente de alimentação de um computador pessoal PC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG.04 Diagrama elétrico simplificado de uma fonte de computador 
 
 
 
 
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FIG.05 Diagrama elétrico simplificado de um conversor de freqüência -
inversor- para controle de velocidade de um motor de indução 
 
 
1.1.2 Presença de carga não linear no sistema de distribuição- GO 
 
Nas figuras 06 e 07 têm-se exemplos de correntes distorcidas, medidas na 
entrada de unidades consumidoras industriais situadas na região metropolitana 
de Goiânia e no interior do estado de Goiás. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG.06 Correntes de fase medidas no secundário de um transformador de 
distribuição que supri uma unidade consumidora, com 15 kVA. 
 
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0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
 Gráfico da Corrente fase B
Tempo [s]
C
or
re
nt
e 
[A
]
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
 Gráfico da Corrente fase C
Tempo [s]
C
or
re
nt
e 
[A
]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG.07 Correntes de fase medidas no secundário de um transformador de 
distribuição que supri uma unidade industrial, com 300 kVA. 
 
 
 
 
 
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
 Gráfico da Corrente da fase A
Tempo [s]
C
or
re
nt
e 
[A
]
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1.2 Histórico 
 
 De 1910 até aproximadamente 1960 as cargas não-lineares eram grandes 
indústrias eletroquímicas e eletrometalúrgicas. 
 
 Em 1948 começa a primeira revolução eletrônica, com a invenção do transistor 
de silício, a qual é ampliada a partir de 1956 com chegada do transistor 
controlado, PNPN definido como retificador controlado de silício SCR. 
 
 Processadores de potência com grande eficiência e baixo custo usando SCR e 
BJT torna viável economicamente o acionamento com velocidade variável de 
motores CC e de indução. Estas cargas não lineares aumentam significativamente 
nos anos 70. 
 
 
 A difusão dos micro-controladores, microcomputadores ou processadores 
digitais traz a necessidade de conversão CA-CC. Surgi à fonte chaveada. O 
grande impulso destas fontes acontece nos anos 90. 
 
 
 Com o racionamento de energia elétrica nos anos 2001-2002, as cargas 
residências onde antes predominavam cargas lineares, passam a ser 
predominantemente não lineares. Além das lâmpadas de alto rendimento, novos 
equipamentos eletrônicos, tais como computadores, impressoras, videocassetes, 
vídeo games estão mais frequentes nos lares brasileiros. 
 
 
 
 
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1.2.1 Evolução das cargas não lineares na distribuição 
 
Cenário da evolução das cargas não lineares no Brasil. Esta evolução tem 
como referência o ano de 2003, como mostrado na tabela 01, [04] 
 
Tabela 01. Evolução das cargas não lineares no sistema de 
distribuição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Nos USA, estima-se que num período de 10 anos as cargas eletrônicas foram 
duplicadas com previsão de 90% no ano de 2010 do total das cargas instaladas. 
 
 
 
 
FIG.08 Crescimento de cargas eletrônicas nos USA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3 Definição e Terminologia da QEE 
 
 
 
1.3.1 Definição 
 
 
A definição da qualidade da energia elétrica depende se a análise, ou o 
interesse é de quem gera, transmite ou utiliza a energia elétrica. De forma ampla 
podemos dizer que Qualidade da Energia Elétrica - QEE é “Qualquer desvio na 
magnitude, forma de onda, frequência, relacionamento entre as fase da tensão e 
corrente de natureza permanente ou transitória que afete a performance da 
transmissão, distribuição e utilização da energia elétrica.” 
 
 
 
Mas com relação ao consumidor de energia elétrica, problema na qualidade 
da energia elétrica é qualquer ocorrência manifestada na tensão, corrente ou 
freqüência a qual resulte em falha, ou operação indevida dos equipamentos do 
consumidor. Mas para o consumidor os problemas de QEE que mais o afeta são 
basicamente três.[05] 
 
 Afundamento de tensão – Voltage sags 
 Interrupção momentânea 
 Interrupções sustentadas. 
 
 
 
 
 
 
 
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 Uma subtensão de curta duração - Sag 
 
 
Sag é definida como uma redução entre 0,1 e 0,9 pu, no valor eficaz da 
tensão, na freqüência do sistema de energia elétrica, com duração de 0.5 de ciclo 
até 1 minuto.[06]FIG. 09 Subtensão causada por um curto circuito na distribuição 
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 Interrupções de Curta Duração 
 
 
 
Este parâmetro da QEE é uma interrupção de duração limitada em um 
período necessário ao restabelecimento do serviço por um equipamento de 
proteção.Neste tipo de ocorrência perde-se completamente a tensão ou ela fica 
abaixo de 0,1 pu em uma ou mais fase por um período entre 0.5 ciclos e três 
segundos. Mas nunca excedendo a um minuto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG.10 Sequência de atuação de um religador em um alimentador da 
distribuição 
 
 
 
 
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 Sobretensão de Curta duração. “Swells” 
 
 
Uma sobretensão de curta duração ou "swell" é definida como um aumento entre 
1,1 e 1,2 pu na tensão eficaz, na freqüência da rede, com duração entre 0,5 ciclo a 
1 minuto. [06] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 11 Sobretensão em um alimentador causado pelo desligamento de uma 
grande carga 
 
 
 
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 Transitórios 
 
  Surtos: São súbitas mudanças nas condições de regime da tensão ou da 
corrente ou em ambas, que tem uma polaridade definida, (positiva ou negativa). 
Os surtos são normalmente caracterizados por sua alta taxa de crescimento e 
declínio, as vezes representada desta forma 1.2  50 - s 2000-V. 
Freqüentemente causados por descargas atmosféricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Oscilação transitória: São súbitas mudanças nas condições de regime da 
tensão ou corrente ou em ambas, que inclui valores positivos ou negativos. Com 
uma freqüência variando de 5 kHz a 5 Mhz. Exemplo típico é o chaveamento de 
banco de capacitores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.1.1 Definição da ANEEL 
 
 No documento elaborado pela ANEEL, que trata da qualidade da energia 
elétrica, chamado de Procedimento de Distribuição de Energia Elétrica no Sistema 
Elétrico Nacional — PRODIST, de 01/01/2010, tem no seu módulo 08, os aspectos 
considerados da qualidade do produto, energia elétrica. Estas características 
abrangem os regimes permanentes e transitórios. 
 
Os aspectos são: 
 
−Tensão em regime permanente; 
− Fator de potência; 
− Harmônicos; 
− Desequilíbrio de tensão; 
− Flutuação de tensão; 
− Variação de tensão de curta duração; 
− Variação de frequência. 
 
1.3.2 Qualidade da Tensão de Regime Permanente 
 
A qualidade da tensão a ser fornecida às unidades consumidoras, no que 
diz respeito a seu valor eficaz, em regime permanente. No módulo 08 do 
PRODIST , documento da ANEEL, que é o órgão regulador do setor elétrica em 
nosso país estão as condições de fornecimento da energia elétrica. 
 
Inicialmente vamos definir alguns parâmetros para o bom entendimento do 
assunto. 
 
  Tensão eficaz: Corresponde à raiz quadrada da integral da tensão 
instantânea (valor amostrado) ao quadrado, dividido pelo intervalo de tempo da 
integração (número de amostras) 
 
 
  Tensão fundamental: Amplitude ou valor eficaz correspondente à 
componente fundamental - freqüência fundamental – da tensão analisada 
 
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 Tensão de atendimento (TA): Valor eficaz da tensão no ponto de 
entrega ou de conexão, obtido por meio de medição, podendo ser classificada em 
adequada, precária ou crítica. 
 
  Tensão precária: Valor nominal da tensão de conexão em condições de 
operação precária nos sistemas elétricos de distribuição, que exige medida de correção 
programada em um prazo pré-estabelecido. O prazo é de 90 dias. 
 
  Tensão critica: Valor nominal da tensão de conexão em condições de 
operação crítica nos sistemas elétricos de distribuição, que exige medida de correção 
imediata em um prazo pré-estabelecido. O prazo é de 15 dias. 
 
 Tensão contratada (TC): Valor eficaz da tensão que deve ser informada 
ao consumidor por escrito, ou estabelecida em contrato, expresso em volts ou 
quilovolts. 
 
 Tensão Nominal (TN): Valor eficaz da tensão pelo qual o sistema é 
projetado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Os valores de tensão eficaz classificado de acordo com o módulo 08 do 
PRODIS para tensões nominais a partir de 1 kV e maiores que 230 kV estão nas 
tabelas abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para unidades consumidoras residenciais e comerciais alimentados pelo 
sistema de distribuição, em baixa tensão, monofásica ou trifásica as tolerâncias de 
regime estão na tabela 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.2.1 Indicadores Individuais da Qualidade da Tensão de Atendimento 
 
 Duração Relativa da Transgressão de Tensão Precária - DRP 
 
 DRP = 
100
008.1

nlp
 
 
Onde: nlp = número de leituras situadas nas faixas precárias. 
 
 Duração Relativa da Transgressão de Tensão Crítica – DRC 
 
 DRC = 
100
008.1

nlc
 
 
Onde: nlp e nlc = representam o maior valor entre as fase do número de leituras 
situadas nas faixas precária e críticas respectivamente. 
 
O período de apuração das leituras é de 168 horas com intervalos de 10 minutos o 
que resulta em 1008 amostras da tensão. 
 
 
1.3.2.1 Compensação pelo Serviço Inadequado 
 
O PRODIST no seu módulo 08 estabelece uma forma de compensação 
caso os níveis de tensão de atendimento estejam fora dos níveis adequados. O 
valor é calculado de acordo com a fórmula abaixo. 
 
Valor = 
EUSDk
DRCmDRC
k
DRPmDRP










2
100
1
100
 
 
onde: 
k1 = 0, se DRP ≤ DRPm; 
k1 = 3, se DRP > DRPm; 
k2 = 0, se DRC ≤ DRCm; 
k2 = 7, para unidades consumidoras atendidas em Baixa Tensão, se DRC > DRCm; 
k2 = 5, para unidades consumidoras atendidas em Média Tensão, DRC > DRCm; 
k2 = 3, para unidades consumidoras atendidas em Alta Tensão, DRC > DRCm; 
DRP = valor do DRP expresso em %, apurado na última medição; 
DRPm = 3 %; 
DRC = valor do DRC expresso em %, apurado na última medição; 
DRCm = 0,5 %; 
EUSD = valor do encargo de uso do sistema de distribuição referente ao mês de 
início da realização da medição pelo períodomínimo de 168 horas. 
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Gráfico das Tensões
350
375
400
425
450
475
500
16
/0
9/
20
08
 0
4:
48
16
/0
9/
20
08
 1
4:
24
17
/0
9/
20
08
 0
0:
00
17
/0
9/
20
08
 0
9:
36
17
/0
9/
20
08
 1
9:
12
18
/0
9/
20
08
 0
4:
48
18
/0
9/
20
08
 1
4:
24
19
/0
9/
20
08
 0
0:
00
19
/0
9/
20
08
 0
9:
36
19
/0
9/
20
08
 1
9:
12
20
/0
9/
20
08
 0
4:
48
20
/0
9/
20
08
 1
4:
24
21
/0
9/
20
08
 0
0:
00
21
/0
9/
20
08
 0
9:
36
21
/0
9/
20
08
 1
9:
12
22
/0
9/
20
08
 0
4:
48
22
/0
9/
20
08
 1
4:
24
23
/0
9/
20
08
 0
0:
00
23
/0
9/
20
08
 0
9:
36
23
/0
9/
20
08
 1
9:
12
24
/0
9/
20
08
 0
4:
48
Data / Hora
Te
ns
ão
 (V
) Vab mean
Adeq. Min
Adeq. Max.
Faixa prec. Inf.
Faixa Crítica Superior
Faixa Adequada
Faixa Precária
Faixa Crítica Inferior
. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 12 Perfil de tensão em uma unidade consumidora suprida em 440 V. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.3 Fator de Potência 
 
 
O fator de potência devera ser calculado a partir dos valores registrados 
das potências ativa e reativa ( P, Q ) ou das respectivas energias ativa (EA) e 
reativa (ER), usando as seguintes fórmulas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As unidades consumidoras alimentadas em baixa tensão - BT ou média 
tensão – MT devem assegurar que no ponto de entrega ou conexão o fator de 
potência esteja compreendido entre: 
 
 
1 f 0,92 
 Indutivo ou Capacitivo 
 
 
Para unidades consumidoras alimentadas em alta tensão – AT devem 
assegurar um fator de potência, no ponto de entrega ou conexão, compreendido 
entre: 
 
 
1 f 0,92 
 Indutivo 
 
 
1 f 0,92 
 Capacitivo 
 
 
 
 
 
 
2QP
P
 f
2 

22 EREA
EA
 f


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1.3.4 Harmônicos 
Uma onda qualquer, periódica, no domínio do tempo y(t) com freqüência f0 
pode ser decomposta da seguinte forma : [05] 
 
 Y(t) = Y0 + Y1(t) + Y2(t) + Y3(t) + Y4(t) + … 
 
Onde : 
Y0 = o valor médio da função original 
Y1 = módulo da componente fundamental 
Y2, Y3, Y4 … Yn = módulos das componentes harmônicas de 2ª ordem, 3ª ordem, 
4ª ordem, 5ª ordem... n-ésima ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A definição do PRODIST com relação aos harmônicos é a seguinte: 
 
 
 
“As distorções harmônicas são fenômenos associados com 
deformações nas formas de onda das tensões e correntes em relação à onda 
senoidal da freqüência fundamental.” 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.4.1 Terminologia e Expressões 
 
 
 − Distorção harmônica individual de tensão de ordem h 
 
 
100
1
h
h
V
V
 %DIT
 
 
 
 
 
 
− Distorção harmônica total de tensão 
 
 
 100


1
25
2h
2
h
V
V
 %DTT
h
 
 
 
 
 
 
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Tabela 6.Valores de referência globais das distorções harmônicas totais 
( em porcentagem da tensão fundamental) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3.5 Desequilíbrio de Tensão 
 
Definição “ O desequilíbrio de tensão é o fenômeno associado a alterações 
dos padrões trifásicos do sistema de distribuição” 
 
 
 
1.3.5.1 Terminologia e Expressões 
 
 
 
Tabela 7 – Terminologia 
 
IDENTIFICAÇÃO DA GRANDEZA SÍMBOLO 
Fator de desequilíbrio FD 
Magnitude da tensão de seqüência negativa (RMS) V- 
Magnitude da tensão de seqüência positiva (RMS) V+ 
Magnitude das tensões trifásica de linha (RMS) Vab , Vbc e Vca 
 
 
Expressão par o cálculo do desequilíbrio de tensão 
 
100



V
V
 FD%
 
 
 
Expressão par o cálculo do desequilíbrio de tensão- Alternativa 
 
 
 


6-31
6-3-1
100 FD%


 
 
Onde: 
2)2ca
2
bc
2
ab
4
ca
4
bc
4
ab
VV(V
VVV



 
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1.3.6 Flutuação de Tensão 
 
Definição “ A flutuação de tensão é uma variação aleatória, repetitiva ou 
esporádica do valor eficaz da tensão” 
 
Para melhor entendimento da definição e aplicação deste conceito devemos 
analisar os seguintes aspectos: 
 
 − A determinação da qualidade da tensão de um barramento do sistema de 
distribuição quanto à flutuação de tensão tem por objetivo avaliar o incômodo 
provocado pelo efeito da cintilação luminosa no consumidor final, que tenha seus 
pontos de iluminação alimentados em baixa tensão. 
 
− De modo geral, podemos relacionar as flutuações aleatórias e repetitivas 
com a operação de cargas não lineares que solicitam potência variável no tempo, 
enquanto que as flutuações esporádicas estão relacionadas com manobras de 
rede ou de carga. 
 
− As cargas elétricas que mais provocam este fenômeno são: 
 
► Os fornos a arco utilizado em muitas usinas siderúrgicas; 
 
► Máquinas de solda e 
 
► Partida de grandes motores de indução. 
 
1.3.7 Variação de Tensão de Curta Duração 
 
Definição “ Variação de tensão de curta duração são desvios significativos no 
valor eficaz da tensão em intervalos de tempo.” 
 
 
1.3.7.1 Classificação das Variações de Tensão de Curta Duração 
 
 
Este fenômeno tornou-se muito importante nas últimas décadas como 
decorrência do aumento expressivo de cargas não lineares em detrimento das 
cargas eletromecânicas. Uma das características das cargas não lineares é sua 
sensibilidade a variação de curta duração. 
 
 
 
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Tabela 08 Classificação das tensões de curta duração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 Análise do distúrbio na Tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das ferramentas mais usadas na análise dos distúrbios na tensão é a 
curva ITIC (Information Technology Industry Council) antiga curva CBEMA. 
Originalmente foi aplicada na análisedas tolerâncias, de regime e transitórias da 
tensão de alimentação, que um computador de grande parte deveria suportar sem 
comprometer sua operação. www.itic.org. 
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A curva ITIC descreve a aplicação de tensão alternada em equipamentos, 
com limites de tolerância tanto para regime quanto para transitório. Esta curva não 
se destina a orientar projetos de equipamentos nem desempenho de sistema de 
distribuição de energia elétrica. 
 
1.4.1 Discussão 
Sete tipos de eventos são analisados com o uso desta curva. Estes são 
excludentes e sempre tem início com a tensão na condição nominal. A condição 
de regime é sempre atingida após o transitória. 
 
1.4.1.1 Tolerâncias de Regime Permanente 
A variação na tensão de regime descreve um intervalo no qual o valor 
eficaz (RMS) da tensão varia lentamente ou é constante. Esta tolerância é de 
+/- 10% da tensão nominal a qual pode ficar indefinidamente alimentando os 
equipamentos. Os equipamentos com esta tensão devem ter uma operação 
adequada e manter suas características de rendimento e potência nominal. 
 
1.4.1.2 Linha de Sobretensão 
 
Esta região da curva descreve uma faixa de sobretensão, com valor eficaz, 
de até 120% do valor da tensão nominal. Com duração de até 0,5 segundos. Isto 
pode ocorrer quando grandes cargas são removidas do sistema elétrico. 
 
1.4.1.3 Oscilação Amortecida de Baixa Freqüência 
Esta região descreve as oscilações de baixa freqüência. Estas são 
tipicamente originadas de chaveamentos de bancos de capacitores, utilizados na 
correção de fator de potência. A freqüência destas oscilações podem variam de 
200 Hz a 5 kHz, dependendo a freqüência de ressonância do sistema elétrico de 
distribuição de energia. 
 
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A amplitude das oscilações é definida como um percentual do pico da 
tensão nominal, ou seja, o valor máximo.(não e o valor eficaz da tensão). 
A duração destas oscilações está dentro de ½ ciclo. Outra condição é que o 
chaveamento deve ocorrer próximo ao pico da tensão de alimentação. A amplitude 
da oscilação varia de 140% para 200 Hz até 200% para 5 kHz com variação linear 
entre estes valores. Ver figura abaixo. 
 
Oscilação típica de tensão causada por chaveamento de banco de capacitor 
 
1.4.1.4 Impulsos e Oscilações de Alta freqüência 
 
Esta região descreve os transitórios ou surtos que são causados 
geralmente por descargas atmosféricas. A norma ANSI/IEEE C62.41-1991 
descreve as características da forma de onda que representa este surto de 
tensão. A intenção é prover uma imunidade de 80 Joule durante o transitório. 
 
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1.4.1.5 Afundamento de Tensão – Sags 
 
A curva mostra duas áreas de afundamento de tensão considerando 
sempre o valor eficaz. Estes afundamentos são resultantes de curto-circuito na 
distribuição da energia elétrica ou entrada em operação de cargas com potência 
elevada. Afundamentos de tensão com 80% da nominal e duração de até 10 
segundos, com variação de 20%. A outra área de afundamento corresponde a 
70% da nominal e duração de 0,5 segundos, variando entorno de 30%. 
A norma IEC61000-4-11 tem limites mais rigorosos para definir a 
suportabilidade de equipamentos eletrodomésticos e de informática, quando 
submetidos a afundamentos de tensão. Veja a tabela 01 abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4.1.6 Interrupção 
 
 Esta área compreende a perda total da alimentação ou um afundamento 
entorno de 10% da tensão nominal, seguida da recuperação plena da tensão. A 
duração destes fenômenos deve ser inferior a 20 ms. Normalmente a origem 
destes fenômenos está relacionada com a ocorrência de curto-circuito e a atuação 
do sistema de proteção na distribuição da energia elétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4.1.7 Região Sujeita a Mau Funcionamento ou Desligamento 
 
Esta área da curva corresponde a tensões de alimentação inferiores aos 
limites de suportabilidades dos equipamentos, podendo causa mau funcionamento 
ou o desligamento dos mesmos sem no entanto causar a sua queima. 
 
1.4.1.8 Região Proibida 
Região sujeita a danos nos equipamentos por elevação de tensão. Elevações 
permanentes ou sobretensões descritas nesta área podem causar alem de mau 
funcionamento a queima dos equipamentos. 
 
Bibliografia 
 
[01]Jesus, Nelson Clodoaldo e Oliveira, Hermes R.P.M. Feito de Bancos de 
Capacitores na Amplificação de Harmônicos em Sistema de Distribuição. Anais do 
XVII Seminário Nacional de distribuição de Energia Elétrica, Belo Horizonte, 
agosto de 2006. 
 
 
[02] Dugan, Roger C. McGranaghan, Mark F. and Beaty, H. Wayne. Electrical 
Power Systems Quality. Second edition New York, McGraw-Hill,2003. 
 
[03] Kennedy, Barry W. Power Quality Primer, McGraw-Hill New York, 2000. 
 
[04]Porto,Rafael Jorge "uma análise aplicada sobre medição e faturamento de 
potências e energias não ativas", dissertação de mestrado,Itajubá MG 2006.Brasil. 
 
[05] Sankaran, C. Power Quality. CRC PRESS New York ,2002. 
 
 
[06] IEEE-Std 1159 Recommended Practice for Monitoring Electric Power Quality 
2009 
 
 
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Capítulo 02 
 
 
Conceito de Potência Elétrica 
 
2. Introdução 
 
 
 Potência é a taxa no tempo de liberação ou absorção de energia [07]. A 
equação que traduz esta definição é: 
 
 dw(t)
p(t) = 
dt
 
 
Onde: w(t): é a energia em joules [J] 
 t: é o tempo em segundos [s] 
 p(t): é a potência em watts [W] 
 
 Para um deslocamento com força constante e linear na mesma direção da 
força, a potência é dada por: 
 
 
dw(t) d(F x) dx
p(t) = = = F = F v
dt dt dt

 
 
 
Onde: F: é a força em newtons [N] 
 x: é o deslocamento em metros [m] 
 v: é a velocidade em metros por segundo [m/s] 
 
 
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Assumindo um torque constante, com um movimento rotacional, a potência 
é dada por: 
 dw(t) d( ) d
p(t) = = = = 
dt dt dt
       
 
Onde:  : é o torque em newton-metro [N.m] 
  : é o ângulo em radianos [rad] 
 : é a velocidade angular em radianos por segundo [rad/s] 
 
 
 
 
No sistema elétrico temos que a potência associada com a corrente elétrica 
que flui através de um elemento é: 
 
 
 
    IV
dt
dq
dq
dw
dt
tdw
tP 
 
 
 
Onde: q: é a carga elétrica em coulombs [C] 
 i: é a corrente elétrica em ampères [A] 
 v: é a tensão elétrica em volts [V] 
 
 
 
 
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2.1 Definições de Potência Elétrica 
 
 
Os efeitos de distorções da forma de onda e de assimetrias de tensão e 
corrente no sistema elétrico e sua conceituação constituem ainda um grande 
desafio da engenhariaelétrica. E é um assunto tão antigo como o próprio sistema 
elétrico. 
 
 
O conceito de potência elétrica deve ser geral e suficientemente flexível e 
dinâmico para ser aplicado nas mais diversas áreas da engenharia elétrica : 
 
 Projetos de equipamentos, instalações e sistemas elétricos; 
 
 Controle e processamento da energia elétrica; 
 
 Compensação reativa; 
 
 Acionamentos elétricos; 
 
 Metrologia e Tarifação da energia elétrica. 
 
 
 
 
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2.1.2 Perguntas inquietantes dos pesquisadores da área. 
 
Varias são as indagações que permeiam e matém as divergências entre os 
pesquisadores e até mesmos entre grupos de estudos do tema. Aqui estão 
algumas destas questões tiradas da tese de doutorado Fernando P. Marafão 
defendida na UNICAMP em dezembro de 2004. [08] 
 
 Qual o domínio mais adequado à análise da potência elétrica: tempo ou 
freqüência? 
 
 Por que a necessidade da definição de potência aparente? 
 
 Como definir e relacionar as parcelas de potências com seus respectivos 
fenômenos físicos? 
 
 Por que separa a componente fundamental, das componentes harmônicas 
do sistema elétrico? 
 
 Como utilizar as componentes de potência para tarifação ou atribuição de 
responsabilidades, ou seja, quais parcelas são de responsabilidade das 
agências distribuidoras de energia e quais são dos consumidores? 
 
 
 
 
 
 
 
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Com o objetivo de responder a estas e outras tantas indagações foram 
propostas inúmeras teorias sobre potência elétrica e suas parcelas. No domínio da 
freqüência é possível relacionar cinco teorias que normalmente ficaram 
conhecidas pelo nome de seus autores. Como citadas a seguir: 
 
 Definição proposta por Budeanu;(1927) 
 Definições proposta por Kimbark; (1971) 
 Definições proposta por Shepherd e Zakikhani; (1972); 
 Definições proposta por Czarnecki; (1988); 
 Definições proposta pelo IEEE; (2000) 
 
 
2.2 Análise da Potência Elétrica 
O texto a seguir está baseado na norma IEEE Std 1459-2010 [09]. A conta 
de energia do consumidor, o projeto e teste de equipamentos elétricos, o 
despacho econômico de carga e todo o sistema de geração, transmissão e 
distribuição estão baseados na definição de três grandezas elétricas: 
 
 
➺ Potência Ativa ou Útil - P 
➺Potência Reativa - Q 
➺ Potência Aparente - S 
 
 
 
 
 
 
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Essas definições têm mais de 80 anos e são adequadas para sistemas com 
forma de onda de tensão e corrente senoidais. Elas estão consagradas desde 
1941 pelo AIEE [09], e permanecem praticamente sem alteração até os dias 
atuais. Contudo desde 1927 que estas mesmas definições são contestadas para 
sistemas com tensão ou corrente não senoidais. 
 
Devido às necessidades da vida moderna, inúmeros processadores de 
energia elétrica foram desenvolvidos pelos engenheiros e hoje fazem parte de 
nosso cotidiano. Imagine por uns poucos segundos a vida sem televisão, rádio, 
internet, luz elétrica, telefone, computador, dentre outros equipamentos que 
tornam a vida mais prazerosa. Em todos estes equipamentos há a necessidade de 
processar a energia elétrica para que os mesmos possam operar adequadamente. 
Como estes processadores destorcem principalmente a corrente elétrica, vamos 
estudar estes conceitos à luz desta nova realidade. 
 
Como conseqüência deste uso intensivo da energia elétrica, as mais 
variadas preocupações passaram a fazer parte do mundo dos profissionais que 
trabalham na engenharia elétrica. Citaremos uma da norma mencionada acima 
“ existe a necessidade de se quantificar corretamente as distorções causadas 
pelas cargas não lineares e parametric loads e aplicar uma justa distribuição dos 
custos financeiros requeridos para manter a qualidade dos serviços elétricos”. 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Norma IEEE Std 1459-2010 
 
 
A norma usada na definição das grandezas elétricas é a IEEE Std 1459 –
2010 Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under 
Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions. 
 
 
Estes conceitos são particularmente importantes nas seguintes situações: 
 
− Quando tensão e corrente são não senoidais; 
− Quando a carga é desbalanceada ou as tensões não simétricas; 
− Quando a energia dissipada no neutro tem valor econômico. 
 
 
 
3.1 Definições 
 
3.1.1 Sistema monofásico senoidal 
 
3.1.1.1 Potência instantânea (W) 
 
As funções senoidais que definem tensão e corrente são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde 
 
V = Valor eficaz da tensão (V) 
 I = Valor eficaz da corrente (A) 
 ω = freqüência em angular 2πf (rad/s) 
 θ = ângulo de fase (rad) 
 t = tempo em segundos (s) 
 
 
 
 
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O conceito de energia também está presente nesta forma de apresentação. 
 
 
 
 
 
 
Esta é a energia elétrica transferida da fonte para a carga que pode se 
transformar em outra forma de energia. 
 
 
 
 
 
 
Esta parcela oscila entre a fonte e a carga e tem um valor zero em cada 
ciclo da tensão. 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.1.2 Potência Ativa (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 T= 1/f período (s); 
 K = número inteiro; 
 τ = instante do ciclo no qual teve início a medição. 
 
 
 
Para um sistema senoidal tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3.1.1.3 Potência reativa (var) 
 
 
 
 
 
 
Para tensão e corrente senoidais toma a forma tradicional. 
 
 
 
 
 
 
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3.1.1.4 Potência aparente (VA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta definição também é encontrada na norma IEEE Std 100, que na 
verdade é um dicionário de termos técnicos. 
 
 
 
 
Apparent (phasor) power 
 
S = VI where S is the apparent power, V is the rms value of the 
voltage, and I is the rms value of the current. 
 
Definido por suas componentes tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta forma também está presente na potência instantânea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.1.5 Fator de potência 
 
 
O fator de potência pode ser interpretado como a razão entre a energia 
transmitida à carga sobre a máxima energia que poderia ser transmitida, 
mantendo as perdas na linha. 
 
 
Para um dado valor de S e V, a máxima utilização da linha é obtida quando 
 
 
 S = P assim a razão P/S é um fator de utilização da linha.Curso de QEE 
 
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3.1.2 Sistema monofásico não senoidal 
 
 
Para sistemas nos quais a corrente e tensão são não senoidais tem suas 
representações das seguintes formas, no domínio do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
onde: 
 
 = fundamental da tensão 
 
 = fundamental da corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 = harmônicas de tensão 
 
 
 = harmônicos de corrente 
 
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No domínio da freqüência 
 
 
 
Valor Eficaz da Tensão 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Eficaz da Corrente 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.2.1 Distorção harmônica total de tensão e corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.2 Potência elétrica instantânea (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta equação todos os termos têm valor médio diferente de zero. Neste 
caso tem-se transferência de energia entre a fonte e a carga nas devesas 
freqüência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta equação os termos têm valor médio igual a zero. 
 
 
 
 
 
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3.1.2.3 Potência ativa (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.3.1 Potência ativa fundamental (W) 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.3.2 Potência ativa harmônica (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.3.2 Potência reativa fundamental (var) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.2.4 Potência aparente (VA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.4.1 Potência aparente fundamental (VA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.4.2 Potência aparente não fundamental (var) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Esta equação pode ser reescrita da seguinte forma. 
 
 
 
 
 
3.1.2.4.1.2 Potência de distorção da corrente (var) 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.4.3 Potência de distorção da tensão (var) 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.4.4 Potência aparente harmônica (var) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.2.4.5 Potência de distorção harmônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.1.2.4.6 Potência não ativa 
 
 
 
 
 
 
Quando as ondas de tensão e corrente são perfeitamente srnoidais tem-se 
 
 
 
 
 
3.1.2.5 Fator de potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela Resumo da IEEE – 1459 
 
 
 
 
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4. Sistema trifásico 
 
 
4.1 Sistema trifásico equilibrado 
 
 
Expressões matemáticas de tensões e correntes. 
 
 
 
Tensão linha – neutro ( Tensão de fase); Correntes de linha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O sistema de distribuição de energia elétrica raramente opera com: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1.2 Potência instantânea (W) 
 
 
 
 
 
 
4.1.3 Potência ativa (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde: = tensão de fase 
 
 = tensão de linha 
 
 
 
4.1.4 Potência reativa (var) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1.5 Potência aparente (VA) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.5 Fator de potência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Sistema trifásico desequilibrado 
 
 
Antes das definições de potência elétrica em sistemas desequilibrados, é 
importante comentar o resultado de uma pesquisa feita com os Engenheiros e 
Diretor de concessionárias de energia elétrica nos USA e Canadá em 1994. 
Um grupo de 26 pesquisadores do IEEE elaborou e enviou um questionário 
sobre Potência Elétrica a 122 concessionárias espalhadas pelos USA e Canadá 
conforme mostra o mapa a seguir[10]. 
 
 
 
 
 
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Objetivos deste questionário: 
 
− Determinar a instrumentação usada para medir grandezas elétricas em 
ambiente não senoidal. 
 
− Avaliar o conhecimento dos Engenheiros sobre as limitações das definições de 
P, Q, D e S. 
 
− Como os consumidores são tarifados. 
 
− Avaliar o conhecimento dos Engenheiros das concessionárias sobre os erros de 
instrumentos operando em ambiente não senoidal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Chamam atenção as definições dadas para a potência aparente trifásica: 
 
22% responderam que S (VA) era calculado na forma vetorial ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
22% responderam que S (VA) era calculado na forma aritmética 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6% responderam que S (VA) 
 
 
 
 
Onde: 
 
= Valor médio da tensão e corrente na saída de um retificador 
tipo ponte 
 
 
 
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4% definiram S (VA) como 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.2 Sistema trifásico desequilibrado 
 
 
4.2.1 Tensões e correntes desequilibradas 
 
 Tensões de fase Correntes de linha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.2 Potência instantânea (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em um sistema a três fios tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.2.3 Potência ativa (W) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.2.4 Potência reativa por fase (var) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.4 Potência aparente por fase (var) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.2.5 Potência aparente trifásica (var) 
 
 
 Na forma aritmética 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na forma vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Interpretação geométrica de SA e SV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2.6 Fator de potência 
 
 
 Fator de potência – aritmético 
 
 
 
 
 
 
 Fator de potência – vetorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.3 Sistema trifásico equivalente 
 
4.3.1 Potência aparente equivalente 
 
Este conceito está fundamentado na suposição de existir um “sistema 
virtual” equilibrado, equivalente a um sistema trifásico desequilibrado, que provoca 
as mesmas perdas nos alimentadores. 
 
4.3.2 Sistema equilibrado equivalente 
 
4.3.2.1 Corrente equivalente 
 
Esta é a corrente “virtual” do sistema trifásico equilibrado, e que é 
equivalente as correntes desequilibradas e que provoca as mesmas perdas nos 
alimentadores. 
Para um sistema desequilibrado a quatro fios a corrente equivalente, 
“virtual”, é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑟(𝐼 
 + 𝐼 
 + 𝐼 
 + 𝜌𝐼 
 ) = 3𝑟𝐼 
 
𝑜𝑛𝑑𝑒: 
r : é a resistência da linha 
𝜌 = 
𝑟 
𝑟
 
𝑟 : resistência do alimentador do neutro 
𝐼 : corrente 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 
𝐼 = √
𝐼 + 𝐼 
 + 𝐼 + 𝜌 𝐼 
3
 
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4.3.2.2 Tensão “virtual” equivalente do Sistema equilibrado 
 
A tensão equivalente é obtida assumindo um sistema no qual a componente 
ativa da corrente da carga ligada em Y, alimentado por um sistema a quatro fios 
dissipa uma potência Somando-se a potência dissipada em um conjunto 
de cargas ligada em Δ. Desta forma tem-se a seguinte expressão matemática para 
o cálculo da tensão equivalente do sistema “virtual” equilibrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑃 . 𝑃 
𝑃 + 𝑃 = 𝑃 + 𝑃 
𝑉𝑎
2+𝑉𝑏
2+𝑉𝑐
2
𝑅𝑌
+
𝑉𝑎𝑏
2 +𝑉𝑏𝑐
2 +𝑉𝑐𝑎
2
𝑅 
= 3
𝑉 
2
𝑅𝑌
+
9𝑉 
2
𝑅 
 
ξ = 
𝑃 
𝑃𝑌
=
9𝑉 
2
𝑅 
∗
𝑅𝑌
3𝑉 
2 =
3𝑅𝑌
𝑅 
 
𝑉 = √
3(𝑉 
 + 𝑉 
 + 𝑉 
 ) + ξ(𝑉 
 + 𝑉 
 + 𝑉 
 )
9(1 + ξ)
 
𝑉 = √
3(𝑉 
 + 𝑉 
 + 𝑉 
 ) + ξ(𝑉 
 + 𝑉 
 + 𝑉 
 )
18
 
é 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ξ seja qual a 1 
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4.3.2.3 Potência aparente equivalente 
 
 
As definições de tensões e correntes equivalentes leva a um novo 
conceito de potência aparente “virtual” ou equivalente para um sistema 
trifásico desequilibrado. 
 
 
 
 
 
 
4.3.2.4 Fator de potência equivalente 
 
 
 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
[07] Dorf, Richard C. e Svoboda, James A. Introduction to Electric Circuits. New 
York. John Wiley.1999 
 
 
[08] Marafão, Fernando Pinhabel. Analise e Controle da Energia Elétrica Através 
de Técnicas de Processamento Dogital de Sinais. Tese de Doutorado, UNICAMP 
2004. 
 
 
[09] IEEE Std 1459-2010 – Definitions for the Measurement of ElectricPower 
Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal,Balanced, or Unbalanced conditions. 
 
[10] IEEE Working group on nonsinudoidal situations, A Survey of North American 
Utility Concerns Regarding Nonsinusoidal Waveforms, IEEE Transactions on 
Power Delivery, Vol. 11, No. 1, January 1996 
 
𝑆 = 3𝑉 𝐼 
FP =
𝑃
𝑆