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Qualidade de Energia Elétrica - Fontes de Distúrbios

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Curso de QEE 
 
 
Prof. Dr. Antônio Melo de Oliveira 1 melo@eee.ufg.br 
 
3. Fontes Geradoras de Distúrbios na QEE 
 
Introdução 
 
A energia elétrica é um dos mais importantes insumos da sociedade 
moderna e, tem características bastante peculiares tais como: a geração da 
energia elétrica ocorre em tempo real e a sua qualidade depende tanto do 
consumidor quanto da concessionária. 
Na verdade nem consumidor nem concessionária são capazes de 
determinar precisamente a magnitude, a duração e freqüência média das 
ocorrências de todos os problemas da qualidade da energia elétrica. De modo 
geral os consumidores estão cada vez sensíveis à qualidade da energia elétrica, e 
por outro lado gerando mais distúrbios para o sistema elétrico de distribuição e 
transmissão. 
Nos capítulos 1 e 2 estão definidos os distúrbios e os padrões desejáveis 
da tensão para uma instalação elétrica. O que se deseja é ter uma tensão 
estabilizada, equilibrada e com o formato senoidal. De modo geral isto se 
consegue tomando providencias simples e objetivas tais como: 
 Cabos com seção de dimensão suficiente para limitar a queda de tensão; 
 Transformadores de distribuição adequadamente dimensionados e com 
baixa tensão de curto-circuito; 
 Evitar picos de carga ou mitiga-los através de dispositivos adequados; 
 Separação dos diversos circuitos de alimentação de acordo com as 
características das cargas e sua forma de operação; 
 Utilização de fator de demanda realístico baseado em medidas ou 
estimativas de projetos semelhantes; 
 Utilização de transformadores dedicados para cargas não-lineares; 
 Ter um bom projeto de proteção e implementa-lo. 
 
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3.1 Cargas com Potencial para Gerar Distúrbios na QEE 
 
As cargas que apresentam maiores possibilidades para gerar distúrbios nas 
instalações elétricas, e que são bastante encontradas no meio industrial, comercial 
e residencial são: 
 
 Forno a arco voltaico 
 Forno de indução 
 Motor de corrente contínua com controle de velocidade / tração elétrica 
 Motor para laminadora de indústria siderúrgica 
 Motor de indução de média e alta potência 
 Retificadores – Interfase AC/CC 
 Inversores de corrente contínua para corrente alternada 
 Conversores eletrônicos - Controladores de Potência CA. 
 Máquina de solda 
 Aparelhos de Raio X 
 Fonte Chaveada 
 
Dependendo da potência de Curto-Circuito no ponto de acoplamento destas 
cargas com o sistema de distribuição de energia elétrica, os distúrbios gerados 
podem ser disseminados e atingir outras umidades consumidoras. Algumas 
concessionárias do setor elétrico têm estabelecido diretrizes, critérios e 
procedimentos que deverão ser seguidos pelos usuários do sistema elétrico de 
subtransmissão e das redes primárias de distribuição. 
Concessionárias do setor elétrico estão solicitando um Relatório de Impacto 
no Sistema Elétrico (RISE) para ligar estas cargas com potencial de gerar 
distúrbios no sistema de distribuição. Algumas destas cargas são potencialmente 
geradoras de distúrbios não pela potência de uma carga, mas pela quantidade 
encontrada nas instalações elétricas. 
 
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3.2 Afundamento de Tensão 
 
Dentro do contexto da qualidade da energia elétrica o fenômeno associado 
com o afundamento de tensão tem uma importância fundamental pelas razões 
citadas a seguir. [03] 
 
 Devido à vasta extensão e à vulnerabilidade das linhas aéreas de 
 transmissão, subtransmissão e distribuição, estes distúrbios são 
 inevitáveis e inerentes à operação do sistema elétrico; 
 
 Os consumidores estão tendo prejuízos substanciais devido as 
 interrupções de processos, quantificados pelas perdas de produção, 
 perdas de insumos e custos associados a mão-de-obra e a reparos de 
 equipamentos danificados; 
 
 As concessionárias de energia elétrica estão tendo perda de imagem 
 empresarial e inevitavelmente passarão a ter maiores custos com 
 prováveis ressarcimentos de prejuízos aos consumidores, decorrentes 
 de falta de qualidade da energia; 
 
 A qualidade da energia está se transformando num fator de 
 competitividade, sendo que as empresas de energia deverão oferecer 
 contratos diferenciados, em função dos requisitos de qualidade da 
 energia exigidos pelos processos dos consumidores; 
 
 A qualidade da energia está se tornando um fator diferencial para 
 promover desenvolvimentos regionais, juntamente com incentivos fiscais, 
 meios de transporte, proximidade entre matéria prima e centros 
 consumidores 
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3.2.1 Conceito de Afundamento de Tensão – SAG 
 
O afundamento de tensão é caracterizado por duas variáveis magnitude e 
tempo. O Institute of Electric and Electronics Engineers – IEEE define através da 
norma 1159 como sendo uma redução do valor eficaz ( RMS) da tensão entre 0,1 
e 0,9 p.u., durante um período de tempo entre ½ ciclo e 60 segundos. O IEEE 
ainda classifica os afundamentos de tensão, segundo a sua duração, nas 
seguintes categorias: 
 Instantâneos: entre 0,5 ciclo e 30 ciclos; 
 Momentâneos: entre 30 ciclos e 3 segundos; 
 Temporários: entre 3 segundos e 1 minuto. 
 
FIG. 3.1 Afundamento de Tensão segundo a norma IEEE - 1159 
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 A norma do IEC (International Eletrotechnical Commission) define 
afundamento de tensão (denominado de “dip” ou “voltage dip”) como: uma 
redução súbita da tensão de um ponto do sistema elétrico, seguido de seu 
restabelecimento após um curto período de tempo, de 0,5 ciclo há uns poucos 
segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 3.2 Afundamento de tensão de acordo com o IEC 
 
 
 
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No Brasil o órgão regulador do setor elétrico é a ANEEL, que na resolução 
676 de 16/12/2003 já tinha definido o afundamento de tensão como uma variação 
no valor eficaz da tensão entre 10% e 90% do valor nominal com uma duração 
inferior a 3(três) segundos. Atualmente este parâmetro está definido no PRODIST. 
O operador Nacional do Sistema Elétrico - ONS que é um órgão subordinado a 
ANEEL tem uma classificação mais abrangente sobre este tema. 
 
 De acordo com a definição documentada nos procedimentos de rede do 
ONS obtida do Subgrupo de VTCD’s (Variação de Tensão de Curta Duração), 
entende-se por VTCD um desvio significativo da amplitude da tensão num curto 
intervalo de tempo. Esta definição engloba os fenômenos de interrupção,afundamento e elevação de tensão. Ver tabela 01. 
 
Tabela 3.1 – Classificação das VTCDs 
Classificação Magnitude (M) Duração (d) 
Momentâneo 
Elevação M> 1,1p.u. 
1 ciclo < d 

3s 
Afundamento 
9,01,0 
p.u. 
Interrupção M < 0,1 p.u. d 

 3s 
Temporário 
Elevação M > 1,1 p.u. 
3s < d 

 60s Afundamento 0,1 

 M< 0,9 p.u. 
Interrupção M < 0,1 p.u. 
 
 
 
 
 
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3.2.1.1 Tolerancia ao afundamento de tensão. 
 
 
Os problemas associados à ocorrência de afundamentos de tensão tendem 
a se agravar cada vez mais devido ao crescente aumento da utilização de 
equipamentos sensíveis à falhas utilizados por modernas indústrias de alta 
tecnologia que necessitam de energia confiável e de qualidade, uma vez que um 
fornecimento elétrico de qualidade insuficiente pode levar a uma interrupção de 
processos e, consequentemente, a uma qualidade do produto inferior à desejada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 3 – Curvas de tolerância dos vários afundamentos do processo segundo 
norma IEEE Std 1346 (1998). 
 
 
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3.2.2 Causas dos Afundamentos de Tensão 
 
As principais causas dos afundamentos de tensão no sistema de 
distribuição de energia ou em uma instalação elétrica são: 
  Partida de grandes motores de indução; 
  Curto-Circuito no sistema elétrico. 
A análise do afundamento de tensão pode ser considerada complexa, pois 
envolve uma diversidade de fatores aleatórios que afetam as suas características 
de tempo e magnitude [01 ]: 
 Tipo de Curto-Circuito (Fase-Terra; Fase-Fase; mono ou trifásico) 
 Localização do curto-circuito no sistema; 
 Impedância do sistema no local do curto-circuito; 
 Conexão dos transformadores; 
 Tensão anterior ao afundamento de tensão; 
 Desempenho do sistema de proteção; 
 Fatores diversos. 
 
 
3.2.2.1 Localização do Curto  Afundamento de Tensão 
 
A localização do curto-circuito é o fator mais importante da determinação da 
intensidade do distúrbio de tensão, para uma determinada unidade consumidora, 
dentro de um sistema de distribuição de energia elétrica. A figura 3.3 mostra vários 
pontos de ocorrência de curto-circuito e seu impacto sobre uma determinada 
unidade consumidora.[01 ] 
Neste contesto a definição de áreas de vulnerabilidade, que relaciona o 
local da ocorrência de um curto circuito e as cargas espalhadas, geograficamente, 
que serão afetadas. Atingindo uma subtensão abaixo da recomendada para sua 
operação como mostrado na figura 3.4. 
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Figura 3.3 Sistema de distribuição de energia elétrica mostrando o curto-circuito 
em vários pontos seu impacto sobre uma unidade consumidora. [01] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 B 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 Sistema de distribuição e as áreas de vulnerabilidade para identificação 
da origem da falha considerando as subestações A e B.[02] 
 
 
 
 
As áreas de vulnerabilidades são determinadas usando simulação 
computacional através do cálculo de curto circuito para obter a estimativa do 
número de afundamentos, com possíveis impactos para os consumidores. 
Conhecida a incidência anual de defeitos nas linhas de transmissão, pode-se ter 
uma estimativa do número esperado de interrupções na operação de cargas 
sensíveis. Na figura 3.5 é mostrado um gráfico que relaciona a magnitude, 
duração e o número de afundamentos em uma linha da rede básica de 230 kV. 
 
 
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Figura 3.5 Perfil dos afundamentos em um ponto de medição em 230 kV, que 
alimenta consumidores industriais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Tabela 3. 1 - Estatísticas de taxas médias de faltas em linhas de transmissão 
utilizadas nos EUA [03] 
 
 
(*) n.º de ocorrências/ano/ 100 Km de linha 
 
 
Tabela 3. 2 - Taxa de falhas em LTs em BRASIL [03] 
 
 
(*) n.º de ocorrências/ano/ 100 Km de linha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.3 Metodologias para Estimação de Afundamento de Tensão 
 
Para estimação dos principais parâmetros de caracterização de um 
afundamento de tensão: intensidade, duração e número de ocorrências, pode-se 
utilizar metodologias de previsão. 
As ferramentas indicadas para a estimativa das características do 
afundamento de tensão são bem conhecidas. Para o cálculo da amplitude usam-
se ferramentas de análise de curto-circuito que permite o cálculo da falta ao longo 
da linha de transmissão. Para estimar a duração do afundamento devem ser 
identificados os tempos de atuação dos dispositivos de proteção, pois um 
afundamento perdura tanto quanto o tempo que a falta permanece no sistema. 
Para a previsão da freqüência utilizam-se dados estatísticos que informam as 
taxas de ocorrências anuais de falhas nas linhas de transmissão e distribuição. 
 
3.2.3.1 MÉTODO DAS POSIÇÕES DE FALTA- (Curto- deslizante) 
Este método tem sido amplamente utilizado no cálculo dos afundamentos de 
tensão em sistemas elétricos de potência de grande porte, contemplando sistemas 
radiais e malhados. Seu princípio está baseado na sistemática de simularem faltas 
em posições diferentes ao longo do sistema elétrico, principalmente nas linhas de 
transmissão e distribuição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Diagrama unifilar do método do curto-deslizante 
 
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A amplitude do afundamento de tensão (tensão remanescentedurante a 
falta) na barra do consumidor i, assim como para qualquer outra barra de 
interesse, é feito através de um programa de cálculo de curto-circuito. Para 
defeitos trifásicos a equação (3.1) é utilizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Ei,k – afundamento de tensão na barra i,e curto-circuito trifásico na barra k; 
Ei
p – tensão pré-falta na barra i; 
Ek
p – tensão pré-falta na barra k; 
Zi,k – impedância de transferência entre as barras i-k; 
Zk,k – impedância própria da barra k; 
Zf – impedância de falta. 
 
3.2.3.2 MÉTODO DA DISTÂNCIA CRÍTICA 
 
Seu princípio está baseado na determinação da posição da falta no 
alimentador para uma dada tensão. A distância deste ponto até barra de interesse 
é denominada de distância crítica. 
Adotando-se a barra mostrada no diagrama da Figura 4 como sendo o 
ponto de acoplamento comum (PAC), a intensidade do afundamento de tensão 
registrado nesta barra, devido a um defeito trifásico no ponto A, pode ser 
calculada por intermédio da expressão (3.2), adotando-se tensão pré-falta de 1 p.u 
 
k,i
Fk,k
P
kP
ik,i
Z
ZZ
E
EE 



3.1 
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 Figura 3.5 –Diagrama simplificado indicando o ponto de acoplamento comum 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 VPAC – afundamento de tensão no ponto de acoplamento [p.u.]; 
 Z2 – impedância do alimentador entre a barra de acoplamento e o ponto de 
 falta []; 
 Z1 – impedância equivalente da fonte no ponto de acoplamento []; 
 ZF– impedância de falta []. 
Esta forma de cálculo do afundamento de tensão é mais adequada a 
sistemas de distribuição onde predomina alimentadores radiais. 
 
 
 
 
F21
F2
PAC
ZZZ
ZZ
V



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Seja Z2 = L x z sendo z a impedância do alimentador por km, e L a distância 
entre a falta e PAC. A distância crítica (LCRIT) pode ser calculada por: 
 
 
 
 
 
 Onde: 
LCRIT – distância crítica [km]; 
Zs – impedância do alimentador por unidade de comprimento [/km]. 
 
 
 
 Ex. 3.1 Considere um curto-circuito trifásico no ponto A do alimentador de um 
sistema de distribuição de energia elétrica mostrado na figura 3.6, e calcule a 
tensão no ponto B, na barra de 12 kV e na barra de 69 kV. As impedâncias 
mostradas são de seqüência positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 Alimentador de um sistema de distribuição de energia elétrica. 
 
 
CRIT
CRITS
CRIT
V1
V
z
Z
L


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3.2.4 Desempenho do Sistema de Proteção 
 
A função principal do sistema de proteção e eliminar a falta sejam tirando 
de operação parte do sistema elétrico, equipamentos ou mesmo unidades 
consumidoras. 
O tempo para remover a falta está diretamente relacionado com a duração 
do afundamento de tensão. A duração depende da atuação dos equipamentos 
destinados a eliminar a falta. Quanto mais rápido agem os equipamentos de 
proteção menor é a duração da falta. 
O tempo de atuação dos relés depende de suas características e dos 
ajustes realizados, já o tempo de abertura dos disjuntores é uma função apenas 
das características construtivas do mesmo. 
 
Tabela 3.3 Tempo Típico de Eliminação de Falta. Fonte [ ] 
 
 
 
Para um melhor entendimento da ocorrência de afundamento de tensão e 
sua correlação com a atuação dos dispositivos de proteção vamos analisar um 
exemplo descrito na referência [ ]. 
O sistema de distribuição mostrado na figura 3.7 é formado por uma 
subestação de 20 MVA, com três alimentadores em paralelo. Cada alimentador 
tem seu disjuntor com seu relê de proteção para detectar e eliminar a falta. 
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Na figura 3.7a temos a indicação de um curto-circuito no ponto A, que é 
caracterizada como um falta trifásica, no ponto C uma unidade consumidora 
alimentada através de um transformador trifásico ΔΥ. 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
Figura 3.7 Seqüência de religamento do sistema de distribuição. a) diagrama 
unifilar, b) Variação dos níveis de tensão nos alimentadores 
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De forma semelhante, a Tabela 3.4 apresenta os tempos típicos de atuação 
da proteção em sistemas de distribuição 
 
 
 
Tabela 3.4 - Tempos típicos de eliminação de faltas dos sistemas de distribuição.[03] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(*) Retardo de tempo intencional para se obter coordenação entre os dispositivos de 
proteção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2.5 Freqüência dos Afundamentos de Tensão 
 
Ocorrências de afundamento de tensão, combinadas com a sensibilidade 
dos equipamentos modernos têm resultado em um número expressivo de 
interrupções de processos industriais. Tais paradas de produção têm provocado 
prejuízos financeiros consideráveis. Os custos destes freqüentes afundamentos 
têm levado as empresas a buscar parcerias para financiar e minimizar seus 
prejuízos. 
 
 
 
 
 
Onde: 
S – número anual de afundamentos abaixo de uma dada tensão de 
afundamento Vsag; 
nf – número de alimentadores que saem do barramento; 
 – taxa de falta do alimentador principal por km por fase incluindo faltas 
permanentes e temporárias; 
Zf – impedância do alimentador em [/km]; 
Zs – impedância da fonte em ohms []. 
 
 
 
 
 
 
 










f
S
sag
sag
fsag
Z
Z
V1
V
nVS 
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3.3 Fontes Geradoras de Harmônicos 
 
A energia elétrica é gerada, transmitida e distribuída dentro de um padrão, 
por exemplo, com freqüência de 60 Hz e tensão nos níveis de 13.8 kV, 138 kV, 
500 kV, 750 kV. Mas ela não é consumida dentro de padrões, exceto 380/220 V e 
60 Hz. A energia elétrica em sua grande parte é processada antes de ser 
consumida. Veja o caso de um computador pessoal – PC: ele é alimentado com 
uma tensão monofásica de 220V em 60 Hz mas quase a totalidade da energia 
utilizada passa antes por um processador de energia. Esse processador é 
conhecido como fontee tem a finalidade de produzir +15V / –15V, +5 / –5 e outros 
níveis de tensão em corrente contínua que vão ser usados nos mais diversos 
circuitos do PC. Este processamento de energia gera um “resto” que polui os 
sistemas elétricos locais e das concessionárias do setor elétrico. 
 A necessidade de processar a energia elétrica é provocada pela 
automação dos processos industriais, pelo conforto do homem moderno e sua 
necessidade de comunicação, qualidade de vida e uso mais eficiente da energia. 
 
Vejamos quem são esses processadores da energia elétrica: 
 
Na indústria: 
 
 Fontes de Potência CC 
- Equipamento formado, na maioria dos casos, por retificador e filtro CC. 
 
 
 RetificadorVac
60 Hz
Filtro
Pcc = Vcc Icc
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 Frequency
0Hz 0.1KHz 0.2KHz 0.3KHz 0.4KHz 0.5KHz 0.6KHz 0.7KHz 0.8KHz 0.9KHz 1.0KHz
I(V1)
0A
20A
40A
60A
80A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.6 Espectro de Amplitude da corrente de alimentação de um retificador 
monofásico com um filtro CC na saída. A potência fornecida é de 10 kW com um 
fator de ripple  5 
 
 
 
 
 
 Controladores de Velocidade de Motores de Corrente Contínua 
- Equipamento constituído por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retificador ControladoVac
60 Hz
+
 Vcc => Ajustável
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 Controladores de Velocidade de Motores de Indução 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.7 Corrente e tensão de fase no lado CA de um conjunto retificador + 
conversor de freqüência de trifásico de 140 kW 
 
RetificadorVac
60 Hz
Filtro
Inversor
Vac => Ajustável
Freqüência => Ajustável
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Figura 3.8 Espectro de amplitude da corrente de linha no lado CA do retificador + 
conversor de freqüência. Corrente eficaz de 250 A e THD de 63,92% 
 
 
 
 
 
 
 
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 Controladores de Potência CA - Conjunto de Tiristores 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.9 Tensão e corrente de alimentação de um controlador de potência de 
19,8 kVA. Tensão de alimentação de 220 V. 
 
 
 
Vac
60 Hz
Vac => Ajustável
Freqüência Fixa => 60Hz
 Time
20.0ms 24.0ms 28.0ms 32.0ms 36.0ms 40.0ms16.6ms
I(L1)*5 V(V1)
-400
-200
0
200
400
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FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE I(L_L1) 
 
 DC COMPONENT = 9.127459E-04 
 
 HARMONIC FREQUENCY FOURIER NORMALIZED PHASE 
NORMALIZED 
 NO (HZ) COMPONENT COMPONENT (DEG) PHASE (DEG) 
 
 1 6.000E+01 4.063E+01 1.000E+00 -2.690E+01 0.000E+00 
 2 1.200E+02 1.180E-03 2.904E-05 -1.225E+02 -6.866E+01 
 3 1.800E+02 2.892E-04 7.117E-06 -1.649E+01 6.420E+01 
 4 2.400E+02 7.913E-04 1.948E-05 -5.053E+01 5.706E+01 
 5 3.000E+02 1.062E+01 2.614E-01 5.988E+01 1.944E+02 
 6 3.600E+02 1.254E-03 3.086E-05 8.182E+01 2.432E+02 
 7 4.200E+02 5.300E+00 1.304E-01 -6.044E+01 1.278E+02 
 8 4.800E+02 7.865E-04 1.936E-05 -1.305E+02 8.469E+01 
 9 5.400E+02 1.826E-03 4.495E-05 7.469E+01 3.168E+02 
 
 TOTAL HARMONIC DISTORTION = 2.921822E+01 PERCENT 
 
 
 
Ex. 3.2 Para o controlador de potência CA de 19,8 kVA cujas as formas de ondas 
da tensão e corrente são mostradas na figura 3.4 calcule: 
a) A corrente eficaz de alimentação ( L1); 
b) O fator de potência da alimentação. 
Use a séria de fourier da corrente L1 
 
 
 
 
 
 
 
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Fontes Chaveadas 
 
 
 
 Sistema Ininterrupto de Fornecimento de Energia UPS (Uninterruptible Power 
Supply) 
 
 
 
 
RetificadorVac
60 Hz
Filtro
+
 Vcc => Ajustável
- 
Controlador
CC - CC
Transformador
+
 
- 
RetificadorVac
Rede
Inversor
Banco
de
Baterias
Carga
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Nas Residências: 
 Televisores 
 Máquinas de Lavar 
 Computadores 
 Forno de Microondas 
 Geladeiras 
 Secretária Eletrônica 
 Iluminação 
 Carregadores de Telefone Celular 
 
Todos esses equipamentos têm em seu interior um processador de energia 
elétrica formado por: 
 
 
 
As características das harmônicas de corrente geradas por estes 
processadores dependem fortemente da topologia do retificador utilizado e do filtro 
no lado CC. 
 Para ilustrar a distorção de corrente em uma unidade residencial vamos 
mostrar o corrente de uma lâmpada fluorescentes compacta, que após o apagão 
de 2002 ficaram bastante comuns nos lares brasileiros, figuras 3.10. Outro 
equipamento que passou a fazer parte dos utensílios domésticos foi o 
computador, que também destorce bastante a corrente de alimentação. Ver 
figuras 3.10 e 3.11. 
 
Retificador
CA - CC
Filtro
Conversor
CC - CA
Transformador
+
 
- 
Vac
Rede
Vac
Rede
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 a) Forma de onda da corrente b) Espectro de amplitude da corrente 
 
Figura 3.10 Dados medidos de uma lâmpada florescente compacta [ ] 
 
 
Fig. 3.11 – Forma de onda (a) e espectro de amplitudde (b) da corrente de 
alimentação de um televisor [ ] 
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Fig. 3.12 – Forma de onda (a) e espectro de amplitude (b) da corrente de 
alimentação de uma geladeira [ ] 
 
 
 
 
Fig. 3.11 Corrente de alimentação de um computador pessoal PC 
 
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Fig 3.13 Espectro de amplitude da corrente de alimentaçãodo PC da Fig. 3.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.4 Efeitos das Harmônicas sobre os equipamentos 
 
Para analisarmos os efeitos das correntes harmônicas nos mais diversos 
circuitos e equipamentos vamos utilizar uma tabela do livro “Power quality Primer” 
 
Equipamento Efeito Harmônico Resultado 
Capacitores 
- Impedância capacitiva decresce 
com o aumento da freqüência, 
portanto os capacitores agem 
como um caminho de baixa 
impedância, para onde os 
harmônicos convergem; porém, 
eles não geram harmônicos. 
 
- A indutância de sistemas de 
alimentação pode entrar em 
ressonância com capacitores em 
alguma freqüência harmônica 
causando altas correntes e 
tensões. 
- Capacitores secos não dissipam 
bem o calor e são mais suscetíveis a 
danos causados por harmônicos. 
 
- Ruptura de material dielétrico. 
 
- Capacitores usados em 
computadores são 
particularmente suscetíveis a 
danos por serem, em geral, não 
protegidos por fusíveis e relés. 
 
- Como regra prática, capacitores 
e dispositivos de potência 
chaveados são incompatíveis. 
- Aquecimento dos 
capacitores devido a 
perdas no dielétrico. 
 
- Curtos-circuitos. 
 
- Falha do fusível. 
 
- Explosão do capacitor. 
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Transformadores 
- Tensões com harmônicas 
causam voltagens maiores no 
transformador e stress no 
isolamento; não é, normalmente, 
um problema significativo. 
- Aquecimento do 
transformador. 
 
- Vida útil reduzida. 
 
- Acréscimo de perdas 
no cobre e ferro. 
 
 
- Stress no isolamento. 
 
- Stress. 
Motores 
- Aumento nas perdas. 
 
- Tensões harmônicas produzem 
um campo magnético girante 
cuja velocidade corresponde à 
freqüência harmônica. 
- Aquecimento do 
motor. 
 
- Vibrações mecânicas 
e ruído. 
 
 
- Torques pulsantes. 
 
- Acréscimo de 5 a 10% 
das perdas no cobre e 
ferro nos 
enrolamentos do rotor 
e do estator. 
 
- Redução da eficiência. 
 
- Redução da vida útil. 
 
- Tensão de stress nos 
materiais isolantes dos 
enrolamentos do 
motor. 
 
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Relé 
Eletromecânico 
- Componentes adicionais de 
torque são produzidas e podem 
alterar as características do 
tempo de atraso dos relés. 
- Acionamento incorreto 
dos relés. 
 
- Leituras incorretas. 
Disjuntor 
- A bobina de sopro magnético 
pode não operar adequadamente 
na presença de correntes 
harmônicas 
- Falha na interrupção 
da corrente. 
- Falha no disjuntor. 
Medidores 
Watt-hora 
- Harmônicos geram torque 
adicional no disco de indução o 
que pode causar operação 
imprópria do aparelho, uma vez 
que esses equipamentos são 
calibrados para operarem apenas 
na freqüência fundamental. 
- Leituras incorretas. 
Equipamentos 
Eletrônicos e 
Controlados por 
Computador 
- O controle eletrônico depende 
quase sempre da passagem pelo 
zero ou da tensão de pico; os 
harmônicos podem alterar 
significativamente esses 
parâmetros, interferindo na 
operação. 
- Operação incorreta 
dos equipamentos de 
controle e proteção. 
- Falha prematura do 
equipamento. 
- Operações incorretas 
de drivers estáticos e 
robôs. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5 Correntes Harmônicas de Neutro 
 
3.5.1 Cargas Lineares 
 
 A presença de corrente no neutro de um sistema de distribuição de energia 
a quatro fios deve-se ao desequilíbrio da carga ou das tensões de alimentação. As 
tensões de alimentação podem apresentar três formas de desequilíbrio: 
 
a) Módulo das tensões não uniformes; 
b) Defasamento entre as tensões; 
c) Módulos e defasamentos diferentes. 
 
 
 
 
 
Fig. 3.13 –Sistema de distribuição de energia elétrica Trifásico a quatro fios 
 
 
 
VA
VB
VC
N
Z
ZZ
FONTE TRANSMISSÃO CARGA
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Tabela 1 – Variação no Módulo da Tensão 
 
Módulo da 
Tensão 
5% 10% 15% 
Corrente de 
Neutro 
8,5% 17,4% 26% 
 
 
 
 Na tabela 1 temos que para um desequilíbrio de 5% no módulo da tensão 
corresponde a presença de uma corrente de neutro equivalente a 8,5% da 
corrente de fase. O percentual da corrente de neutro varia aproximadamente com 
o desequilíbrio nos módulos das tensões. 
 
100(%)
),,(



médio
médioCBAmáximo
V
VV
V (3.1) 
 
Tabela 2 – Variação no Ângulo de Defasamento 
das Tensões de Fase 
 
Variação na Fase 1% 3% 5% 
Corrente de Neutro 7% 10,6% 15,5% 
 
 Na tabela 2 temos que para um desequilíbrio de 1% no ângulo entre as 
fases, corresponde ao surgimento de uma corrente de neutro de 7% da corrente 
de fase. A corrente de neutro aumenta à medida que a defasagem entre os 
fasores se distancia de 120º, que é a condição desejada. 
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3.5.2 Sistemas Trifásicos com Cargas Não Lineares Monofásicas 
 
 Num projeto de instalação elétrica o Engenheiro responsável pelo projeto 
procura distribuir as cargas monofásicas de forma equilibrada entre as três fases. 
Com isso, procura-se minimizar a corrente de neutro e as perdas no sistema de 
distribuição de energia elétrica. 
 Quando se trata de cargas não lineares, a distribuição das cargas entre as 
três fases não minimiza a corrente de neutro. Uma instalação elétrica com 
predominância de carga tipo computadores pessoais (PC) e iluminação utilizando 
lâmpadas compactas terá, com certeza, uma corrente de neutro próximo a duas 
vezes a corrente de fase. As figuras FIG. 3.20; 3.21; 3,22 e 3.23 mostram as 
correntes de fase para lâmpadas compactas e computadores com os seus 
respectivos espectros harmônicos de amplitude. 
 
3.5.2.1 Componentes Simétricas 
 
Tradicionalmente os Engenheiros que trabalham com sistemas de potencia 
usam componentes simétricas para melhor entender o funcionamento da 
transmissão e distribuição da energia elétrica num sistema trifásico. Nesta forma 
de análise o sistema trifásico é transformado em três sistemas monofásicos de 
análise muito mais simples. O método de componentes simétricas pode ser 
empregado para analisar o sistema trifásico com harmônica, sem violar as 
suposições fundamentais do método,[02 ]. 
 
No sistema elétrico trifásico equilibrado as tensões estão defasadas de 1200 
entre si e tem mesma amplitude, da mesma forma as correntestrifásicas, ver FIG. 
3.14. A seqüência mais usual das fases é A-B-C que gira no sentido ante-horário e 
é conhecido como seqüência positiva [ 04]. 
 
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Na análise de sistema elétrico trifásico com harmônicas vamos usar esta 
mesma seqüência, tomando a fundamental de tensão ou corrente como 
referência. As demais harmônicas têm suas seqüência, baseadas nestas 
referências, de seqüência positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 3.14 Sistema Elétrico Trifásico Equilibrado 
 
 
Como se relacionam os ângulos das demais harmônicas com as fases e 
com este sistema de referência? Esta é uma pergunta um pouco difícil de 
responder numa análise rápida do sistema trifásico com harmônicos. Mas para o 
objetivo deste tópico sobre corrente de neutro, é suficiente analisarmos apenas as 
harmônicas de corrente e de ordem impar, que são as mais encontradas no 
sistema de distribuição de energia elétrica. 
 
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Com base no acima exposto vamos analisar as harmônicas de corrente 
num sistema trifásico. 
 
 
 
tCosta 11 )( 
 
 
)120()( 011  tCostb 
 
 
)240()( 011  tCostc 
 
 
 
 
Fig. 3.15 Correntes de Seqüência Positiva - Fundamental 
 
As correntes fundamentais de fase são tomadas como referência para as 
demais harmônicas, ver FIG. 3.15 
As correntes de 3a harmônicas podem ser calculadas tomando como 
referência as correntes fundamentais. 
 
 
tCosta 3)( 33 
 
 
)120(3)( 033  tCostb = )3603( 03  tCos  = tCos 33 
 
)240(3)( 033  tCostc = )7203( 03  tCos  = tCos 33 
 
Notamos que as correntes de 3a harmônicos estão em fase, ou seja a soma 
instantânea destas correntes não é zero. Ver FIG. 3.16. 
 
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Fig. 3.16 Correntes de seqüência zero – 3a harmônica 
 
Vamos calcular as correntes de 5a harmônicas tomando o mesmo 
referencial. 
 
 
tCosta 5)( 55 
 
 
)120(5)( 055  tCostb = )6005( 05  tCos  = )2405( 05  tCos  

)240(5)( 055  tCostc = )12005( 05  tCos  = )1205( 05  tCos  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.17 Correntes de seqüência negativa – 5a harmônica 
 
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Correntes de 7a harmônicas 
 
 
tCosta 7)( 77 
 
 
)120(7)( 077  tCostb = )8407( 07  tCos  = )1207( 07  tCos  

)240(7)( 077  tCostc = )16807( 07  tCos  = )2407( 07  tCos  
 
Notamos que as correntes de 7a mantêm a mesma seqüência das correntes 
fundamentais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.18 Correntes seqüência positiva - 7a harmônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.5.2.2 Corrente de Neutro 
 
O motivo pelo qual teremos uma grande corrente de neutro, independente 
do equilíbrio de carga entre as fases, é a presença da terceira harmônica na 
corrente de alimentação, tanto de lâmpadas fluorescentes compactas como de 
PC´s. O fator de Harmônico da terceira está acima de 50% e a componente é de 
seqüência zero, o que a faz circular pelo neutro. Deve-se lembrar que as 
componentes de seqüência zero são a terceira e seus múltiplos (9ª, 15ª, 21ª, etc). 
 
 
Vamos esclarecer porque a terceira harmônica e seus múltiplos são de 
seqüência zero e, por conseguinte, circulam pelo neutro. A FIG.3.19 mostra as 
correntes de fase – IA(t), IB(t) e IC(t) – e suas respectivas terceiras harmônicas – 
IA3(t), IB3(t) e IC3(t). Fazendo uma análise da figura constataremos que as terceiras 
harmônicas estão em fase e, por tanto, se somam algebricamente no neutro. 
Verifique que as correntes de primeira harmônica estão defasadas de 120º e sua 
soma em qualquer instante é zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Fig.3.19 – Sistema trifásico com corrente fundamental-60 Hz- e 
terceiras harmônicas-180 Hz 
 
 
 
 
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0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 -0.25 
-0.2 
-0.15 
-0.1 
-0.05 
0 
0.05 
0.1 
0.15 
0.2 
0.25 
Tempo(s) 
Co
rre
nte
(A
) 
Fig. 3.20 – Corrente de alimentação de uma Lâmpada Fluorecente Compacta 
 
 
0 5 10 15 20 25 0 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
Ordem harmônica 
I(%
) 
Fig. 3.21 – Espectro de Amplitude da onda de corrente na lâmpada fluorescente 
compacta. 
 
 
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Fig. 3.22- Corrente de alimentação de um computador pessoal PC 
 
 
Fig 3.23- Espectro de amplitude da corrente de alimentação do PC da FIG.3.22 
 
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FIG. 3.24 Transformador de 75 kVA com impedância de 6%, alimentando cargas 
monofásicas não lineares de 4,2 kW, distribuídas igualmente entre as três fases. 
 
 
 
 
 
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FIG. 3.25 Correntes nas fases do transformador e no neutro 
 
Podemos constatar que as correntes de fase acontecem em momentos 
diferentes e circulam somente entre a fase e o neutro. Desta forma ela se soma no 
neutro e pode ser calculada pela equação 3.2 
 
 2
21
2
15
2
9
2
33 N
 (3.2) 
Onde: 
N
=3; 9; 15; 21;... é o valor eficaz da componente harmônica 
 
 
 Time
165ms 170ms 175ms 180ms 185ms 190ms 195ms161ms 200ms
I(R5)
-100A
0A
100A
I(Lc)
-100A0A
100A
I(Lb)
-100A
0A
100A
I(La)
-100A
0A
100A
SEL>>
(178.964m,83.475)
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FIG. 3.26 Transitório das correntes de fase e de neutro durante a carga dos 
capacitores de filtro das cargas não lineares. 
 
Análise da carga com relação às potências envolvidas. 
 P = 12,6 kW; 
 S = 22 kVA; 
 FP= 0,57 
 
 
 
 Time
0s 20ms 40ms 60ms 80ms 100ms 120ms 140ms 160ms 180ms 200ms
RMS(I(La)) RMS(I(R5))
0A
50A
100A
150A
Corrente de Linha
Corrente de Neutro
(185.618m,33.466)
(185.614m,53.634)
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FIG. 3.27 Distorção na tensão no secundário do transformador causada pela 
circulação de correntes distorcidas nas reatâncias. 
 
As demais unidades consumidoras que estejam sendo alimentadas por este 
mesmo transformador serão agora supridas por uma tensão não senoidal. Esta 
tensão vai causar harmônicos de corrente em cargas lineares. Este é um efeito 
multiplicador no sistema de distribuição de energia elétrica. Este fenômeno é 
conhecido com penetração harmônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 Time
150ms 155ms 160ms 165ms 170ms 175ms 180ms 185ms 190ms 195ms 200ms
V(Vta) -I(La)
-400
-200
0
200
400
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Ex 3.3 Calculo da corrente de neutro 
 
Cargas monofásicas não lineares, com o espectro harmônico de corrente 
mostrado na figura a seguir, são alimentadas através de um sistema trifásico a 
quatro fios. As cargas são divididas igualmente entre as três fases, e estão ligadas 
entre fase e neutro. A corrente de linha (RMS total) é 40 A. Calcule a distorção 
harmônica total THD (padrão IEEE) e a corrente de neutro. 
 
 
FIG. 3.28 Espectro de amplitude das correntes de linha do exercício 3.3. 
 
 
 
 
 
 
1
0,8
0,6
0,45
0,34
0,25
0,18
0,12
0,1
0,05
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 3 5 7 9 11 13 15 18 19
Ordem Harmônica h
Am
pl
itu
de
 d
as
 H
ar
m
ôn
ic
as
 (p
u)
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NormalizedtoAV10deg/divisionBI=6°
BI
Event waveform/detail
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:32:57,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.4 1.0 0.5 0.6
I 0.9 18.9 0.4 0.0 0.9
Vtrans 2.0 2.0 1.0 11.0 2.0
Itrans 75.0 73.0 3.0 1.0 75.0
HZ 1.$
CHB Amps 
17:32:57,000 17:32:57,005 17:32:57,010 17:32:57,015 17:32:57,020
Amps
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Figura 3.29- Forma de onda de corrente na fase A 
NormalizedtoAV10deg/divisionBI=6°
BI
Event waveform/detail
Total RMS: 18.93 Amps
DC Level : 0.13 Amps
Fundamental(H1) RMS: 18.37 Amps
Total Harmonic Distortion (H02-H50): 24.67 % of FND
Even contribution (H02-H50): 1.24 % of FND
Odd contribution (H03-H49): 24.64 % of FND
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:32:57,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.4 1.0 0.5 0.6
I 0.9 18.9 0.4 0.0 0.9
Vtrans 2.0 2.0 1.0 11.0 2.0
Itrans 75.0 73.0 3.0 1.0 75.0
HZ 1.$
CHB Amps 
Thd H02 H04 H06 H08 H10 H12 H14 H16
% of FND
0
5
10
15
20
25
Figura 3.30 Valor total e conteúdo harmônico da corrente na fase A 
 
3.5.2.3 Correntes de fase e neutro em uma instalação elétrica com 
predominância de cargas não lineares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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NormalizedtoAV10deg/divisionBI=20°
BI
Event waveform/detail
Total RMS: 18.31 Amps
DC Level : 0.13 Amps
Fundamental(H1) RMS: 17.89 Amps
Total Harmonic Distortion (H02-H50): 21.77 % of FND
Even contribution (H02-H50): 3.03 % of FND
Odd contribution (H03-H49): 21.56 % of FND
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:35:09,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.5 0.9 0.5 0.6
I 1.0 18.3 0.4 0.0 1.0
Vtrans 2.0 2.0 1.0 14.0 2.0
Itrans 77.0 75.0 3.0 2.0 77.0
HZ 1.$
CHB Amps 
Thd H02 H04 H06 H08 H10 H12 H14 H16
% of FND
0
5
10
15
20
25
Figura 3.32- Valor total e conteúdo harmônico da corrente na fase B 
NormalizedtoAV10deg/divisionBI=224°
BI
Event waveform/detail
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:34:12,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.4 0.9 0.5 0.6
I 1.0 8.9 0.4 0.0 1.0
Vtrans 2.0 1.0 3.0 15.0 2.0
Itrans 33.0 36.0 12.0 1.0 33.0
HZ 1.$
CHB Amps 
17:34:12,000 17:34:12,005 17:34:12,010 17:34:12,015 17:34:12,020
Amps
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
NormalizedtoAV10deg/divisionBI=272°
BI
Event waveform/detail
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:34:18,000
Unit A B C D ABC
V 0.9 0.5 0.9 0.5 0.9
I 1.2 9.0 0.4 0.0 1.2
Vtrans 2.0 2.0 1.0 10.0 2.0
Itrans 37.0 34.0 3.0 1.0 37.0
HZ 1.$
CHB Amps 
17:34:18,000 17:34:18,005 17:34:18,010 17:34:18,015 17:34:18,020
Amps
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
Figura 3.33- Formas de onda da corrente no neutro com a carga de ar condicionados 
(IRMS = 8,9 A) 
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Figura 3.34- Valor total e conteúdo harmônico da corrente no neutro (com 
a carga de ar condicionados) 
NormalizedtoAV10deg/divisionBI=224°
BI
Event waveform/detail
Total RMS: 8.90 Amps
DC Level : 0.19 Amps
Fundamental(H1) RMS: 2.40 Amps
Total Harmonic Distortion (H02-H50): 357.04 % of FND
Even contribution (H02-H50): 33.17 % of FND
Odd contribution (H03-H49): 355.49 % of FND
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:34:12,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.4 0.9 0.5 0.6
I 1.0 8.9 0.4 0.0 1.0
Vtrans 2.0 1.0 3.0 15.0 2.0
Itrans 33.0 36.0 12.0 1.0 33.0
HZ 1.$
CHB Amps 
Thd H02 H04 H06 H08 H10 H12 H14 H16
% of FND
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Figura3.35-Formas de onda da corrente no neutro sem a carga de ar 
condicionados (IRMS = 12,4 ) 
NormalizedtoAV10deg/divisionBI=197°
BI
Event waveform/detail
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:39:28,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.4 0.9 0.5 0.6
I 0.9 12.4 0.4 0.0 0.9
Vtrans 2.0 2.0 1.015.0 2.0
Itrans 56.0 53.0 3.0 1.0 56.0
HZ 1.$
CHB Amps 
17:39:28,000 17:39:28,005 17:39:28,010 17:39:28,015 17:39:28,020
Amps
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
NormalizedtoAV10deg/divisionBI=216°
BI
Event waveform/detail
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:39:51,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.5 1.0 0.5 0.6
I 1.0 12.5 0.4 0.0 1.0
Vtrans 2.0 1.0 1.0 7.0 2.0
Itrans 58.0 55.0 3.0 1.0 58.0
HZ 1.$
CHB Amps 
17:39:51,000 17:39:51,005 17:39:51,010 17:39:51,015 17:39:51,020
Amps
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
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NormalizedtoAV10deg/divisionBI=197°
BI
Event waveform/detail
Total RMS: 12.39 Amps
DC Level : 0.01 Amps
Fundamental(H1) RMS: 8.04 Amps
Total Harmonic Distortion (H02-H50): 117.22 % of FND
Even contribution (H02-H50): 14.67 % of FND
Odd contribution (H03-H49): 116.30 % of FND
Snapshot event occured at 15/06/2005 17:39:28,000
Unit A B C D ABC
V 0.6 0.4 0.9 0.5 0.6
I 0.9 12.4 0.4 0.0 0.9
Vtrans 2.0 2.0 1.0 15.0 2.0
Itrans 56.0 53.0 3.0 1.0 56.0
HZ 1.$
CHB Amps 
Thd H02 H04 H06 H08 H10 H12 H14 H16
% of FND
0
25
50
75
100
125
Figura 3.31- Valor total e conteúdo harmônico da corrente no neutro 
(sem a carga de ar condicionados) 
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3.6 Ressonância 
 
O conceito de ressonância está presente nos mais diversos ramos da 
engenharia. O fenômeno de ressonância em sistemas mecânicos é relatado na 
literatura [ ], e está relacionado com as freqüência naturais das estruturas. Um 
exemplo clássico desse efeito é o que aconteceu com a ponte Tacoma Narrows, 
construída em 1940 sobre o estreito Puget,no Estado de Washington, Estados 
Unidos. Quando meses após a inauguração da ponte, que tinha um vão livre de 
853 m, um vento intermitente de 67 km/h a fez oscilar na sua freqüência natural. A 
amplitude das oscilações foi aumentando ao ponto de a ponte se romper e cair na 
água. Esta só foi reconstruída em 1950. 
 
Na engenharia elétrica este fenômeno esta relacionado com sobre tensões 
e sobre corrente nos sistemas de energia elétrica e também com as 
telecomunicações. As sobretensões e sobrecorrentes são o foco do estudo de 
qualidade da energia elétrica, quando analisamos fenômenos relacionados, com a 
circulação de correntes harmônicas em instalações elétricas, e até mesmo na 
distribuição da energia elétrica. A circulação de energia reativa entre os elementos 
reativos das instalações elétricas é a causa das sobretensões ou sobrecorrentes 
que possam acontecer durante o fenômeno da ressonância. Veja o exemplo de 
uma fonte de corrente alimentando um circuito RLC qualquer. Nesta experiência a 
freqüência da fonte de corrente é o único parâmetro a variar. 
 
 
 
 
 
 
 
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 wtcosI (t) M
 
 
) cos(wt V Vab(t) M 
 
 
 
FIG. 3.36 Circuito RLC alimentado por uma fonte de corrente de freqüência 
variável 
 
Tabela 02 - Resultado da variação da freqüência sobre a tensão Vab 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IM [ mA] W [ rad/s] VM [ V ] 

 
2 200 6,6 48o 
2 220 8,4 33o 
2 250 10,0 0o 
2 270 9,3 -21o 
2 300 7,4 -43o 
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3.6.1 Ressonância em Circuito Série 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Impedância do circuito série 
 
1
11
jwc
1
 jwLR Z(w) 
 
A ressonância ocorre quando 
 
0 }
wc
1
 j{wL
1
1 
 
Se esta igualdade acontece pela variação na freqüência da fonte VS(w), 
esta freqüência recebe uma denominação específica, ou seja freqüência de 
ressonância, Wo. 
 
LC
w o
1

 
Quando isto ocorre temos: 
 
1R Z(w) 
 
 Fator de Potência = 1 
 
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Outro ponto importante é a definição do fator de qualidade, que relaciona a 
energia reativa nos elementos L e C e a energia dissipada na resistência R. 
 
 
Dissipada Energia
Reativa Energia
 Q 
 
 
 
C
L
RCRwR
Lw
 Q
o
o 11 
 
Na ressonância série a grande preocupação é com o surgimento de sobre- 
tensões nos elementos do circuito. Inicialmente vamos calcular a corrente que 
circula nos elementos do circuito. 
Como 
 Z(wo) = R a corrente do circuito série é 
o0
R
Vs
 
 
Cálculo das tensões: 
 
 
S
S
ooL V Q 
R
V
 L w L w V 
 
 
S
S
oo
C V Q 
R
V
 
Cw
1
 
Cw
 V 


 
 
S
S
R V 
R
V
 R R V 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.6.2 Ressonância em circuito paralelo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ic IL Ir IS 
 
 
1
11
 VsjwC 
jwL
Vs
 
R
Vs
 Is 
 
 
Na ressonância temos 
0 CjW 
Ljw
o
o

1 Logo 
1R
Vs
 Is 
 
 
LC
1
 w o 
 
 
Fator de qualidade 
 
Considerando o Indutor L 
L
C
R 
Lw
R
 
Vs
R
 
Lw
Vs
 Q
o
2
o
2

 
Considerando o capacitor C 
L
C
R CR w 
Vs
R
 Cw Vs Q o2o
2 
 
 
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Cálculo das correntes no indutor e no capacitor 
 
 
Is Q Is 
Lw
R
 
Lw
RIs
 
Lw
Vs
 IL
ooo

 
 
Is Q Is CR w CwVs Ic oo 
 
 
 
Considere uma instalação elétrica como mostrada na figura 3.37 para análise do 
fenômeno de ressonância em sistemas elétricos. 
 
 
 
FIG. 3.37 Diagrama unifilar de uma instalação elétrica contendo cargas lineares e 
cargas não lineares. 
 
 
 
 
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3.7 Sistemas de distribuição de energia elétrica com harmônicos 
 
 
Torna-se de grande importância a análise da circulação de correntes 
harmônicas nos sistemas de distribuição de energia elétrica, em funçãodos 
fenômenos de ressonância elétrica. Porque este fenômeno pode levar ao 
surgimento de sobretensões e sobrecorrentes acarretando a queima de 
equipamentos. 
Nesta análise é de suma importância em qual ponto do sistema elétrico de 
distribuição a análise será feita. Para isto será definido o Ponto de Acoplamento 
Comum – PAC ou do inglês “Point of Common Coupling” – PCC. Ver figura 3 38 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.3.38 Mostra o PAC em duas situações distintas dentro do sistema de 
distribuição da energia elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.7.1 Representação de cargas não lineares no sistema de distribuição 
 
 
A representação de carga não lineares no sistema de distribuição de 
energia elétrica, para estudo do fenômeno de ressonância, será feito através de 
fonte de corrente. 
A análise do fluxo harmônico em sistema de potência e feito considerando o 
estado de regime permanente, técnicas de soluções de circuitos lineares, e fontes 
harmônicas de tensão ou corrente. 
Em muitos casos, o estudo do fluxo harmônico é adequado trata-lo como 
uma simples fonte de corrente harmônica. Neste modelo a tensão do barramento 
de serviço e praticamente uma senóide, com no máximo um THDV ≤ 5%. Nesta 
condição a influência da tensão sobre o estudo da circulação de correntes 
harmônicas pode ser considerado irrelevante para as conclusões do estudo. Deste 
modo as cargas não lineares são substituídas por fontes de corrente, como nas 
figuras 3.39 e 3.40, tirada da referência [ ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.39 Representação de cargas não lineares por fonte de corrente 
 
 
 
 
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Figura 3.40 Circuito equivalente para análise de ressonância 
 
 
 
 
 
 
Ex 3.4 Análise da possibilidade da ocorrência do fenômeno de ressonância. 
 
 
 
Na figura 3.33 tem-se um diagrama unifilar de uma fábrica, na qual um 
barramento comum alimente cargas lineares e não lineares. O transformador é de 
2000 kVA, 13.8 kV para 480/277 V com X= 6% e R=1%. O transformador alimenta 
dois sistemas de controle de velocidade de motor de indução, cada um com uma 
potência de 500 hp. Já se encontrava instalado nesta mesma fabrica um banco de 
capacitor para correção de fatos de potência com 750 kVAR ligado em estrela 
como mostrado. Análise as condições de ressonância desta instalação e calcule, 
caso ocorra ressonância a corrente de linha do banco de capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução: 
 
1o. passo: 
 
Criar um circuito equivalente que descreva o mais realisticamente, o modelo 
da instalação elétrica, com a finalidade de estudar o fenômeno de ressonância. 
 
 
 
 
 
Circuito equivalente por fase, considerando o sistema equilibrado. 
 
. 
 
 
Fig.3.5 Circuito equivalente por fase do Ex.3.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2o passo: Calcular os elementos do circuito equivalente 
 
 
 
 
FIG.3.6 Resposta em freqüência do circuito equivalente com os 
valores calculados 
 
 
 
 
 
 Frequency
0Hz 100Hz 200Hz 300Hz 400Hz 500Hz 600Hz 700Hz 800Hz 900Hz
I(C1)
0A
1.0KA
2.0KA
3.0KA
4.0KA
(420.028,818.444)
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 FIG.3.6 Resposta em freqüência do circuito equivalente com o valor 
do capacitor 10% menor calculados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Frequency
300Hz 320Hz 340Hz 360Hz 380Hz 400Hz 420Hz 440Hz 460Hz 480Hz 500Hz
I(C1)
0A
2.0KA
4.0KA
SEL>>
(422.273,3.3341K)
V(Vc) / I(Ih)
0
2.0
4.0
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3.8 Potência de curto circuito e potência do banco de capacitor 
 
Existe uma relação entre a potência de curto circuito no PAC e a 
potência do banco de capacitor, com a frequência de ressonância 
neste ponto do sistema de distribuição de energia elétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.42 Sistema de distribuição com potencial para ocorrer 
ressonância 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Um modelo simplificado para análise deste fenômeno é mostrado 
abaixo, na figura 3.43. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG.3.43 Modelo simplificado para análise de ressonância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 3.44 Resposta em frequência do sistema com a potência do banco e 
potência do transformado com a ordem harmônica. 
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3.9 Potência de curto circuito e ressonância 
 
Em uma instalação elétrica a onde se encontra operando cargas lineares e 
cargas não lineares, e mais banco de capacitores, o qual foi instalado, 
originalmente para corrigir o fator de potência das cargas lineares, pode-se 
estimar a frequência de ressonância. Esta estimação e feita através da relação 
entre a potência de curto circuito, e a potência do banco de capacitores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 3.45 Circuito unifilar para análise da ressonância. 
 
 
3.9.1 Definição da potência de curto circuito 
 
A potência de curto circuito no ponto indicado na FIG. 3.45 é dado pela 
expressão abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Corrente de curto circuito nos terminais do transformador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor da indutância como função da potência de curto circuito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na ressonância tem-se 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.9.2 Potência do banco de capacitores 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na ressonância.Quando ocorre a ressonância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desta forma a relação entre a frequência de operação do sistema elétrico e a 
frequência de ressonância é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia complementar 
 
[01] Kennedy, Barry W. Power Quality Primer, McGraw-Hill New York, 2000 
 
[02] Canguçu, Nilza Alves. “Contribuições para Avaliação dos Impactos 
Econômicos Causados por Mergulho de Tensão em Sistema Elétrico Industrial”. 
Dissertação de mestrado, UNESP, 2006. Ilha Solteiras – SP. 
 
[03] Leborgne, Roberto Chouhy. “Uma Contribuição à Caracterização da 
Sensibilidade de Processos Industriais Frente a Afundamentos de Tensão” 
Dissertação de mestrado, UNIFEI,2003 Itajubá - MG

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