3 - Estatística Descritiva Básica

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EXPERIMENTAÇÃO ZOOTÉCNICA
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda@fcav.unesp.br
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Considere três diferentes variáveis �, � e �, cada uma com a
penas três repetições:
� A média de cada grupo ��
�
= 7 é igual
� O grupo � é mais homogêneo (sem variação alguma)
� Sua média traduz mais fielmente a capacidade de resposta
individual
� Os grupos � e � são mais realísticos
� O grupo � apresenta menor variação (respostas mais uniformes)
Repetição
Variáveis (Grupos)
� � �
Animal 1 5 2 7
Animal 2 7 8 7
Animal 3 9 11 7
TOTAL 21 21 21
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Vamos avaliar as diferenças entre cada resultado obtido
experimentalmente e a média experimental.
� Essas diferenças são chamas desvios
� Não há desvios em �.
� Os desvios em � são menores que os obtidos em �
O cálculo de um desvio médio não diferencia os três grupos pelo
fato de apresentarem o mesmo total zero.
Repetição
Variáveis (Grupos)
(� − 7) (� − 7) (� − 7)
Animal 1 5 − 7 = −2 2 − 7 = −5 7 − 7 = 0
Animal 2 7 − 7 = 			0 8 − 7 = 				1 7 − 7 = 0
Animal 3 9 − 7 = 			2 11 − 7 = 		4 7 − 7 = 0
TOTAL 0 0 0
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Uma alternativa que possibilitaria a qualificação dessa
instabilidade média seria obter a média dos quadrados
dos desvios.
Repetição
Variáveis (Grupos)
� − 7 � � − 7 � � − 7 �
Animal 1 5 − 7 � = 4 2 − 7 � = 25 7 − 7 � = 0
Animal 2 7 − 7 � = 0 8 − 7 � = 			1 7 − 7 � = 0
Animal 3 9 − 7 � = 4 11 − 7 � = 16 7 − 7 � = 0
TOTAL 8 42 0
(DESVIO)2MÉDIO
8
3
= 2,67
42
3
= 14
0
3
= 0
DESVIO MÉDIO
8
3
= 1,63
42
3
= 3,74 0 = 0
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Este procedimento permite caracterizar grupos com diferentes
instabilidades pela avaliação do desvio médio obtido pelo valor:
∑
����
�
�
�
���
, ∑ 	���
�
�
�
���
e ∑ 
���
�
�
�
���
Repetição
Variáveis (Grupos)
� − 7 � � − 7 � � − 7 �
Animal 1 5 − 7 � = 4 2 − 7 � = 25 7 − 7 � = 0
Animal 2 7 − 7 � = 0 8 − 7 � = 			1 7 − 7 � = 0
Animal 3 9 − 7 � = 4 11 − 7 � = 16 7 − 7 � = 0
TOTAL 8 42 0
(DESVIO)2MÉDIO
8
3
= 2,67
42
3
= 14
0
3
= 0
DESVIO MÉDIO
8
3
= 1,63
42
3
= 3,74 0 = 0
MÉDIA
A definição do valor mais provável da variável
�, ou seja, a média de �, representada por ��, é:
�� =
∑ ��
�
���
�
onde � é o número de observações.
� Note que para se estimar o valor de � foi necessário � resultados
observados.
� Maiores contingentes amostrais (� maiores) retratariam um valor de
� mais acurado com relação ao verdadeiro valor médio populacional
�
lim
�→�
�� = �
MÉDIA
Exemplo. Foi observado a espessura em micra do epitélio da
mucosa vaginal em 10 porcas diestro, conforme tabela seguinte.
Determine a média amostral da espessura em micra do epitélio da
mucosa vaginal em porcas diestro.
Solução. Note que � = 10, assim:
�� =
∑ ��
�
���
�
�� =
������������	
����
����������
��
�� =
���
��
�� = 40,5
43 58 17 39 62 38 23 31 45 49
DESVIO PADRÃO
O cálculo do desvio padrão utiliza em sua estrutura
o valor estimado da média, obtida por sua vez de
uma amostra restrita.
� Quando a amostra é abrangente e engloba todo o
universo possível de respostas, e portanto o valor
da média real é � , persiste a fórmula para a
avaliação da instabilidade de uma variável.
Assim,
� =
∑ �� − 	�
��
���
�
DESVIO PADRÃO
Nos estudos feitos com amostras limitadas
� que expressam parte da população
cada valor estimado obtido pelo estudo e utilizado em
outras estimativas diminui em uma unidade o
tamanho da amostra utilizada.
Se uma variável foi descrita através de 30 observações;
� A estimativa de sua média foi descrita através de 30
graus de liberdade.
� Entretanto, a estimativa de seu desvio padrão será
obtida a partir de 29 graus de liberdade
�Pois, um grau de liberdade será cobrado pela estimativa
anterior daquela média, utilizada no cálculo do desvio.
DESVIO PADRÃO
Assim sendo, a fórmula para definir a instabilidade
de uma variável (ou o desvio padrão de uma
variável), obtida a partir de uma amostra restrita
é:
� =
∑ �� − 	��
��
���
� − 1
uma fórmula alternativa é:
� =
∑ ��
��
���
−
∑ ��
�
���
�
�
� − 1
DESVIO PADRÃO
Exemplo. Foi observado a espessura em micra do epitélio da mucosa vaginal em 10
porcas diestro, conforme tabela seguinte.
Tínhamos que �� =
∑ ��
�
���
�
=
���
��
= 40,5
Determine o desvio padrão da variável espessura em micra do epitélio da mucosa
vaginal em porcas diestro.
Solução.
∑ ��
	�
�
� = 43
	 + 58	 + 17	 + 39	 + 62	 + 38	 + 23	 + 31	 + 45	 + 49	 = 18.227	
∑ ��
�
�
� = 405			 ⇒ ∑ ��
�
�
�
	 = 405 	 = 164.025
Assim, 	o desvio padrão da espessura do epitélio vaginal em porcas durante o diestro,
seria:
� =
∑ ��
	�
�
� −
∑ ��
�
�
�
	
�
� − 1
=
18.227 −
164.025
10
10 − 1
=
18.227 − 16.402,5
9
= 14,24
43 58 17 39 62 38 23 31 45 49
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Para julgar a magnitude da instabilidade de uma
variável, os valores de sua média e desvio padrão são
imprescindíveis.
� Para o peso ao nascer de bezerros machos da raça Gir,
a média é de 21 kg e o desvio padrão é de 3 kg.
� A digestibilidade média do feno de capim Jaraguá
cortado aos 28 dias e incubado por 48h no rúmen de
bovinos fistulados é de 72% com um desvio padrão de
4%.
Diante dessas informações, qual variável é mais
istável????
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
O coeficiente de variação �� nada mais é
que a avaliação da instabilidade relativa.
�� =
�
��
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� Considerando o peso ao nascer de bezerros machos da raça
Gir, a média é de 21 kg e o desvio padrão é de 3 kg.
�� =
�
��
=
3
21
= 14,3%
� Na digestibilidade média do feno de capim Jaraguá cortado
aos 28 dias e incubado por 48h no rúmen de bovinos fistulados
é de 72% com um desvio padrão de 4%.
�� =
�
��
=
4
72
= 5,6%
Embora as duas variáveis anteriores descritas apresentem
desvios próximos, o peso ao nascer traduz uma instabilidade
maior em relação ao seu valor médio, e portanto deve ser
considerado uma variável mais instável que a digestibilidade.
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Os valores do ��	podem variar de 0%	 a 100%	:
� 0%	 → se não houver variação nas observações
� 100%	 → quando se tratar de uma variável muito
instável.
�De modo geral os coeficientes de variação de respostas
animais oscilam de 20% a 30%, o que classifica essas
respostas comoMODERADAMENTE INSTÁVEL.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
Um lote de 300 suínos da raça Landrace, machos
com 6 meses de idade concluiu a fase de
terminação, em uma granja, o que os capacitaria ao
abate comercial.
� O menor peso observado entre eles foi 63kg e o
maior 117kg.
� Neste intervalo de variação, quão frequente
ocorriam os demais valores nele contidos?
A resposta a esta pergunta definirá o tipo de
distribuição de frequência da resposta “peso final”.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
Um lote de 300 suínos da raça Landrace,
machos com 6 meses de idade concluiu a
fase de terminação, em uma granja, o que
os capacitaria ao abate comercial. O menor
peso observado entre eles foi 63kg e o maior
117kg.
� Note que, a partir dos dados coletados
�							�� = 90	kg e � = 12	kg
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
As estatísticas de média e desvio padrão já
nos fornecem algumas informações:
� O valor mais provável de uma resposta
deste tipo é de 90kg com uma variação
média de 12kg.
� o intervalo 90 ± 12 (de 78 kg a 102 kg)
parece sugerir que os resultados
estariam ali contidos.
5. TIPOSDE DISTRIBUIÇÃO
Para conferir essas informações e posteriormente
formar as bases probabilísticas da inferência
estatística, o estudo de distribuição de frequência é
realizado sobre uma coleção de dados observados.
� Um estudo eficiente exige que haja mais de 100
observações e que as mesmas tenham sido
obtidas sob as mesmas condições;
�como foi o caso dos 300 animais Landrace com 6
meses de idade criados em uma mesma granja.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
O estudo consiste em representar graficamente os
valores observados de peso final e suas respectivas
frequências.
� Sendo uma v.a. contínua, o peso final não se repetirá
com um mesmo valor quando o número de
observações se referir a apenas uma amostra restrita,
ainda que 300.
� neste caso, será necessária a definição de classes de
peso final para que a frequência de observações
nelas contidas possa ser representada mais
adequadamente revelando o tipo de distribuição.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
O número de classes a ser definido dependerá do
tamanho da amostra disponível para o estudo.
� Um número reduzido de classes não discriminaria a
distribuição com detalhes.
� Assim como um número excessivo de classes iria
reduzir as frequências observadas em cada classe,
zerando-as ou reduzindo-as a apenas uma observação.
O número de classes �� é dado pela
fórmula de Yule, em função do número
de observações: �� = 2,5 ��
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
A caracterização de cada classe poderá ser feito após o cálculo do
intervalo de confiança da classe (��������).
�������� =
���	
��
�	
��	��	����	���
��	��	�������
�ú����	
��		
�	�	�����
sendo 
��������		���	
����	�	�������	��	������� = 
����	�á����	��	�������	− 
����	������	�������
� Assim:
�������� =
�	�
 − �	��
2,5 ��
� No caso dos pesos ao abate de suínos Landrace com 6 meses de
idade temos:
�������� =
117 − 63
2,5 300
�
=
54
11
= 4,909
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
O número de decimais considerado na escolha do IC
deverá ser sempre o mesmo contido nas observações.
� Considerando um intervalo de classes de 5 kg, e
havendo 11 classes, a amplitude do gráfico será
5 × 11 = 55 kg, quando na realidade foi 117 − 63 = 54
kg.
� Observe um excesso de 1kg, que poderá ser
partilhado entre os dois extremos da amostra, ou
seja:
�Valor inicial para peso ao abate no gráfico: 63 − 0,5 = 62,5 kg
�Valor final para peso ao abate no gráfico: 117 + 0,5 = 117,5 kg
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
A partir do valor inicial, por adição sucessiva do
intervalo, as 11 classes ficarão definidas como:
Classes de peso (kg) Frequência Observada
62,5 ⊣ 67,5 06
67,5⊣72,5 12
72,5⊣77,5 25
77,5⊣82,5 38
82,5⊣87,5 44
87,5⊣92,5 52
92,5⊣97,5 47
97,5⊣102,5 34
102,5⊣107,5 23
107,5⊣112,5 14
112,5 ⊣ 117,5 05
Maior 
contingente na 
classe central, 
com 
distribuição 
simétrica de 
frequência para 
as classes 
extremas. 
Se isto ocorrer no 
experimento, a 
distribuição será 
dita normal.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
Após o computo das frequências de cada classe (de deve somar
300), podemos apresentá-las no histograma abaixo. Este tipo
de distribuição é o mais observado em respostas biológicas.
Frequência observada segundo a classe de peso final 
de suínos ao abate.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
Para � infinitamente grande, o número de classes
aumentaria muito reduzindo o intervalo de classes até
que fosse um só valor.
� Neste caso o histograma seria apresentado pela manifestação de
uma linha contínua, definida como a função de distribuição normal,
proposta por Gauss:
�� =
1
� 2�
e
�
�����
�
���
onde �� é a ordenada vertical de um peso ��.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
Para a variável peso ao abate �� � 90	e		
 � 12	k� , se �
fosse infinito, a representação gráfica seria:
Distribuição de frequência da variável peso ao abate de suínos, com 
media 90kg, desvio padra 12kg e n infinito.
� Pela representação gráfica da distribuição normal
percebe-se que os 95% serão definidos por uma área,
estendida simétrica e lateralmente em torno da média.
5. TIPOS DE DISTRIBUIÇÃO
� Pela representação gráfica da distribuição normal
percebe-se que os 95% serão definidos por uma área,
estendida simétrica e lateralmente em torno da
média.
� Como a média ocupa o valor central, e a função é simétrica em torno
dela, haverá 47,5% de indivíduos considerados típicos, maiores que a
média e outros 47,5% menores que a média.
� Essa limitação de 95% das respostas possíveis é necessária para a
execução de futuros procedimentos de comparação de médias em
uma pesquisa, com um erro de apenas 5%.
EXERCÍCIO 1
Se fossem registradas a relação
peso/comprimento (em g/cm) de 168
peixes adultos, machos (Astyanax
bimaculatus lacustris), o menor valor
sendo 2,5 e o maior 5,3, como poderíamos
estudar o tipo de distribuição dessa
variável?
EXERCÍCIO 1
Solução. � = 168, ���� = 5,3	 e ���� = 2,5
� O número de classes �� é dado pela fórmula de Yule, em função do
número de observações é dado por �� = 2,5 �� , logo
�� = 2,5 168
�
= 9
� A caracterização de cada classe poderá ser feito após o cálculo do
intervalo de confiança da classe, dado por: �������	 =
����
���
�,
 �
� . Assim:
	������� =
5,3 − 2,5
9
=
2,8
9
= 0,311
� Se adotarmos o valor 0,31 algumas observações poderiam não estar
contidas no estudo.
� Se o intervalo de classe (�������� ) for aproximado para 0,32 a
amplitude total seria 9 × 0,32 = 2,88, obtendo assim um excesso de
0,08 sobre o real.
EXERCÍCIO 1
� Distribuindo esse excesso de forma igual nos dois
extremos da amostragem obtemos a seguinte tabela.
Classes de peso (kg) Frequência Observada
2,46 ⊣ 2,78
2,78 ⊣ 3,10
3,10 ⊣ 3,42
3,42 ⊣ 3,74
3,74 ⊣ 4,06
4,06 ⊣ 4,38
4,38	 ⊣ 4,70
4,70 ⊣ 5,02
5,02 ⊣ 5,34
Se tivermos um 
maior contingente 
na classe central, 
com distribuição 
simétrica de 
frequência para as 
classes extremas, a 
distribuição será 
dita normal.
EXERCÍCIO 2
O intervalo entre partos de vacas
leiteiras em uma fazenda apresentou um
valor médio de 840 dias e um desvio
padrão de 275 dias. Sendo uma variável
que depende de fator hormonal, entre
muitos outros, seu coeficiente de variação
deve ser elevado. Calcule-o.
EXERCÍCIO 2
Solução. 					�� = 840dias e s = 275 dias
O coeficiente de variação �� nada mais é que a avaliação da
instabilidade relativa.
�� =
�
��
	
Assim:
� =
275
840
= 0,327	
Dessa maneira, o coeficiente de variação é de 32,7 %, o que pode não parecer
muito elevado.
� Mas devemos considerar que no processo seletivo usualmente feito nos
rebanhos de leite, muitas vacas são descartadas por não retornarem ao cio em
tempo pré-estabelecido pelo manejo da fazenda.
EXERCÍCIO 3
Os dez valores a seguir correspondem
ao teor de colesterol sérico em cães machos
normais, medidos em mg/10ml.
a) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
b) Caracterize essa variável.
Teor de colesterol sérico em cães machos 
normais (mg/100 ml)
250 265 140 380 300 230 320 163 280 261
EXERCÍCIO 3
a) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
� Lembrando que a média de uma variável � é dada por
�� =
∑ ��
�
��	
	
onde 	 é o número de observações. Temos que:
�� =
250 + 265 + 140 + 380 + 300 + 230 + 320 + 163 + 280 + 261
10
�� =
2589
10
= 258,90	mg/100	ml
Logo, o valor médio da variável teor de colesterol sérico em
cães machos normais foi de 258,90 mg/ 100 ml
EXERCÍCIO 3
a) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
� Lembrando que o desvio padrão de uma variável � é dada por
� =
∑ 	�
��
���
−
∑ 	�
����
�
 − 1
Temos que:
����
�
���
= 250
�
+ 265
�
+ 140
�
+ 380
�
+ 300
�
+ 230
�
+ 320
�
+ 163
�
+ 280
�
+ 261
�
����
�
���
= 62.500 + 70.225 + 19.600 + 144.400 + 90.000 + 52.900 + 102.400 + 26.569 + 78.400 + 68.121 = 715.115
e
���
�
���
�
= 250 + 265 + 140 + 380 + 300 + 230 + 320 + 163 + 280 + 261 � = 2589 � = 6.702.921
Portanto:
� =
715.115 −
6.702.921
10
10 − 1
=
715.115,00 − 670.292,10
9
=
44.822,90
9
= 4.980,32 = 70,57mg/100	ml
Assim, o desvio padrão da variável teor de colesterol sérico em cães machos normais foi
de 70,57 mg/ 10 ml.
EXERCÍCIO 3
b) Caracterização da variável “teor de colesterol sérico em
cães machos normais”.
RESPONDA!!!
� O teor de colesterol sérico em cães machos normais é uma RESPOSTA:
� Quanto à categoria: é uma variável QUANTITATIVA ou QUALITATIVA ?
� Quanto à continuidade: é uma variável CONTÍNUA ou DESCONTÍNUA ?
� Quanto ao tipo de frequência, no universo amostral pleno: é uma variável com
distribuição NORMAL ou NÃO NORMAL?
� Quanto a instabilidade, ou seja, capacidade de variação dentro do universo
possível de resposta: é uma variável ESTÁVEL ou INSTÁVEL ?
EXERCÍCIO 3
b) Caracterização da variável “teor de colesterol sérico em
cães machos normais”.
RESPOSTA.
� O teor de colesterol sérico em cães machos normais é uma RESPOSTA:
� Quanto à categoria: é uma variável QUANTITATIVA
� Quanto à continuidade: é uma variável CONTÍNUA
� Quanto ao tipo de frequência, no universo amostral pleno: é uma variável com distribuição
NORMAL
� Quanto a instabilidade, ou seja, capacidade de variação dentro do universo possível de
resposta: é uma variável MODERADAMENTE INSTÁVEL – pois (CV entre 20 e 30%) .
�� =
�
��
=
70,57
258,9
= 0,273
Que equivale a um coeficiente de variação de 27,3%.
Logo essa variável é uma resposta QUANTITATIVA, CONTÍNUA, NORMAL e
MODERADAMENTE INSTÁVEL.
EXERCÍCIO 4
Os dez valores a seguir correspondem
também ao teor de colesterol sérico em cães normais,
desta vez em fêmeas, medidos em mg/10ml.
a) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
b) Caracterize essa variável.
c) Compare os valores do desvio padrão obtidos nos
exercícios 3 e neste exercício. Teoricamente eles
deveriam ser iguais? Explique.
Teor de colesterol sérico em cadelas normais 
(mg/100 ml)
255 290 254 170 150 280 386 308 237 147
EXERCÍCIO 4
a) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
� Lembrando que a média de uma variável � é dada por
�� =
∑ ��
�
��	
	
onde 	 é o número de observações. Temos que:
�� =
255 + 290 + 254 + 170 + 150 + 280 + 386 + 308 + 237 + 147
10
�� =
2477
10
= 247,70	mg/100	ml
Logo, o valor médio da variável teor de colesterol sérico em
cães machos normais foi de 247,70 mg/ 100 ml
EXERCÍCIO 4
a) Calcule a média e o desvio padrão amostral.
� Lembrando que o desvio padrão de uma variável � é dada por
� =
∑ 	�
��
���
−
∑ 	�
�
���
�
 − 1
Temos que:
����
�
���
= 255
�
+ 290
�
+ 254
�
+ 170
�
+ 150
�
+ 280
�
+ 386
�
+ 308
�
+ 237
�
+ 147
�
����
�
���
= 65.025 + 84.100 + 64.516 + 28.900 + 22.500 + 78.400 + 148.996 + 94.864 + 56.169 + 21.609 = 665.079
e
���
�
���
�
= 255 + 290 + 254 + 170 + 150 + 280 + 386 + 308 + 237 + 147 � = 2.477 � = 6.135.529
Portanto:
� =
665.079 −
6.135.529
10
10 − 1
=
665.079,00 − 613.552,10
9
=
51.526,10
9
= 5.725,12 = 75,66mg/100	ml
Assim, o desvio padrão da variável teor de colesterol sérico em cães machos normais foi
de 75,66 mg/ 100 ml.
EXERCÍCIO 4
b) Caracterização da variável “teor de colesterol sérico em
cadelas normais”.
RESPONDA!!!
� O teor de colesterol sérico em cadelas normais é uma RESPOSTA:
� Quanto à categoria: é uma variável QUANTITATIVA ou QUALITATIVA ?
� Quanto à continuidade: é uma variável CONTÍNUA ou DESCONTÍNUA ?
� Quanto ao tipo de frequência, no universo amostral pleno: é uma variável com
distribuição NORMAL ou NÃO NORMAL?
� Quanto a instabilidade, ou seja, capacidade de variação dentro do universo
possível de resposta: é uma variável ESTÁVEL ou INSTÁVEL ?
EXERCÍCIO 4
b) Caracterização da variável “teor de colesterol sérico
em cães machos normais”.
RESPOSTA.
� O teor de colesterol sérico em cadelas normais é uma RESPOSTA:
� Quanto à categoria: é uma variávelQUANTITATIVA
� Quanto à continuidade: é uma variável CONTÍNUA
� Quanto ao tipo de frequência, no universo amostral pleno: é uma variável com
distribuição NORMAL
� Quanto a instabilidade, ou seja, capacidade de variação dentro do universo possível de
resposta: é uma variável INSTÁVEL – pois (CV entre 20 e 30%) .
�� = ��� =
76,66
247,7
= 0,305
Que equivale a um coeficiente de variação de 30,5%.
Logo essa variável é uma resposta QUANTITATIVA, CONTÍNUA, NORMAL e
INSTÁVEL.
EXERCÍCIO 4
c) Compare os valores do desvio padrão obtidos nos exercícios
3 neste exercício. Teoricamente eles deveriam ser iguais?
Explique.
� Os dois valores deveriam ser iguais, pois a instabilidade é uma
característica inerente a variável e não ao grupo (sexos distintos).
� O grupo pode exercer efeito sobre o valor da media, mas não sobre
o desvio padrão.
� Neste caso os dois valores obtidos são próximos e a diferença ter sido
causada pela amostragem restrita.
� Se aumentássemos o número de animais por grupo, as medias
encontradas deveriam ser mantidas e os desvios iriam convergir para
valores cada vez mais próximos.