6 - Comparação de Grupos Experimentais

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EXPERIMENTAÇÃO ZOOTÉCNICA
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda@fcav.unesp.br
� Quando existirem mais de dois grupos
experimentais ou ainda quando o pareamento
não for possível, cada grupo será representado
pela resposta média de seus � animais.
Então, qual seria o procedimento para a 
comparação dessas médias, duas a duas?
� Se uma resposta obtida de � repetições apresentar média
�� e desvio padrão �, poderemos inferir dessas estatísticas
o seguinte:
� Qualquer observação individual deste tipo, em outro experimento,
provavelmente estará contida no intervalo:
�� ± �,�		� (intervalo de respostas típicas)
� Qualquer média para esse mesmo tratamento utilizado, ainda que
em outro ensaio, com o mesmo número de � observações, estará
no intervalo:
�� ± �
�
�
(intervalo de confiança da média)
onde � é o valor tabelado a 5% para � − 1 graus de liberdade,
neste caso.
� Podemos perceber que as instabilidades específicas são
sempre expressas em função de �, a variação estimada em
um só experimento.
� Ambos os intervalos apresentam formas análogas.
� Para estudarmos a variação individual utilizamos a instabilidade
individual �
�� ± �,��	
 (intervalo de respostas típicas)
� Para a variação de valores médios utilizamos o desvio padrão da
média.
�� ± �
�
�
(intervalo de confiança da média)
� Para estudarmos a capacidade de variação da diferença
entre duas médias, ��� − ��� , será necessário obter o desvio
padrão desta diferença e aplicá-lo na fórmula
��� − ��� ± � ∙ 
�����
�
�
� Como avaliar �
�����
�
�
?
� Existem duas maneiras.
1) Repetimos ensaios análogos testando os grupos experimentais � e 
.
� Cada ensaio fornecerá um valor de ��� − ��� .
� Se forem � ensaios, a média dessas diferenças ��� − ��� fornecerá o
valor mais provável dela, e o desvio padrão desses � valores será o
desvio padrão da diferença de médias, � �������
PROCEDIMENTO ESTE INVIÁVEL DEVIDO A REPETIÇÃO DE ENSAIOS
2) Fazemos apenas um experimento de � e 
, e inferimos a partir de
um único valor de ��� − ��� e da variação individual encontrada �.
� Se o valor zero estiver contido no intervalo de confiança
��� − ��� ± � ∙ �
�����
�
�
então não haverá diferença significativa entre os grupos � e �.
� Para estimarmos o desvio padrão de uma
diferença de médias ��� − ��� avaliaremos a
variância desta diferença, aqui denotada por
��� ��� − �
�
�
em termos do desvio padrão da resposta
estudada (variação individual �).
� Na experimentação, o resultado produzido por um
animal não depende das respostas obtidas pelos seus
companheiros de grupo (respostas independentes).
Assim:
�� �� − �� = 
�� �� + 
�� ��
Consequentemente:
�� ��� − ��� = 
�� ��� + 
�� ��� =
��
�
��
+
��
�
��
� O intervalo de confiança da diferença de duas
médias é portanto:
��	 − ��
 ± � ∙
�
	
�
�	
+
�
�
�
� O intervalo de confiança da diferença de duas médias é
portanto:
��	 − ��
 ± � ∙
��
�	
+
��
�
onde � será o valor tabelado a 5% com o mesmo número de
graus de liberdade utilizado para estimar ��.
� O valor de �� corresponde a variância do erro (ou resíduo)
obtido na análise de variância.
� A comparação da média de três tratamentos, duas a
duas, utilizaria o valor de:
�� =
∑ �	 − ��	
� + ∑ �
 − ��
� +∑ �� − ���
�
�	 − � + �
 − � + �� − �
Exemplo. Sem a utilização da análise de variância,
comparemos as médias de três grupos experimentais com 5
observações cada, como segue.
Grupos Observações
Grupo A 72 75 70 71 68
Grupo B 72 67 72 70 66
Grupo C 67 64 67 63 69
� a variância entre indivíduos do grupo � será:
��� =
∑��� − ∑��
�
	�
	� − 1 =
25.374 −
356 �
5
5 − 1
= 6,7
� a variância entre indivíduos do grupo 
 será:
��� =
∑��� − ∑��
�
	�
	� − 1 =
24.113 −
347 �
5
5 − 1
= 7,8
� a variância entre indivíduos do grupo � será:
��� =
∑��� − ∑��
�
	�
	� − 1 =
21.804 −
330 �
5
5 − 1
= 6,0
Grupos Observações Operações
Grupo A 72 75 70 71 68 ��� = 356 ���� = 25.374 �
� = 71,2
Grupo B 72 67 72 70 66 ��� = 347 ���� = 24.113 �
� = 69,4
Grupo C 67 64 67 63 69 ��� = 330 ���� = 21.804 �
� = 66,0
� a variância entre indivíduos do grupo � será: ��� = 6,7
� a variância entre indivíduos do grupo 
 será:	��� = 7,8
� a variância entre indivíduos do grupo � será: ��� = 6,0
� Note, entretanto, que:
� cada variância foi estimada com (� − 1 = 5 − 1) 4 graus de
liberdade;
� na realidade, as três variâncias calculadas deveriam expressar o
mesmo valor, já que definem a variância de uma mesma resposta
experimental.
� Neste caso, uma estimativa baseada em uma amostra com mais
observações, gerando um número mais elevado de graus de
liberdade, seria mais confiável.
� Assim,
�� =
25.374 −
356 �
5
+ 24.113 −
347 �
5
+ 21.804 −
330 �
5
5 − 1 + 5 − 1 + 5 − 1
	 =
	
�	
= �,��
� Agora uma estimativa calculada a partir
de 12 graus de liberdade.
� Comparando as três médias:
� Utilizando o intervalo de confiança da diferença ��� − ���
��� − ��� ± ���	
�	
��
�� +
��
�� = ��,� − ��,� 	± �,���
�,��
� +
�,��
� = �,�� ± �,��
� Ou seja, em 95% dos ensaios testando A e B, a diferença entre suas
médias variaria de -1,8 a 5,4 (intervalo este que inclui o zero)
� Logo, o grupo A apresenta uma média equivalente à do grupo B.
� Comparando as três médias – � com �:
� Utilizando o intervalo de confiança da diferença ��� − ���
��� − ��� ± ���	
�	
��
�� +
��
�� = ��,� − ��,� 	± �,���
�,��
� +
�,��
� = �,�� ± �,��
� Ou seja, em 95% dos ensaios testando � e �, a diferença entre suas
médias variaria de 1,6 a 8,8 (intervalo este que não inclui o zero)
� Logo, o grupo � apresenta uma média superior à do grupo �.
o Pelo teste �, a comparação de � com � se resume em:
��� =
�
� − �
�
��
	� +
��
	�
=
71,2 − 66,0
6,83
5
+
6,83
5
=
5,20
1,6529
= 3,1460
� Uma vez que ��� > ��	
��	
�(o valor de t tabelado a 5% e 12 gl é dado por
2,179) indica que o grupo � apresenta média superior ao grupo � ,
inclusive ao nível de 1% em que � = 3,055.
� Comparando as três médias – � com �:
• Pelo teste �, a comparação de � com � se resume em:
��� =
�	� − �	�
�
��
+
�
��
=
69,4 − 66,0
6,83
5
+
6,83
5
=
3,40
1,6529
= 2,0570
Uma vez que ��� < ��	
��	
�(o valor de t tabelado a 5% e 12 gl é dado por
2,179) indica que os grupos � e 
 são estatisticamente equivalentes.
� Utilizando o intervalo de confiança da diferença ��� − ���
��� − ��� ± ���	
�	
��
�� +
��
�� = ��,� − ��,� 	± �,���
�,��
� +
�,��
� = �,�� ± �,��
� Ou seja, em 95% dos ensaios testando � e �, a diferença entre suas
médias variaria de −0,2	a 7,0 (intervalo este que inclui o zero)
� Logo, o grupo � apresenta uma média equivalente à do grupo �.
Como apresentação final dessas comparações podemos listar os
tratamentos segundo os valores decrescentes de suas médias e utilizar
letras para distingui-los estatisticamente.
a,bMédias com letras iguais são equivalentes.
� Note que o intervalo de confiança da média de C não desfruta de
valores comuns aos do grupo A
� Mesmo que C seja equivalente a B e B seja equivalente a A, C se
distingue de A estatisticamente.
� Se a recomendação prática for baseada nas maiores respostas, os
grupos a serem indicados seriam A e B, indistintamente
� pois não haveria evidencia alguma em termos probabilísticos que pudesse
separá-los.
Grupos Médias 
A 71,2a
B 69,4ab
C 66,0b
A digestibilidade in vitro de duas forrageiras tropicais, obtidasem
locais diferentes dos respectivos pastos, foram, em percentual:
Compare as digestibilidades médias das duas forrageiras
Solução. Inicialmente, calculemos:
Capim Jaraguá 69,0 72,0 66,8 70,5 73,0 67,8 63,0
Brachiaria 78,0 75,2 77,0 73,9 74,0 72,0 76,3 68,5
Grupos Observações Operações
Capim
Jaraguá 
(�)
69,0 72,0 66,8 70,5 73,0 67,8 63,0 ∑�� = ∑��� = �
� =
Brachia
-ria (
) 78,0 75,2 77,0 73,9 74,0 72,0 76,3 68,5 ∑�� = ∑��
� = �
� =
Solução. Inicialmente, calculemos:
� a variância entre indivíduos do grupo � será 
�
� =
∑ ��
��
∑ ��
�
��
����
�
� =
∑ ��
��
∑ ��
�
��
����
=
��.���,���
���,� �
	
���
��.���,�����.���,��
�
= 11,57				 ⇒ 		 �� = �,�
a variância entre indivíduos do grupo � será 
�
� =
∑ �
��
∑ �
�
�
�
��
�
� =
∑ �
��
∑ �
�
�
�
��
=
��.���,���
���,� �
�
���
=
��.���,�����.���,��
�
= 9,28			 ⇒ �� = �,��
Grupos Observações Operações
Capim
Jaraguá 
(�)
69,0 72,0 66,8 70,5 73,0 67,8 63,0 ∑�� = 482,1 ∑��
� = 33.272,33	 ��� = 68,87
Brachia-
ria (�)
78,0 75,2 77,0 73,9 74,0 72,0 76,3 68,5 ∑�� = 594,9 ∑��
� = 44.303,19 ��� = 74,36
Solução. Inicialmente, calculemos:
� a variância entre as médias mais provável (13 graus de liberdade), é
dada por:
�� =
∑�
� −
∑�
�
�
+ ∑��
� −
∑��
�
��
�
 − 1 + �� − 1
�� =
��,�������,����
���
= 10,3348 ⇒ 	
 = �,����
Grupos Operações Média Desvio
Capim Jaraguá (�) ∑�� = 482,1 ∑��� = 33.272,33	 �
� = 68,87 �� = 3,4
Brachiaria (
) ∑�� = 594,9 ∑��� = 44.303,19 �
� = 74,36 �� = 3,05
� Comparando as duas médias – � com �:
� Utilizando o intervalo de confiança da diferença ��� − ���
dado por ��� − ��� ± ��
	
�	 �
�
��
+
��
��
obtemos:
��� − ��� ± ��
	
�	
��
�� +
��
�� = ��,�� − ��,�� 	± �,���
��,����
� +
��,����
�
= −�,�� ± �,��� �,���� + �,����
= −�,�� ± �,��� �,���� = −�,�� ± �,��
Ou seja, em 95% dos ensaios testando � e 
, a diferença entre suas
médias variaria de −9,08	a −1,90 (intervalo este que não inclui o
zero). Logo:
� as duas médias de digestibilidade in vitro são diferentes
estatisticamente, ao nível de 5%.
� o grupo � apresenta uma média inferior à do grupo 
.
� o capim Brachiaria apresenta maior digestibilidade in vitro que
o Jaraguá.
� Comparando as duas médias – � com �:
• Pelo teste �, a comparação de � com � se resume em:
��	����	
� =
�	� − �	�
�
��
+
�
��
=
68,87 − 74,36
10,3348
7
+
10,3348
8
=
−5,49
1,6638
= −3,2299
� Uma vez que ��	����	
� > ��	
��	
� (o valor de t tabelado a 5% e 13 gl é
dado por 2,160)
� As duas médias de digestibilidade in vitro são diferentes
estatisticamente, ao nível de 5%.
� O Capim Brachiaria apresenta maior digestibilidade in vitro que o
Jaraguá.
Se outras sete amostras de capim Jaraguá tivessem sido colhidas
naquele mesmo pasto e na mesma época, qual seria o valor da
digestibilidade in vitromédia dessas amostras?
Solução. A média de quaisquer sete amostras obtidas naquelas condições
estaria certamente no intervalo
��� ± �(�
� )		".#.	
$
�
(intervalo de confiança da média)
Assim, considerando 7 − 1 = 6 graus de liberdade a 5%, temos que ��	%.�. = 2,447
com �	� = 68,87 e 
� = 3,4 temos que:
��� ± �&	".#.
��
��
= ��,��± �,���
�,�
�
= ��,��± �,���
Portanto a média de quaisquer sete amostras obtidas naquelas condições
estaria certamente no intervalo 65,73 a 72,01; referente a amostra restrita
Grupos Média Desvio Operações
Capim Jaraguá (�) �
� = 68,87 �� = 3,4 ∑�� = 482,1 ∑��� = 33.272,33	
Se outras sete amostras de capim Jaraguá tivessem sido colhidas naquele
mesmo pasto e na mesma época, qual seria o valor da digestibilidade in vitro
média dessas amostras?
� Referente a avaliação conjunta de ambas as forrageiras, com 13 graus de
liberdade a 5%, o intervalo seria:
��� � � '	".#. ∙
�)
��
ou seja, 
��� � ���	�.	. ∙
�
��
� 68,87 � 2,160
3,21
7
� 68,87 � 2,160 1,47 � 68,87 � 2,62
Nesta segunda alternativa, o intervalo seria 66,25 a 71,49.
A digestibilidade in vitro de duas forrageiras tropicais, obtidas em
locais diferentes dos respectivos pastos, foram, em percentual:
Embora apenas oito amostras tenham sido colhidas, seria possível
diagnosticar entre que valores a digestibilidade in vitro da Brachiaria
se situaria para qualquer amostra ali colhida?
DICA: Note que se deseja a informação sobre valores individuais e não
médios.
Capim Jaraguá 69,0 72,0 66,8 70,5 73,0 67,8 63,0
Brachiaria 78,0 75,2 77,0 73,9 74,0 72,0 76,3 68,5
Embora apenas oito amostras tenham sido colhidas, seria possível
diagnosticar entre que valores a digestibilidade in vitro da Brachiaria se
situaria para qualquer amostra ali colhida? DICA: Note que se deseja a
informação sobre valores individuais e não médios.
� Referente a observação individual deste tipo, em outro experimento, qualquer
amostra provavelmente estará contida no intervalo:
��� ± �,��	� (intervalo de respostas típicas)
ou seja, 
��� ± �,��	� = ��,��± �,�� ∙ �,�� = ��,��± �,�
Assim, a 95% dos resultados obtidos estariam no intervalo de 68,07 a 80,65.
(���±�,��	�� = ��,��± �,��	 ∙ �,�� = ��,��± �,���	 ⇒ ��,��;��,��
Grupo Média Desvios
Brachiaria (
) �
� = 74,36 �� = 3,05 � = 3,21
A digestibilidade in vitro de duas forrageiras tropicais, obtidas em
locais diferentes dos respectivos pastos, foram, em percentual:
Observe os coeficientes de variação para a resposta estudada nas
duas forrageiras. Comente sobre seus valores.
Lembrando que �� =
�
��
temos que:
� ��� =
��
���
=
�,��
�	,	
= 0,049			 ⇒ 			��� = 4,9% (Capim Jaraguá)
� ��� =
��
���
=
�,��
�,��
= 0,041			 ⇒ 			��� = 4,1% (Brachiaria)
E, considerando que as respostas não foram obtidas em experimentação animal e sim
vegetal, onde os coeficientes de variação são geralmente menores (entre 10% e 20%), é
perfeitamente justificável um valor de coeficiente de variação inferior a 10%, reforçando
que se tratava de ensaio laboratorial, sob condições controladas (in vitro).
Capim Jaraguá 69,0 72,0 66,8 70,5 73,0 67,8 63,0
Brachiaria 78,0 75,2 77,0 73,9 74,0 72,0 76,3 68,5
A digestibilidade in vitro de duas forrageiras tropicais, obtidas em
locais diferentes dos respectivos pastos, foram, em percentual:
Qual a forrageira cuja média teremos mais confiança? Porque?
Solução. A forrageira que tiver sua média estimada no maior número
de repetições, no caso a Brachiaria, com n=8.
Capim Jaraguá 69,0 72,0 66,8 70,5 73,0 67,8 63,0
Brachiaria 78,0 75,2 77,0 73,9 74,0 72,0 76,3 68,5
Se houvesse mais uma forrageira sendo testada, com dez
repetições, uma diferença de duas das três médias seria significativa a
partir de qual valor de t?
Solução. Os graus de liberdade para o estudo dos três grupos seria:
�� − � + �� − � + �� − � = �− � + �− � + ��− � = ��
Portanto, o valor crítico na 
tabela t de Student para 22 g.l. 
é 2,074 (P<0,05)