2 Conceitos fundamentais

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 A estrutura molecular de um fluido 
demonstra uma matéria descontínua, isto é, 
constituída por moléculas e espaços vazios 
entre elas; 
 O estudo de um fluido a partir deste enfoque 
molecular é de difícil solução matemática. Por 
esta razão é conveniente tratar o fluido como um 
meio contínuo; 
 Na hipótese do contínuo, as propriedades do 
fluido são consideradas funções contínuas de 
tempo e espaço; 
 ρ=ρ(x, y, z, t); 
 O modelo de meio contínuo tem validade 
somente para um volume macroscópico no qual 
exista um número muito grande de partículas; 
 
 Propriedades dos fluidos: 
• Massa específica [kg/m³] 
 
 
 
• Volume específico [m³/kg] 
 
 
 
• Peso específico [N/m³] 
 
V
m

m
V

g 
• Densidade relativa (ou gravidade específica) COH
d
º42 



COH
SG
º42 



ou 
 Uma propriedade muito importante definida 
como campo é o campo de velocidade; 
 
 
 
 
 Em geral, cada um das componentes (u, v e 
w) será uma função de x, y e z; 
 Este campo indica a velocidade das partículas 
que passam no ponto (x, y, z) no instante t. 
 
),,,( tzyxVV

 kwjviuV ˆˆˆ 

Onde u, v e w são as componentes da 
velocidade nas direções x, y e z 
 Se as propriedades do fluido num ponto do 
campo não variar com o tempo, o 
escoamento é dito em regime permanente. 
Caso contrário, o escoamento é transiente; 
0


t

ou 
z)y,(x, 
0


t
V
 ou 
0


t
 ),,( zyxVV


η representa qualquer 
propriedade do fluido 
Regime 
permanente 
 Os escoamentos são classificados como uni, 
bi ou tridimensional de acordo com o número 
de coordenadas espaciais requeridas para se 
especificar o campo de velocidade. 














2
1
R
r
uu máx
Escoamento 
bidimensional 
Escoamento 
tridimensional 
 
 Linha de trajetória – é o caminho ou trajetória 
da partícula fluida em movimento. Para 
torná-la visível, pode-se usar um corante. 
 
 
),,( tyxu
dt
dx
partícula



),,( tyxv
dt
dy
partícula



)(txx p )(tyy p
 Linhas de Corrente LC – é uma linha 
imaginária num campo de escoamento onde 
a velocidade em qualquer ponto é obtida pela 
tangente a esta linha em cada ponto. 
 
 
),(
),(
__ yxu
yxv
dx
dy
correntedeLinha



 
 Tipos de forças que agem sobre as partículas 
fluidas: 
forças de superfície 
forças de campo 
forças normais 
forças tangenciais 
(atrito, pressão) 
(gravidade, eletromagnética) 
 Elemento de área, A, no ponto “C”, sofrendo 
a ação da força, F: 
Figura 1. Conceito de tensão num meio contínuo 
 
n
n
An
n
A
F




lim
0

n
t
An
t
A
F




lim
0

Tensão normal, n Tensão de cisalhamento, t 
 xx = lim (Fx/Ax) 
 Ax0 
 xy = lim (Fy/Ax) 
 Ax0 
 xz = lim (Fz/Ax) 
 Ax0 
Figura 2. (a) Componentes da força e 
(b) componentes da tensão. 
Figura 3. Notação das tensões 
x 
z 
σxx 
σyy 
 
σzz 
 
zx 
zy 
 
xz 
 
yz 
 
yx 
 xy 
 
x 
y 
 
z 
 
y 
 Para um fluido, as tensões de cisalhamento 
aparecem devido ao escoamento viscoso; 
 Sólidos são elásticos e fluidos são viscosos; 
 Considere a figura a seguir: 
 
 
 
 yx = lim (Fx/Ay) 
 Ay0 
 
 Ay é a área de contato do elemento fluido; 
 dt
d
t
deformaçãodetaxa t



  0lim__
y
u
t 




dy
du
dt
d


y
l
tg


 
t
l
u


 
e 
 A tensão de cisalhamento é proporcional à 
taxa de deformação; 
 
 
 
 
 Quais as dimensões de cada grandeza? 
 
dy
du
yx  
Lei de Newton da Viscosidade 
 É a medida da resistência interna ou fricção 
interna de uma substância ao fluxo quando 
submetida a uma tensão; 
 μ é a viscosidade absoluta (ou dinâmica) 
[M/L.t]; 
 Poise = 1 g/cm.s = 0,1 Pa.s; 
 cP=0,01 poise = 0,001 Pa.s; 
 ν é a viscosidade cinemática. ν= μ/ρ [L2/t]; 
 1stoke≡1cm2/s; 
 
 μ=f(T); 
 Gases: μ está relacionada 
com a transferência de 
impulso devido à 
agitação molecular; 
 Líquidos: μ relaciona-se 
com as forças de coesão 
entre as moléculas; 
  T  liq.   gás  
 
 
n
yx
dy
du
k 






k é o índice de consistência e n é o 
índice de comportamento do 
escoamento. 














dy
du
dy
du
dy
du
k
n
yx 
1
η é a viscosidade aparente 
do fluido. 
Sem tensão de 
cisalhamento 
inicial 
 Pseudoplásticos (n<1) - em repouso, apresentam 
suas moléculas em um estado desordenado. 
Quando submetidas a uma tensão de 
cisalhamento, suas moléculas tendem a se 
orientar na direção da força aplicada. Ex.:caldos 
de fermentação, melaço de cana, soluções 
poliméricas; 
 Dilatantes (n>1) - à medida que se aumenta à 
tensão de cisalhamento, o líquido intersticial que 
lubrifica a fricção entre as partículas é incapaz de 
preencher os espaços. Ex.:lama e amido de milho 
em água. 
 Plásticos de Bingham - este tipo de fluido apresenta 
uma relação linear entre a tensão de cisalhamento e a 
taxa de deformação, a partir do momento em que se 
atinge uma tensão de cisalhamento inicial. Ex.: Argila 
e pasta dental; 
 
 
 
 Herschel-Bulkley - também chamado de Bingham 
generalizado, este tipo de fluido necessita de uma 
tensão inicial para começar a escoar. Entretanto, a 
relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de 
deformação não é linear. 
 
dy
du
pyyx  
n
yx
dy
du






 00 
 Tixotrópicos - esta classe de fluidos tem sua 
viscosidade diminuída com o tempo de 
aplicação da tensão de cisalhamento, 
voltando a ficar mais viscosos com quando 
esta cessa. Ex.:emulsões e soluções 
protéicas. 
 Reopéticos - sua viscosidade aumenta com o 
tempo de aplicação da tensão, retornando à 
viscosidade inicial quando esta força cessa. 
Ex.:argila bentonita. 
 
 São fluidos que possuem características de 
líquidos viscosos com propriedades elásticas 
e de sólidos com propriedades viscosas, ou 
seja, possuem propriedades elásticas e 
viscosas acopladas. Ex.:massas de farinha de 
trigo, gelatinas, queijos; 
 Após a deformação, retornam parcialmente à 
sua forma original quando livres da tensão 
aplicada. 
[Petrobrás 2014] 
[...] Um fluido que apresenta a razão entre a 
tensão cisalhante e a taxa de deformação 
constante, cujo valor aumenta com o aumento 
da temperatura, sendo independente do 
tempo, é um(a) 
(A) fluido tixotrópico 
(B) suspensão dilatante 
(C) líquido newtoniano 
(D) gás newtoniano 
(E) mistura pseudoplástica 
 Na interface de um líquido e 
um gás ou entre dois 
líquidos imiscíveis se 
originam forças superficiais; 
 A superfície do líquido se 
comporta como uma 
membrana esticada sob 
tensão. A força de tração que 
origina tal tensão atua 
paralelamente à superfície 
devido à atração entre as 
moléculas. 
 A intensidade da força por unidade de 
comprimento é denominada tensão 
superficial σs (N/m); 
 Lâmina líquida suspensa numa armação de 
arame em forma de U; 
 Nesta figura, as duas superfícies 
estão expostas ao ar. O compri- 
mento em que a tração atua é 2b b
F
s
2

 O trabalho para aumentara área de superfície 
é: 
 A tensão superficial pode ser definida como 
o trabalho realizado por unidade de aumento 
da área da superfície do líquido; 
 Efeito da Temperatura: 
xbxFW s 2.
 Efeito de tensoativos: 
 
 Número de Reynolds: 
 
 
 
 
 Se Re é alto os efeitos viscosos são 
desprezíveis. Caso contrário, são dominantes; 
 

VL
Re
 Não existe fluido com viscosidade nula. 
Entretanto, há regiões (tipicamente regiões 
afastadas de superfícies sólidas) onde as 
forças viscosas são desprezivelmente 
pequenas comparadas às forças inerciais e de 
pressão; 
 
 Num fluido não viscoso o 
perfil de velocidade é 
uniforme; 
 Inserção de uma placa plana 
paralela à correnteza de 
velocidade uniforme de um 
fluido. 
 
 Reynolds conduziu experiências variando a 
velocidade do escoamento da água no tubo 
de vidro e observando o filete de corante. 
2300Re 
4000Re 
4000Re2300 
 Um escoamento laminar é aquele em que as 
partículas fluidas movem-se em camadas 
lisas, ou lâminas; 
 No turbulento, elas se misturam ao longo do 
escoamento devido a flutuações aleatórias no 
campo tridimensional de velocidades. 
 
 Segundo Reynolds, no escoamento laminar 
predominam as forças viscosas, enquanto no 
escoamento turbulento as forças de inércia 
sobrepõem-se às viscosas; 
 A presença de flutuações torna a análise dos 
escoamentos turbulentos muito difícil. Por 
causa disto, esta é feita com base em dados 
experimentais e teorias semiempíricas. 
 Incompressível: tem variações desprezíveis na 
massa específica; 
 Compressível: tem variações de massa específica 
consideráveis; 
 Os líquidos são usualmente considerados 
incompressíveis (a pressão de 210 atm sobre a 
água líquida causa mudança de 1% na densidade 
em relação a pressão de 1 atm). As mudanças de 
pressão e de massa especifica são relacionadas 
pelo modulo de compressibilidade, ou modulo de 
elasticidade: 
)/( d
dp
Ev 
 Os escoamentos de gases com transferência 
de calor desprezível podem ser considerados 
incompressíveis, desde que as velocidades do 
escoamento sejam pequenas, comparadas 
com a velocidade do som. 
 Número de Mach: 
 
 Para M < 0,3 incompressível 
 Escoamento subsônico M<1; 
 Escoamento supersônico M>1; 
 
c
V
M 
 Os escoamentos completamente envoltos por 
superfícies sólidas são chamados de 
escoamentos internos (dutos); 
 
 
 
 
 O escoamento interno de líquidos no qual o duto 
não fica completamente preenchido, existindo 
uma superfície livre submetida à pressão 
constante, é denominado escoamento em canal 
aberto (rios, canais de irrigação). 
 
 Aqueles em torno de corpos imersos num 
fluido não contido são denominados 
escoamentos externos. 
 
 
μ𝐻2𝑂 = 1,14𝑥10−3 N.s/m2 
 
μ (𝐻2𝑂 0º𝐶) = 1,76𝑥10−3 N.s/m2