Atividades Resolvida - Comporta de uma Usina

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01 Uma comporta plana, de espessura uniforme, suporta uma coluna de água,
conforme mostrado. Determine o peso mínimo da comporta necessário para mantê-la
fechada.
Encontrar: O peso mínimo para manter a comporta fechada.
Solução: Equações básicas.
FR =
∫
pdA
dp
dh
= ρg
∑
Mo = 0
ou, equação computacional
FR = pcA y
′ = yc +
Ixx
A · yc
Considerações:
• fluido estático (ρ é constante).
• patm do lado oposto da comporta, isto permite usar pressão líquido.
2
• comporta em equilíbrio.
Usando
∑
Mo = 0 no eixo y, obtemos
W ·
L
2
cos θ =
∫
ydF
como
dF = p dA e p = ρ g h = ρ g y sen θ
Como de ambos os lados atua a pressão atmosférica, então, po = patm, pode ser
cancelada. Assim,
W =
2
L cos θ
∫
y p dA =
2
L cos θ
∫
y ρ g y sen θ w dy
W =
2 ρ g w sen θ
L cos θ
∫ L
0
y2 dy =
2 ρ g w tg θ
L
∫ L
0
y2 dy =
2
3
ρ g w L2 tg θ
substituindo os dados numericos, obtemos o valor do peso (W)
W =
2
3
× 1000
kg
m3
× 9, 81
m
s2
× 2 m× (3 m)2 tg 30o
(
N · s2
kg ·m
)
W = 67.965, 67 N ≈ 68 kN
3
02 Uma represa deve ser construída através de um rio usando a seção transversal
mostrada. Suponha que a largura da represa seja w = 50 m. Para uma altura de água
H = 2, 5 m, calcule o módulo e a linha de ação da força vertical da água sobre a face da
represa. É possível que a força da água derrube essa represa? Sob quais circunstâncias?
Encontrar: (a) O módulo e a linha de ação da força vertical da água sobre a face da
represa. (b) É possível que a força da água derrube essa represa?
Solução: Equações básicas.
Fv =
∫
pdAy
dp
dh
= ρg x′Fv =
∫
x dFv
∑
Mo = 0
ou, equação computacional
FH = pcA h
′ = hc +
Ixˆxˆ
A · hc
Considerações:
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• fluido estático (ρ é constante).
• patm do lado oposto da comporta, isto permite usar pressão líquido.
• comporta em equilíbrio.
Como de ambos os lados atua a pressão atmosférica, então, po = patm, pode ser cancelada.
Então, integrando a equação
dp
dh
= ρg
obtemos
p = ρ g h
Fv =
∫
p dAy =
∫ xB
xA
ρ g h w dx = ρ g w
∫ xB
xA
(H − y) dx
como
y(x− A) = B assim y = B
x−A
Fv = ρ g w
∫ xB
xA
(
H −
B
x−A
)
dx = ρ g w [Hx − B ln(x− A)]
∣∣∣∣∣
xB
xA
Fv = ρ g w
[
H(xB − xA)− B ln
(
xB −A
xA −A
)]
Substituindo os valores numericos, obtemos
Fv = 1000
kg
m3
×9, 81
m
s2
×50 m
[
2, 5 m(2, 2− 0, 7)m− 0, 9 m2 ln
(
2, 2− 04
0, 7− 0, 4
)](
N · s2
kg ·m
)
Fv = 1.049.670 N ≈ 1, 05× 10
6 N
Calculando x′
x′Fv =
∫
xdFv =
∫ xB
xA
x ρ g w
(
H −
B
x− A
)
dx = ρ g w
∫ xB
xA
(
H x−
B x
x− A
)
dx
5
x′Fv = ρ g w
[
H
x2
2
− B x− B A ln(x− A)
] ∣∣∣∣∣
xB
xA
x′Fv = ρ g w
[
H
2
(x2B − x
2
A)−B(xB − xA)−B A ln
(
xB − A
xA − A
)]
Substituindo os valores numericos, obtemos
x′Fv = 1000
kg
m3
× 9, 81
m
s2
× 50 m[
2, 5
2
m(2, 22 − 0, 72) m2 − 0, 9 m2(2, 2− 0, 7)m− 0, 9 m2 × 0, 4 m ln
(
2, 2− 0, 4
0, 7− 0, 4
)]
(
N · s2
kg ·m
)
x′Fv = 490500
kg
m.s2
(5, 44− 1, 35− 0, 65)m3
(
N · s2
kg ·m
)
x′Fv = 1.687.320 N.m
x′ =
1.687.320 N.m
1.049.670 N
= 1, 61 m
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03 Uma comporta de vertedouro, com a forma de um arco circular, tem w met-
ros de largura. Determine o módulo e a linha de ação da componente vertical da força
proveniente da ação de todos os fluidos sobre a comporta.
Encontrar: (a) O módulo e a direção da ação da componente da força vertical devido
ação de todos fluidos sobre a comporta. (b) A linha da ação da componente vertical da
força.
Solução: Equações básicas.
FR = −
∫
pdA
dp
dy
= ρg x′FR =
∫
x dF
Considerações:
• fluido estático (ρ é constante).
• patm do lado oposto da comporta, isto permite usar pressão líquido.
• y é medido positivo para baixo da superfície livre do fluido.
~FRy = ~Fr jˆ =
∫
d~F · jˆ = −
∫
p d ~Ajˆ = −
∫
p dA sen θ = −
∫ pi/2
0
p sen θ w R dθ
Podemos obter as expressões de p em função de y
dp
dy
= ρg dp = ρ g dy e p− po =
∫ p
po
dp =
∫ y
0
ρ g dy = ρ g y
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Como a pressão atmosférica age em ambos os lados da comporta, então a pressão
atmosférica se cancela, assim, a expressão para p é p = ρ g y em toda superfície da
comporta.
Como y = R sen θ portanto, p = ρ g R sen θ. Assim
~FRy = −
∫ pi/2
0
p sen θ w R dθ = −ρ g w R2
∫ pi/2
0
sen2 θ dθ
~FRy = −ρ g w R
2
[
θ
2
−
sen 2θ
4
] ∣∣∣∣∣
pi/2
0
= −
ρ g w R2 π
4
Para qualquer elemento de área superficial, d ~A, a força d~F age normal à superfície.
Portanto, cada elemento d~F tem uma linha de ação que passa pela origem. Consequente-
mente, a linha de ação de ~FR pode também ser através da origem.
Podemos encontrar a linha de ação de FRy sabendo que o momento de FRy entorno
do eixo que passa pela origem deve ser igual à soma dos momentos de d~F em torno do
próprio eixo.
x′FRy =
∫
xdFy =
∫
x(−p dA sen θ) = −
∫
x p sen θ dA
x′FRy = −
∫ pi/2
0
ρ g R cos θ R sen θ w R sen θ dθ = −ρ g w R3
∫ pi/2
0
cos θ sen2 θ dθ
x′ = −
ρ g w R3
FRy
∫ pi/2
0
cos θ sen2 θ dθ
x′ = −
ρ g w R3
−
ρ g w R2 π
4
[
1
3
sen3 θ
] ∣∣∣∣∣
pi/2
0
=
4 R
3 π
8
04 Uma comporta Tainter, usada para controlar a vazão de água na represa de
Uniontown, no rio Ohio, é mostrada na figura; sua largura é w = 35 m. Determine o
módulo, o sentido e a direção da linha de ação da força da água sobre a comporta.
Encontrar: Força da água atuando na comporta.
Solução: Equações básicas.
dF = p dA
dp
dh
= ρg
Considerações:
• fluido estático (ρ é constante).
• patm do lado oposto da comporta, isto permite usar pressão líquido.
• y é medido positivo para baixo da superfície livre do fluido.
Para densidade constante, temos
∫
dp =
∫
ρ g dh p− patm = ρ g h = ρ g R sen θ
dFH = dF cos θ = p dA cos θ = ρ g R sen θ w R dθ cos θ
onde dA = w R dθ, então
FH =
∫
dFH =
∫ θ1
0
ρ g w R2 sen θ cos θ dθ
9
onde
θ1 = sen
−
10
20
= 30o
Assim
FH =
∫
dFH = ρ g w R
2
∫
30o
0
sen θ cos θ dθ = ρ g w R2
[
sen2θ
2
] ∣∣∣∣∣
30
o
0
=
ρ g w R2
8
Substituindo os valores numericos, obtemos
FH =
1
8
(
1000
kg
m3
)(
9, 81
m
s2
)
(35 m)(20 m)2
(
N · s2
kg ·m
)
= 17167500 N = 1, 72×107 N
Calculando dFv
dFv = dF senθ = pdA senθ = ρ g R senθ w R senθ dθ
Fv =
∫
dFv = ρ g w R
2
∫
30
o
0
sen2 θ dθ = ρ g w R2
[
θ
2
−
sen2θ
4
] ∣∣∣∣∣
pi/6
0
Fv = ρ g w R
2
[
π
12
−
0, 866
4
]
= 0, 0453 ρ g w R2
Substituindo os valores numericos, obtemos
Fv = 0, 0453 ρ g w R
2 = (0, 0453)
(
1000
kg
m3
)(
9, 81
m
s2
)
(35 m)(20 m)2
(
N · s2
kg ·m
)
Fv = 6, 22× 10
6 N
Como a superfície da comporta em contato com a água é um arco circular, todos os
elementos da força (dF ), então na linha de ação da força resultante que passa através
10
deste ponto, conforme mostra a figura abaixo.
Então
FR =
[
F 2H + F
2
v
]1/2
=
[(
1, 72× 107 N
)2
+
(
6, 22× 106 N
)2]1/2
= 1, 83× 107 N
O ângulo α pode calculado da seguinte forma
α = tg−1
Fv
FR
= tg−1
6, 22
17, 2
= 19, 9o ≈ 20o
A força resultante (FR) passa através do ponto do arctgα na direção horizontal.