Aula 05 CSO, Função Ut. Indireta, Curva de Demanda

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MICROECONOMIA 1
Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia
Notas de Aula 5 - Graduac¸a˜o
Prof. Jose´ Guilherme de Lara Resende
1 Condic¸o˜es de Segunda Ordem
Se as prefereˆncias sa˜o estritamente convexas, vimos que a func¸a˜o de utilidade e´ estritamente
quasecoˆncava. A propriedade de prefereˆncias estritamente convexas garante que as condic¸o˜es de
segunda ordem (CSO) sejam satisfeitas. Se as prefereˆncias sa˜o bem-comportadas, e´ fa´cil ver grafi-
camente, para o caso de dois bens, que a soluc¸a˜o do problema do consumidor encontrada resolvendo-se
as CPO sera´ u´nica e de fato um ma´ximo.
6
-
x2
x1
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Soluc¸a˜o do
Problema do Consumidor
sE
Algebricamente, as CSO sa˜o obtidas do Hessiano orlado (ou Hessiano com borda) da func¸a˜o de
Lagrange, formado pelas derivadas de segunda-ordem do Lagrangeano. O Lagrangeano do problema
de maximizac¸a˜o de utilidade sujeita a` restric¸a˜o orc¸amenta´ria, para o caso de dois bens, e´:
L = u(x1, x2) + λ (m− p1x1 − p2x2)
O Hessiano orlado e´:
HO =

∂2L
∂λ2
∂2L
∂λ∂x1
∂2L
∂λ∂x2
∂2L
∂x1∂λ
∂2L
∂x21
∂2L
∂x1∂x2
∂2L
∂x2∂λ
∂2L
∂x2∂x1
∂2L
∂x22
 =

0 −p1 −p2
−p1 −u11 u12
−p2 −u21 u22
 ,
onde usamos a seguinte notac¸a˜o:
∂2u
∂x21
= u11,
∂2u
∂x1∂x2
= u12,
∂2u
∂x22
= u22
1
Para o caso de dois bens, as CSO sa˜o satisfeitas se o determinante do Hessiano orlado, calculado na
cesta candidata a o´timo, for positivo (no caso de mais de dois bens, veja a observac¸a˜o abaixo). Nesse
caso, pode-se garantir que as demandas encontradas usando as CPO sa˜o de fato um ma´ximo para o
problema do consumidor1.
Vamos calcular o determinante do Hessiano orlado acima. Primeiro observe que as CPO podem ser
escritas como p1 = u1/λ e p2 = u2/λ, onde ui = ∂u/∂xi, i = 1, 2. Substituindo todas essas expresso˜es
no Hessiano orlado, obtemos:
det

0 −u1/λ −u2/λ
−u1/λ u11 u12
−u2/λ u21 u22
 = 1λ2 (2u1u2u21 − u22u11 − u21u22) ,
onde as func¸o˜es acima sa˜o calculadas na cesta candidata a o´timo, (x∗1, x
∗
2). A CSO e´ satisfeita se o
determinante do Hessiano orlado for maior do que zero. Como λ2 e´ sempre maior do que zero, podemos
simplificar essa condic¸a˜o para:
2u1u2u21 − u22u11 − u21u22 > 0 (1)
Essa u´ltima desigualdade garante que as CSO do problema sa˜o satisfeitas e, consequentemente, que
as demandas encontradas resolvendo as CPO da˜o o ma´ximo de utilidade ao consumidor em questa˜o.
Exemplo: Utilidade Cobb-Douglas: u(x1, x2) = x
α
1x
β
2 . E´ fa´cil verificar que, no caso da utilidade
Cobb-Douglas, o termo 2u1u2u21 − u22u11 − u21u22 e´ igual a:
2α2β2x3α−21 x
3β−2
2 − β2α(α− 1)x3α−21 x3β−22 − α2β(β − 1)x3α−21 x3β−22 ,
onde x1 e x2 sa˜o as demandas o´timas dos bens. Como x
3α−2
1 x
3β−2
2 > 0, podemos dividir a expressa˜o
acima por x3α−21 x
3β−2
2 , que o seu sinal na˜o ira´ se modificar. Nesse caso, obtemos:
2α2β2 − β2α(α− 1)− α2β(β − 1), (2)
uma expressa˜o que depende apenas dos paraˆmetros α e β da utilidade Cobb-Douglas. Se α e β sa˜o
positivos, enta˜o temos que a expressa˜o (2) acima sera´ positiva. Portanto, se α > 0 e β > 0, as CSO
para a maximizac¸a˜o da func¸a˜o de utilidade Cobb-Douglas sa˜o satisfeitas e as demandas encontradas
usando as CPO sa˜o de fato a soluc¸a˜o do problema do consumidor (maximizam a sua utilidade sujeita
a` restric¸a˜o orc¸amenta´ria).
Observac¸a˜o: No caso geral de n bens, os determinantes dos menores principais do Hessiano orlado
devem alternar sinais. Por exemplo, no caso de quatro bens devemos ter que:
det

0 −p1 −p2
−p1 ∂2L∂x21
∂2L
∂x1∂x2
−p2 ∂2L∂x2∂x1 ∂
2L
∂x22
 > 0
1na verdade, garante-se apenas que e´ um ma´ximo local. Se a func¸a˜o de utilidade e´ quasecoˆncava, pode-se mostrar
que (x∗1, x
∗
2) sera´ um ma´ximo global.
2
det

0 −p1 −p2 −p3
−p1 ∂2L∂x21
∂2L
∂x1∂x2
∂2L
∂x1∂x3
−p2 ∂2L∂x2∂x1 ∂
2L
∂x22
∂2L
∂x2∂x3
−p3 ∂2L∂x3∂x1 ∂
2L
∂x3∂x2
∂2L
∂x23
 < 0
det

0 −p1 −p2 −p3 −p4
−p1 ∂2L∂x21
∂2L
∂x1∂x2
∂2L
∂x1∂x3
∂2L
∂x1∂x4
−p2 ∂2L∂x2∂x1 ∂
2L
∂x22
∂2L
∂x2∂x3
∂2L
∂x2∂x4
−p3 ∂2L∂x3∂x1 ∂
2L
∂x3∂x2
∂2L
∂x23
∂2L
∂x3∂x4
−p4 ∂2L∂x4∂x1 ∂
2L
∂x4∂x2
∂2L
∂x4∂x3
∂2L
∂x24

> 0
O caso de n bens segue o mesmo padra˜o de alternaˆncia do sinal dos determinantes dos menores
principais do Hessiano orlado.
2 Func¸a˜o de Utilidade Indireta
Se a soluc¸a˜o do problema do consumidor e´ u´nica para cada conjunto de prec¸os e renda, enta˜o
podemos definir a func¸a˜o de utilidade indireta como:
v(p,m) = u
(
xM1 (p,m), x
M
2 (p,m), . . . , x
M
n (p,m)
)
A func¸a˜o de utilidade indireta e´ func¸a˜o dos prec¸os e da renda do consumidor. Como v(p,m)
incorpora na func¸a˜o de utilidade original as quantidades o´timas demandadas dos bens, v(p,m) diz
qual o ma´ximo de utilidade alcanc¸a´vel aos prec¸os p e renda m.
A utilidade indireta, vista de modo isolado, na˜o tem conteu´do econoˆmico para a teoria do consum-
idor, pois a func¸a˜o de utilidade utilizada para representar as prefereˆncias de um indiv´ıduo na˜o e´ u´nica.
Pore´m, a func¸a˜o de utilidade indireta pode ser usada para inferir o que ocorreu com o bem-estar do
indiv´ıduo apo´s uma mudanc¸a no ambiente econoˆmico (mudanc¸a nos prec¸os e ou na renda).
Por exemplo, suponha que os prec¸os dos bens mudaram de p0 para p1, sendo que a renda per-
maneceu inalterada. Se v(p0,m) > v(p1,m), enta˜o o indiv´ıduo estava melhor quando os prec¸os eram
p0. Mais a` frente, usaremos a func¸a˜o de utilidade indireta para derivarmos duas medidas importantes
do bem-estar do consumidor, a variac¸a˜o compensadora e a variac¸a˜o equivalente.
Vamos agora ver as propriedades que a func¸a˜o de utilidade indireta satisfaz. Por exemplo, para
determinadas mudanc¸as do ambiente econoˆmico, e´ poss´ıvel dizer, sem ambiguidades, se o bem-estar
do indiv´ıduo aumentou ou diminuiu.
3
2.1 Propriedades
Vamos agora juntar as propriedades sobre a demanda dos bens obtidas na aula de restric¸a˜o
orc¸amenta´ria com outras propriedades derivadas usando o problema do consumidor e com as pro-
priedades da func¸a˜o de utilidade indireta.
1) As func¸o˜es de demanda e a func¸a˜o de utilidade indireta sa˜o homogeˆneas de grau 0 nos prec¸os e na
renda:
xi(tp, tm) = xi(p,m), ∀t > 0, ∀i = 1, . . . , n
v(tp, tm) = v(p,m), ∀t > 0
Lembre-se que se aumentarmos todos os prec¸os e a renda pelo mesmo fator, nada muda na restric¸a˜o
orc¸amenta´ria. Portanto, o problema do consumidor permanece inalterado e as func¸o˜es de demanda e
o bem-estar do consumidor permanecem inalterados.
2) A func¸a˜o de utilidade indireta e´ decrescente nos prec¸os e estritamente crescente na renda:
Se p′ ≥ p, enta˜o v(p′,m) ≤ v(p,m)
Se m′ > m, enta˜o v(p,m) < v(p,m′)
Essa propriedade e´ natural: se os prec¸os aumentam, o bem-estar do consumidor vai cair ou permanecer
o mesmo. Se a renda aumenta, o bem-estar do consumidor necessariamente aumenta (supondo que as
prefereˆncias sa˜o mono´tonas: mais e´ sempre melhor).
3) O multiplicador de Lagrange mede a utilidade marginal da renda:
λ(p,m) =
∂v(p,m)
∂m
> 0
Portanto, λ mede o aumento na utilidade ma´xima alcanc¸a´vel causado pelo aumento de 1 Real na
renda (o n´ıvel da restric¸a˜o orc¸amenta´ria). Vamos provar essa afirmac¸a˜o para o caso de dois bens (o
caso geral e´ uma generalizac¸a˜o simples desse caso). Primeiro derivamos a func¸a˜o de utilidade indireta
com relac¸a˜o a` renda:
∂v
∂m
=
∂u
∂xM1
∂xM1
∂m
+
∂u
∂xM2
∂xM2
∂m
Vimos que as CPO podem ser escritas como ∂u
∂xM1
= λp1,
∂u
∂xM2
= λp2 e, portanto,
∂v
∂m
= λ
(
p1
∂xM1
∂m
+ p2
∂xM2
∂m
)
A agregac¸a˜ode Engel, obtida ao derivarmos a reta orc¸amenta´ria, calculada na cesta o´tima, com
relac¸a˜o a` renda, diz que:
p1
∂xM1
∂m
+ p2
∂xM2
∂m
= 1
4
Juntando essas duas u´ltimas equac¸o˜es, obtemos o resultado desejado:
λ =
∂v
∂m
.
4) Identidade de Roy. A identidade de Roy conecta a demanda Marshalliana com a func¸a˜o de utilidade
indireta:
xi(p,m) = −∂v(p,m)/∂pi
∂v(p,m)/∂m
vamos tambe´m demonstrar a validade da identidade de Roy. Primeiro derivamos a func¸a˜o de
utilidade indireta com respeito ao prec¸o pi:
∂v
∂pi
=
n∑
j=1
∂u
∂xj
∂xj
∂pi
= λ
n∑
j=1
pj
∂xj
∂pi
, (3)
onde a u´ltima igualdade resulta das CPO. A agregac¸a˜o de Cournot, obtida ao derivarmos a reta
orc¸amenta´ria, calculada na cesta o´tima, com relac¸a˜o ao prec¸o de um dos bens, nesse caso, pi, diz que:
xi(p,m) +
n∑
j=1
pj
∂xj(p,m)
∂pi
= 0 ⇒ xi(p,m) = −
n∑
j=1
pj
∂xj(p,m)
∂pi
(4)
Substituindo a expressa˜o achada para xi em (4) na equac¸a˜o (3), obtemos:
∂v(p,m)
∂pi
= −λxi(p,m) ⇒ xi(p,m) = −∂v(p,m)/∂pi
λ
= −∂v(p,m)/∂pi
∂v(p,m)/∂m
,
onde usamos a propriedade 3) acima (λ = ∂v/∂m) para obtermos a igualdade de Roy.
3 Curva de Demanda
A figura abaixo mostra a curva de demanda para um bem qualquer. As curvas de demanda sa˜o
(quase sempre) negativamente inclinadas: se o prec¸o do bem aumenta, compramos menos desse bem.
Essa propriedade e´ chamada lei da demanda.
Lei da Demanda: Para qualquer bem ou servic¸o, a lei da demanda afirma que se consome mais
quando o prec¸o diminui (ou que se consome menos quando o prec¸o aumenta), mantendo todo o resto
constante (condic¸a˜o de ceteris paribus).
Um bem que satisfaz a lei da demanda e´ chamado bem comum, pois essa relac¸a˜o inversa entre
prec¸o e demanda do bem e´ o usual de ocorrer na pra´tica. Um bem para o qual o consumo aumenta
(ou diminui) quando o prec¸o aumenta (ou diminui) e´ chamado bem de Giffen. Apesar desse tipo de
bem ser uma possibilidade teo´rica, os raros exemplos encontrados de bens de Giffen sa˜o controversos.
A condic¸a˜o “mantendo todo o resto constante” e´ fundamental. Muitos exemplos de supostos bens
de Giffen na verdade sa˜o exemplos onde alguma outra varia´vel ale´m do prec¸o tambe´m mudou. Para
5
ilustrar, suponha que o prec¸o do vinho Ivre e´ R$ 120. A vin´ıcola que produz esse vinho comprou
mais terras ano passado e teve uma excelente safra de uvas. Ela resolve enta˜o baixar o prec¸o do vinho
para R$ 40. Pore´m, a vin´ıcola descobre que a quantidade vendida de vinho caiu apo´s o prec¸o baixar.
Isso e´ uma violac¸a˜o da lei da demanda? Pode ser que na˜o. Se grande parte dos consumidores do
vinho Ivre o compram por que acham que o vinho e´ de boa qualidade devido ao seu prec¸o elevado,
esses consumidores deixara˜o de comprar o vinho se o prec¸o cair muito, inferindo que a qualidade do
vinho caiu. Nem todo o “resto” enta˜o permaneceu constante: a qualidade do vinho percebida pelos
compradores mudou. Outras pessoas podiam tambe´m comprar o vinho apenas pelo status de ter ou
poder dar de presente um vinho caro. Se o prec¸o cai muito, esse status tambe´m se modifica (outra
varia´vel diferente do prec¸o que tambe´m mudou). Portanto, esse caso na˜o constituiria uma violac¸a˜o da
lei da demanda.
Existem duas formas de se interpretar a curva de demanda:
1. Voceˆ me diz o prec¸o, eu digo a quantidade que quero. Essa e´ a forma comum de ver a func¸a˜o
demanda. Para cada prec¸o, sabemos qual sera´ a quantidade demandada pelo consumidor.
2. Voceˆ me diz a quantidade, eu digo o valor marginal de mais uma unidade. Para qualquer
quantidade do bem medida ao longo do eixo vertical, a distaˆncia desse eixo ate´ a curva diz o
valor marginal do u´ltimo bem consumido. O fato de a demanda ser negativamente inclinada
e´ interpretado como o valor marginal (a propensa˜o marginal a pagar, a vontade de pagar -
“willingness to pay”) de um bem ser decrescente com a quantidade consumida. Portanto, dizer
que a demanda e´ negativamente inclinada ou que o valor marginal de um bem e´ decrescente e´ a
mesma coisa.
A func¸a˜o de demanda inversa p(q) mede essa relac¸a˜o do valor marginal com a quantidade
consumida: quanto o consumidor esta´ disposto a pagar pela u´ltima unidade q consumida. Sempre que
a func¸a˜o de demanda for negativamente inclinada, podemos determinar a func¸a˜o de demanda inversa
desse consumidor. A func¸a˜o de demanda inversa e´ muito usada em economia. Por exemplo, quando
estudamos o problema de decisa˜o de produc¸a˜o de um monopolista, consideramos que o monopolista
sabe que pode afetar os prec¸os escolhendo o seu n´ıvel de produc¸a˜o. Ou seja, ele sabe que o prec¸o
depende da quantidade produzida, e que essa relac¸a˜o e´ descrita pela func¸a˜o de demanda inversa.
6
-
q
p
Curva de Demanda@
@
@
@
@
@
@
@
@@
6
-
p
q
Curva de Demanda Inversa@
@
@
@
@
@
@
@
@@
6
Quando estudamos o que ocorre com a quantidade demandada quando o prec¸o do bem varia, todo
o resto constante, estamos estudando uma mudanc¸a ao longo da curva de demanda, como ilustra o
gra´fico a` esquerda na figura abaixo.
Pore´m, a quantidade de um bem a ser demandada na˜o e´ so´ func¸a˜o do seu prec¸o, mas tambe´m
de uma se´rie de outros fatores, como os prec¸os de outros bens e a renda, expressos explicitamente
na func¸a˜o de demanda e de fatores impl´ıcitos, como o tamanho da populac¸a˜o, a renda per capita, os
gostos, a expectativa sobre prec¸os futuros, o clima, etc. Enquanto todos esses outros determinantes
da demanda na˜o se alterarem, uma mudanc¸a no prec¸o do produto ira´ acarretar uma mudanc¸a na
quantidade demandada. Ou seja, um movimento ao longo da curva, como mostra o gra´fico a` esquerda
na figura abaixo.
Entretanto, se algum dos outros determinantes da demanda mudar, o resultado sera´ um desloca-
mento de toda a curva de demanda, que pode gerar tanto um aumento como uma queda da quantidade
demandada para cada n´ıvel de prec¸o, dependendo da direc¸a˜o do deslocamento. A figura abaixo ilustra
essa situac¸a˜o.
6
-
p
q
Mudanc¸a de prec¸o
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
@
@
@
@R
@
@
@
@I
6
-
p
q
Mudanc¸a de outra varia´vel
(diferente do prec¸o)@@
@
@
@
@
@
@
@@
���
��	
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
Por exemplo, a demanda de sorvete depende do clima. Quando faz muito calor, a curva de demanda
se desloca para fora: mais sorvetes sa˜o consumidos a cada n´ıvel de prec¸o. Se faz muito frio, a demanda
se desloca para dentro: menos sorvetes sa˜o consumidos a cada n´ıvel de prec¸o. Se a demanda por
sorvetes de um consumidor aumenta quando ele tem mais renda, enta˜o um aumento da renda desloca
a sua curva de demanda para fora.
A curva de prec¸o-consumo apresenta, de modo diferente, a mesma informac¸a˜o sobre o bem anal-
isado do que uma curva de demanda. Pore´m, a curva de prec¸o-consumo apresenta tambe´m informac¸a˜o
sobre a variac¸a˜o do outro bem com relac¸a˜o a mudanc¸as no prec¸o do bem analisado.
O gra´fico de uma curva de prec¸o-consumo tem como eixos as quantidades dos bens consumidos.
A curva de prec¸o-consumo de um bem e´ obtida deixando-se o prec¸o desse bem variar, mantendo os
outros prec¸os e a renda fixos. A figura abaixo ilustra uma poss´ıvel curva de prec¸o-consumo para o
bem 1.
7
6
-
x2
x1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AA
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
Curva de prec¸o-consumo do bem 1sss
4 Func¸a˜o de Utilidade Quaselinear
Uma classe de utilidades muito usadas em economia sa˜o as utilidades quaselineares. Essa utilidade,
para o caso de dois bens, tem a seguinte forma:
u(x1, x2) = g(x1) + xn,
ou seja, a utilidade e´ linear em um dos bens apenas. Essa utilidade gera demandas com caracter´ısticasimportantes, como veremos a seguir. O problema do consumidor nesse caso e´ dado por:
max
x1,x2
g(x1) + x2 s.a p1x1 + p2x2 = m
Vamos resolver esse problema usando um truque. Reescrevendo a reta orc¸amenta´ria em func¸a˜o
do bem 2, obtemos que x2 = m/p2 − (p1/p2)x1. Substituindo esse valor de x2 na func¸a˜o utilidade,
obtemos:
max
x1
g(x1) +m/p2 − (p1/p2)x1,
um problema sem restric¸a˜o expl´ıcita. Vamos assumir que a renda e´ grande o suficiente para que o
consumo de x2 seja positivo. Nesse caso a soluc¸a˜o e´ interior
2 e a CPO e´ dada por:
g′(x∗1) =
p1
p2
Note que a CPO diz que a demanda do bem 1 depende apenas da relac¸a˜o de prec¸os. A CSO e´
satisfeita se a func¸a˜o g e´ estritamente coˆncava (g′′(x∗1) < 0). Nesse caso, podemos inverter a func¸a˜o g
′.
Denote por (g′)−1 a func¸a˜o inversa de g′. Enta˜o:
x∗1 = (g
′)−1
(
p1
p2
)
2ou seja, os dois bens sa˜o consumidos em quantidades positivas.
8
A demanda do outro bem e´ obtida substituindo a demanda do bem 1 na restric¸a˜o orc¸amenta´ria:
xM2 =
m
p2
− p1
p2
(g′)−1
(
p1
p2
)
.
Portanto, a demanda Marshalliana do bem 1 na˜o depende da renda - depende apenas dos prec¸os.
Essa e´ uma propriedade geral das func¸o˜es quaselineares. Pore´m, temos que ser cuidadosos nesse ponto:
na verdade, a demanda do bem 1 na˜o sera´ independente da renda para todos os valores da renda: se
a renda for muito baixa, o consumidor na˜o conseguira´ comprar nada do bem 1.
Imagine, por exemplo, que a renda e´ zero (m = 0). Se aumentarmos a renda um pouco, a utilidade
marginal l´ıquida (descontando a utilidade marginal do bem 2) de consumir o bem 1 e´ igual a` du =
[g′(x1)− (p1/p2)] dx1. O consumidor vai comprar o bem 1 ate´ que g′(x1) − (p1/p2) = 0. Como g′ e´
decrescente (g′′ < 0), a partir desse momento, se a renda aumentar, o consumidor gastara´ essa renda
adicional apenas com o bem 2.
Portanto, a demanda gerada para o bem que entra de modo quaselinear na utilidade tem essa
propriedade de na˜o depender mais da renda, a partir de um determinado n´ıvel de renda. Nesse caso, o
efeito de uma alterac¸a˜o da renda sobre a demanda do bem 1 e´ nulo: uma variac¸a˜o na renda na˜o altera
a quantidade consumida desse bem. Logo, qualquer alterac¸a˜o na renda afeta apenas a demanda do
outro bem. Por exemplo, se a renda do consumidor aumentar, todo esse aumento sera´ gasto apenas
com o bem 2.
Graficamente, as curvas de indiferenc¸a de uma func¸a˜o de utilidade quaselinear sa˜o “verticalmente
paralelas”: para qualquer quantidade do bem, as inclinac¸o˜es de duas curvas de indiferenc¸a diferentes
sera˜o iguais. Isto e´ consequeˆncia do o efeito renda ser nulo, pois o valor marginal da quantidade
consumida do bem na˜o depende da renda.
6
-
x2
x1
���
������
���
Curvas de Indiferenc¸a geradas
por utilidade quaselinear
9
Exemplo: Seja u(x1, x2) = lnx1 + x2. Suponha que a renda seja grande o suficiente para que as
soluc¸o˜es sejam interiores. O problema do consumidor e´:
max
x1
lnx1 +m/p2 − (p1/p2)x1
A CPO e´:
1
x∗1
=
p1
p2
⇒ xM1 (p1, p2,m) =
p2
p1
A demanda do outro bem e´ encontrada substituindo a demanda do bem 1 na reta orc¸amenta´ria:
x2 = m/p2 − (p1/p2)x∗1 = m/p2 − 1 ⇒ xM2 (p1, p2,m) = m/p2 − 1
Mais rigorosamente, note que se m < p2, o consumidor na˜o consegue comprar a quantidade p2/p1
do bem 1 (pois p1x
∗
1 = p2 > m). Nesse caso, o consumidor compra apenas o bem 1 e, portanto, x
∗
2 = 0,
pois o acre´scimo de utilidade ao adquirir o bem 1 e´ maior do que o acre´scimo de utilidade em adquirir
o bem 2 (g′(x1) >
p1
p2
⇒ g′(x1) − (p1/p2) > 0, se x1 < p2/p1, onde g(x1) = ln(x1)). Se a renda
for igual ou maior do que p2, o consumidor consegue adquirir a quantidade o´tima x
∗
1 = p2/p1, pois
p1x
∗
1 = p1(p2/p1) = p2. Logo, as demandas dos bens 1 e 2 sa˜o completamente definidas por:
xM1 (p1, p2,m) =
{
p2
p1
se p2 ≤ m,
m
p1
se p2 > m.
xM2 (p1, p2,m) =
{
m
p2
− 1 se p2 ≤ m,
0 se p2 > m.
As func¸o˜es de utilidade quaselineares, devido ao fato de gerarem demandas com uma estrutura
relativamente simples, sa˜o muito usadas em economia, especialmente na ana´lise de bem-estar.
Leitura Recomendada
• Varian, cap. 5 - “Escolha”.
• Nicholson e Snyder, cap. 4 - “Utility Maximization and Choice”.
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